【精选3份合集】2017-2018学年安徽省名校初三数学调研测试卷

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图所示的几何体的主视图正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】主视图是从前向后看，即可得图像.
【详解】主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.
2．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.
【详解】∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故选D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-5，再变形x12+x22得到（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程x2-2x-5=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=-5，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．
故选C．
【点睛】
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
．
4．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）
A．3﹣5B．1
2
（5+1）C．5﹣1 D．
1
2
（5﹣1）
【答案】C
【解析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=51
2
-
AB，代入数据即可得出BC的值．
【详解】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；
则BC=2×51
-
=5-1．
故答案为：5-1．【点睛】
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的35
2
倍，较长的线段=原线段
的51
-
倍．
5．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）
A6B．6 C2D3
【答案】B
【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，
…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，
根据数的排列方法，每四个数一个轮回，
由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第56，
（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第1
个就是6，
则（1，
5）与（13，1）表示的两数之积是1．
故选B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）
A．
3
12
B．
3
C．
3
3
D．
3
2
【答案】B
【解析】试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，33，
根据题意得：AD=BC=x，3，
作EM⊥AD于M，则AM=1
2
AD=
1
2
x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=
1
3
2
6
3
x
AM
AE x
==；
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
7．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()
A．60°B．75°C．87°D．120°
【答案】C
【解析】根据相似多边形性质：对应角相等.
【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.
8．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．
【详解】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有D是锥体．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．
9．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】C
【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
试题解析：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：510．
∵51+51=10）1．
∴AC1+BC1=AB1．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1
【答案】B
【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
故选B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为____．
【答案】1
【解析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=1，因为6-6＜1＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值
是．
【答案】2
【解析】试题分析：分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1．解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1，
则m=12×1﹣10=2．
故答案为2．
考点：规律型：数字的变化类．
13．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出对角线BD，再将AD折叠到BD上，得到折痕DE，点A的对应点是点F，若AB=8，BC=6，则AE的长为_____．
【答案】3
【解析】先利用勾股定理求出BD，再求出DF、BF，设AE=EF=x．在Rt△BEF中，由EB2=EF2+BF2，列出方程即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
∵AB=8，AD=6，∴BD22
68
=+=1．
∵△DEF是由△DEA翻折得到，∴DF=AD=6，BF=2．设AE=EF=x．在Rt△BEF中，∵EB2=EF2+BF2，∴（8﹣x）2=x2+22，解得：x=3，∴AE=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：
评价条数等级
五星四星三星二星一星合计
餐厅
甲538 210 96 129 27 1000
乙460 187 154 169 30 1000
丙486 388 81 13 32 1000
（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填"甲”、“乙"或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.
【答案】丙
【解析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅．
【详解】不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多．
故答案是：丙．
【点睛】
考查了可能性的大小和统计表．解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少．
15．计算：|-3|-1=__．
【答案】2
【解析】根据有理数的加减混合运算法则计算.
【详解】解：|﹣3|﹣1=3-1=2.
故答案为2.
【点睛】
考查的是有理数的加减运算、乘除运算，掌握它们的运算法则是解题的关键.
16．Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若, 则AB
BC
．
【答案】1 2
【解析】利用直角三角形的性质，判定三角形相似，进一步利用相似三角形的面积比等于相似比的性质解决问题．
【详解】如图，
∵∠CAB=90°，且AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAB=∠ADB，且∠B=∠B，
∴△CAB∽△ADB，
∴（AB：BC）1=△ADB：△CAB，
又∵S△ABC=4S△ABD，则S△ABD：S△ABC=1：4，
∴AB：BC=1：1．
17．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1
【解析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移到点P （﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x+3）
2
+1．
故答案为：y ＝2（x+3）2+1 【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18．如图，正方形ABCD 边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，FA ⊥AE ，交CB 延长线于点F ，则EF 的长为__________．
【答案】6
【解析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC 的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E ，易得CE=CA ，由FA ⊥AE ，可得∠FAC=∠F ，易得CF=AC ，可得EF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为3， ∴2
∵AE 平分∠CAD ， ∴∠CAE=∠DAE ，
∵AD ∥CE ， ∴∠DAE=∠E ， ∴∠CAE=∠E ， ∴2， ∵FA ⊥AE ，
∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°， ∴∠FAC=∠F ， ∴2， ∴222三、解答题（本题包括8个小题）
19．阅读材料：已知点00(,)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式
002
1kx y b d k
-+=
+.
例如：求点(2,1)P -到直线1y x =+的距离．
解：因为直线1y x =+可变形为10x y -+=，其中1,1k b ==，所以点(2,1)P -到直线1y x =+的距离为：
002
2
1(2)11
22
111kx y b d k -+⨯--+=
=
=
=++.根据以上材料，求：点(1,1)P 到直线32y x =-的距离，并说明点P 与直线的位置关系；已知直线1y x =-+与3y x =-+平行，求这两条直线的距离． 【答案】（1）点P 在直线32y x =-上，说明见解析；（2）2． 【解析】解：(1) 求：（1）直线32y x =-可变为320x y --=，2
2
312013
d --==+
说明点P 在直线32y x =-上；
（2）在直线1y x =-+上取一点（0，1），直线3y x =-+可变为30x y +-=
则2
2
013211
d +-=
=+，
∴这两条平行线的距离为2．
20．如图1在正方形ABCD 的外侧作两个等边三角形ADE 和DCF ，连接AF ，BE ．
请判断：AF 与BE 的数量关系
是 ，位置关系 ；如图2，若将条件“两个等边三角形ADE 和DCF”变为“两个等腰三角形ADE 和DCF ，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形ADE 和DCF 为一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断． 【答案】（1）AF=BE ，AF ⊥BE ；（2）证明见解析；（3）结论仍然成立
【解析】试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明△ABE ≌△DAF ，然后可得BE=AF ，∠ABE=∠DAF ，进而通过直角可证得BE ⊥AF ；
（2）类似（1）的证法，证明△ABE ≌△DAF ，然后可得AF=BE ，AF ⊥BE ，因此结论还成立； （3）类似（1）（2）证法，先证△AED ≌△DFC ，然后再证△ABE ≌△DAF ，因此可得证结论． 试题解析：解：（1）AF=BE ，AF ⊥BE ． （2）结论成立．
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA="AD" =DC ，∠BAD =∠ADC = 90°． 在△EAD 和△FDC 中，
,{,,
EA FD ED FC AD DC === ∴△EAD ≌△FDC ． ∴∠EAD=∠FDC ．
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA ， 即∠BAE=∠ADF ． 在△BAE 和△ADF 中，
,{,,
BA AD BAE ADF AE DF =∠=∠= ∴△BAE ≌△ADF ． ∴BE = AF ，∠ABE=∠DAF ． ∵∠DAF +∠BAF=90°， ∴∠ABE +∠BAF=90°， ∴AF ⊥BE ．
（3）结论都能成立．
考点：正方形，等边三角形，三角形全等
21．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：求n 的值；若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50；（2）240；（3）1 2 .
【解析】用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；
先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；
画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）510%50
n=÷=；
（2）样本中喜爱看电视的人数为501520510
---=（人)，
10
1200240
50
⨯=，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2名男生的概率
61 122 ==．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.
22．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；求两次摸到的球的颜色不同的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）2
3
．
【解析】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）如图：
，
所有可能的结果为（白1，白2）、（白1，红）、（白2，白1）、（白2，红）、（红，白1）、（红，白2）；
（2）共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为42 63 ．
23．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号载客量租金单价
A 30人/辆380元/辆
B 20人/辆280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？
【答案】(1) 21≤x≤62且x为整数；(2)共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．
【解析】（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式，再根据A
B两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围；
（2）由总费用不超过21940元可得关于x的不等式，解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.
【详解】(1)由题意得y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，
∵30x＋20(62－x)≥1441，
∴x≥20.1，∴21≤x≤62且x为整数；
(2)由题意得100x＋17360≤21940，
解得x≤45.8，∴21≤x≤45且x为整数，
∴共有25种租车方案，
∵k＝100>0，∴y随x的增大而增大，
当x＝21时，y有最小值，y最小＝100×21＋17360＝19460，
故共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用函数的性质解决最值问题．
24．2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB段为监测区，C、D为监测点(如图).
已知C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BC ⊥，CD=400米，tan 2ADC ∠=，35ABC ∠=︒.求道路AB 段的长；(精确到1米)如果AB 段限速为60千米/时，一辆车通过AB 段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.(参考数据：sin350.57358︒≈，cos350.8195︒≈，tan350.7︒≈)
【答案】 (1)AB≈1395 米；(2)没有超速．
【解析】（1）先根据tan ∠ADC ＝2求出AC ，再根据∠ABC ＝35°结合正弦值求解即可（2）根据速度的计算公式求解即可.
【详解】解：(1)∵AC ⊥BC ，
∴∠C ＝90°，
∵tan ∠ADC ＝AC CD ＝2， ∵CD ＝400，
∴AC ＝800，
在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝35°，AC ＝800，
∴AB ＝sin 35AC ︒＝8000.57358
≈1395 米； (2)∵AB ＝1395， ∴该车的速度＝
139590＝55.8km/h ＜60千米/时， 故没有超速．
【点睛】
此题重点考察学生对三角函数值的实际应用，熟练掌握三角函数值的实际应用是解题的关键.
25．如图，在ABC 中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B M ，两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O 的直径．
求证：AE 与O 相切；当14cos 3
BC C ==，时，求O 的半径． 【答案】 (1)证明见解析；(2)32
． 【解析】(1)连接OM ，证明OM ∥BE ，再结合等腰三角形的性质说明AE ⊥BE ，进而证明OM ⊥AE ；
(2)结合已知求出AB ，再证明△AOM ∽△ABE ，利用相似三角形的性质计算．
【详解】(1)连接OM ，则OM=OB ，
∴∠1=∠2，
∵BM 平分∠ABC ，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OM ∥BC ，
∴∠AMO=∠AEB ，
在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线，
∴AE ⊥BC ，
∴∠AEB=90°，
∴∠AMO=90°，
∴OM ⊥AE ，
∵点M 在圆O 上，
∴AE 与⊙O 相切；
(2)在△ABC 中，AB=AC ，AE 是角平分线，
∴BE=
12
BC ，∠ABC=∠C ， ∵BC=4，cosC=13
∴BE=2，cos ∠ABC=13， 在△ABE 中，∠AEB=90°，
∴AB=cos BE ABC
∠=6， 设⊙O 的半径为r ，则AO=6-r ，
∵OM ∥BC ，
∴△AOM ∽△ABE ，
∴∴
OM AO BE AB
=， ∴626
r r -=， 解得32r =，
∴O的半径为3
．
2
【点睛】
本题考查了切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形等知识，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
26．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）
小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利
用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为．【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+3或7﹣3
【解析】（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形；
②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．
（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，
在△ABD和△ABD′中，
AB AB
ABD ABD BD BD
'
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
='
⎪
⎩
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
②∵△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在△AD′B和△AD′C中，
AD AD D B D C AB AC
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
''⎩
'
∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠
AD′B=
1
2
∠B D′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（1）∵∠DBC＜∠ABC，
∴60°＜α≤110°，
如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=1
2
（180°﹣α）=90°﹣
1
2
α，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣1
2
α﹣β，
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣1
2
α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣1
2
α﹣β+90°﹣
1
2
α=180°﹣（α+β），
∵α+β=110°，
∴∠D′BC=60°，
由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=1
2
∠B D′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，
由（1）知，∠ADB=30°，
作AE⊥BD，
在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，
∴3，
∵△BCD'是等边三角形，
∴BD'=BC=7，
∴BD=BD'=7，
∴BE=BD﹣DE=73；
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．
同理可得：∠ABC=1
2
（180°﹣α）=90°﹣
1
2
α，
∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣1
2α），
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣1
2
α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣1
2
α﹣[β﹣（90°﹣
1
2
α）]=180°﹣（α+β），
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，
∴3，
∴3
故答案为：373
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）
A．73 B．81 C．91 D．109
【答案】C
【解析】试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1．
故选C．
考点：图形的变化规律.
2．如果解关于x的分式方程
2
1
22
m x
x x
-=
--
时出现增根，那么m的值为
A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】D
【解析】
2
1
22
m x
x x
-=
--
，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：
m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．
当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，
故选D．
3．下列事件中必然发生的事件是（）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【答案】C
【解析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．。