高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.

1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
自我小测
1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝－－－，则必有( )．
A ．0≤M ＜
18 B ．1
8
≤M ＜1 C ．1≤M ＜8 D ．M ≥8
2．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x
＋4y
＋8z
的最小值为( )．
A ．．
C ．12
D ．3．设π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，则函数y ＝4sin 2
x ·cos x 的最大值为________．
4．设x ＞0，则2
2x x
＋≥__________.
5．已知0＜x ＜4.5，则x 2
(9－2x )的最大值是__________．
6．已知圆柱的体积V 是定值，问圆柱的底半径r 和高h 各是多少时，圆柱的全面积S 最小？并求S 的最小值．
7．若a ＞b ＞0，求1
a b a b ()
＋
－的最小值．
8．甲、乙两人同时沿同一路线从A 地出发走向B 地，甲先用1
3
的时间以速度p 行走，再用13的时间以速度q 行走，最后用13的时间以速度r 行走；乙在前1
3
的路程用速度p 行
走，中间13的路程用速度q 行走，最后1
3
的路程用速度r 行走(p ，q ，r 均不相等)，问甲、
乙两人谁先到达B 地，为什么？
9.已知a ，b ，c 均为正数，证明2
2
2
2
111a b c a b c ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
＋＋＋＋＋a ，b ，c
为何值时，等号成立．
参考答案
1. 答案：D 解析：111a b c a b c a b c M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＋＋＋＋＋＋＝－－－
8b c a c a b abc abc
()()()≥＋＋＋＝，
当且仅当1
3
a b c ＝＝＝时等号成立． 2. 答案：C
解析：∵2x
＞0,4y
＞0,8z
＞0，
∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z
≥＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z
，即x ＝2，y ＝1，23
z ＝时，等号成立．
3. 解析：∵y 2
＝16sin 2
x ·sin 2
x ·cos 2
x ＝
8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2
x )≤3
222sin sin 2cos 8648832727x x x ⎛⎫⨯ ⎪
⎝⎭
＋＋＝＝， ∴2
6427
y ≤
，当且仅当sin 2x ＝2cos 2
x ，
即tan x max y 4. 答案：3
解析：∵x ＞0，∴2
2
2113x x x
x x
≥＋＝＋＋. 当且仅当2
1x x
＝，即x ＝1时等号成立．∴2
23x x
≥＋. 5. 答案：27
解析：由题可知x 2
(9－2x )＝x ·x ·(9－2x )． 因为0＜x ＜4.5，所以9－2x ＞0.
所以
923
x x x ()≥＋＋－
3≤，即x 2
(9－2x )≤27.
当且仅当x ＝9－2x ，即x ＝3时，等号成立． 因此，当x ＝3时，x 2
(9－2x )有最大值是27. 6. 解：πr 2
h ＝V ，S ＝2πr 2
＋2πrh
2112π2π22r rh rh ⎛
⎫≥⋅ ⎪⎝
⎭＝＋＋
6π＝
当且仅当2
12
r rh ＝，即h ＝2r 时，等号成立．
即r h ＝min S ＝.
7. 解：∵11()a a b b b a b b a b ()()＋
＝－＋＋－－3≥，当且仅当
a ＝2，
b ＝1时，等号成立，∴1
a b a b ()
＋
－的最小值为3.
8. 解：设A ，B 两地间的距离为s (s ＞0)，甲从A 到B 所用的时间为t 1，乙从A 到B 所用的时间为t 2，
由题意得111
333
t t t s p q r ⨯⨯⨯＝＋＋， ∴13s t p q r ＝
＋＋，233
s s
t p q ÷÷＝＋111()33s s r p q r ÷＋＝＋＋．
∴
213s
t t p q r
≥≥＝＋＋．
∵p ，q ，r 均不相等，∴等号不成立． ∴t 1＜t 2，甲先到B 地．
9. 证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2
＋b 2
＋c 2
≥3(abc )
2
3
，① 2
3111
3()abc a b c
≥＋＋， 所以2
231119()abc a b c -⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
＋＋.②
故2
222111a b c a b c ⎛⎫
⎪⎝⎭
＋＋＋＋＋
22333()9()
abc abc ≥－＋.
又2
23
3
3()9()abc abc ≥－＋
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．
当且仅当2233
3()9()abc abc －＋
时，③式等号成立．
故当且仅当1
4
3a b c ＝＝＝
时，原不等式等号成立． 证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ac. 所以a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ac.① 同理，
222
111111
a b c ab bc ac
≥＋＋＋＋.② 故2
2
2
2
111a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＋＋＋＋＋
≥ab ＋bc ＋ac ＋
333
ab bc ac
≥＋＋③ 所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2
＝(bc )2
＝(ac )2
＝3时，③式等号成立．
故当且仅当14
3a b c ＝＝＝
时，原不等式等号成立．。