吉林省长春市四十七中学高三数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市四十七中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义域为的函数满足,且对任意总有, 则不等式的解集为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
2. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断
考点：简单组合体的三视图
3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=
（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
B
【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos2θ===，
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．
故选：B．
4. 美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，其离心率e=( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
5. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为
A.1升
B.升
C.升
D.升
参考答案：
B
6. 已知函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,下列关于的说法正确的是( )
A.图象关于点中心对称
B.图象关于点中心对称.
C.图象关于轴对称
D.图象关于轴对称
参考答案：
B
7. 设函数，则（）
A．为 f（x）的极大值点B．为f（x）的极小值点
C．x=2 为 f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可．
【解答】解：f′（x）=﹣+=，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故x=2是函数的极小值点，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
8. 正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱上的任意一点，则直线与直线所成的角为（）
A. B. C. D.与点的位置有关
参考答案：
C.
试题分析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，，，，∴，，
∴，即，故夹角为，故选C.
考点：异面直线的夹角.【名师点睛】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.
9. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥的是
A．⊥且m⊥ B．⊥且m∥ c．m∥n且n⊥ D．m⊥n且n//
参考答案：
C
10. 函数的部分图像可能是（）
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M N 中元素的个数为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
参考答案：
B
12. 若曲线在点
处的切线平行于轴,则
______.
参考答案：
；求导得,依题意
,所以
.
13. 若不等式
的解集为空集，则实数
的取值范围为
．
参考答案：
14. 满足约束条件
的目标函数
的最小值为
_______.
参考答案：
略
15. 函数f （x ）=1﹣3sin 2x 的最小正周期为 ．
参考答案：
π
【考点】三角函数的周期性及其求法． 【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期． 【解答】解：∵函数f （x ）=1﹣3sin 2x=1﹣3=﹣+cos2x ，
∴函数的最小正周期为=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．
16. 在△ABC 中，A=2B ，且3sinC=5sinB ，则cosB= ．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由已知及两角和正弦函数公式，倍角公式可得sinC=2sinBcos 2B+（2cos 2B ﹣1）sinB ，结合已
知可得6cos 2
B+3（2cos 2
B ﹣1）=5，即可解得cosB 的值． 【解答】解：∵A=2B，A+B+C=π，可得：C=π﹣3B ，
∴sinC=si n3B=sin （2B+B ）=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos 2B+（2cos 2B ﹣1）sinB ， ∵3sinC=5sinB，
∴6sinBcos 2B+3（2cos 2B ﹣1）sinB=5sinB ， ∵sinB≠0，
∴解得：6cos 2
B+3（2cos 2
B ﹣1）=5，解得：cos 2
B=，
∵A=2B，B 为锐角， ∴cosB=
． 故答案为：
．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17. （6分）（2015?丽水一模）设函数f （x ）=则f （﹣log 32）= ；若f
（f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是 ．
参考答案：
；
【考点】： 分段函数的应用．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】：由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．
解：由﹣1≤﹣log32≤1，则f（﹣log32）===，
当t∈[﹣1，1]，所以f（t）=3t∈[，3]，
又函数f（x）=
则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣?3t，
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤﹣?3t≤1，即≤3t≤3，
解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1，1]，
由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，
则实数t的取值范围[log3，1）；
当1＜t＜3时，f（t）=﹣?t∈（0，3），
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤≤1或0≤﹣?（﹣t）≤1，
解得t∈?或1≤t≤．
即有t的取值范围为（1，]．
综上可得t的范围是．
故答案为：，．
【点评】：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知.
（1）求的最小值；
（2）求不等式的解集.
参考答案：
（1）2（2）或.
【分析】
（1）根据函数特点，利用因为求解。

（2）利用绝对值的几何意义，分类讨论去绝对值求解。

【详解】（1）因为，
当且仅当，即时，取等号.
所以的最小值为2.
（2）因为，
当时，，
解得，此时.
当时，，无解.
当时，，
解得.
综上：或.
所以不等式的解集是或.
【点睛】本题主要考查绝对值函数求最值以及绝对值不等式的解法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．
解得c=1，a=2．
所以=4﹣1=3．
所以椭圆C的标准方程是．
（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，．
若||=||成立，
即||2=||2，等价于．
所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2），
化简得7m2=12+12k2．
将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，
解得．
又由7m2=12+12k2≥12，得，
从而，解得或．
所以实数m的取值范围是．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．
20. （本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
参考答案：
（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．…………2分所以，每组抽取的人数分别为：
第组：；第组：；第组：．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．………………5分（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为
．
………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共种可
能．………………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要
求．………………12分
故所求概率为
．
………………13分
21. 如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，
且∥，是中点，平面，
，是中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
(1) 证明：且∥，…………2分
则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.
…………6分
(2) 『解法1』：
延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.易求，又，，由面积桥求得，所以
所以所求角为，所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
『解法2』：
以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
，，…………8分
所以，，
可求得平面的法向量为
又，，
可求得平面的法向量为
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………12分
略
22. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）设x为三角形的内角，且函数y= 2f（x）+k 恰有两个零点，求实数k的取值范围．
参考答案：
解： (1)∴最小正周期为,由，得 (k∈Z)
∴函数f (x)的单调递减区间是 (k∈Z)
解：(2),因为x是三角形的内角，所以
由得：①,函数y = 2f (x) + k恰有两个零
点，即①在(0，)有两个根∴或,即－3 < k < 0或－4 < k <－3,∴实数k的取值范围是{ k |－3 < k < 0或－4 < k <－3}．
略。