专题05 解析几何【理科】(原卷版)

专题05 解析几何
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x
y m m
+=>的
两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[)2,+∞
C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥
⎝⎦
D ．(]1,11,22⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、
右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P 、F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题.如图，在圆D 中，AB 为其一条弦，120ADB ∠=︒，
C ，O 是弦AB 的两个三等分点，以A 为左焦点，B ，C 为顶点作双曲线T .设双曲线T 与弧AB 的交点为E ，
则
1403ADE ADB ∠=∠=︒.若T 的方程为()22
2106
x y a a -=>，则圆D 的半径为（ ）
A ．
B
C
D 4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点()3,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）
A ．1
B
C
D ．5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1F ，
2F ，过1F 的直线MN 与C 的左支交于M ，N 两点，若()
21210F F F M MF +⋅=，222F N F M =，则C 的渐近
线方程为
A ．y =
B ．y =
C ．y x =
D ．y =
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若直线y kx =与双曲线22194
x y
-=相交，则k 的取值范围是
A ．20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．22,,33⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知直线10ax y +-=与圆()()2
2
:11C x y a -++=相交于A ，
B ，且AB
C 为等腰直角三角形，则实数a 的值为
A ．1
7
或1-
B ．1-
C ．1
D ．1或1-
8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么 A ．l m ⊥且m 与圆C 相切 B ．l m 且m 与圆C 相切 C ．l m ⊥且m 与圆C 相离
D ．l m 且m 与圆C 相离
9. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是 A ．24480y x y -++= B ．22220y x y +-+= C ．24480y x y +-+=
D ．2210y x y --+=
10. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点
为点B ，F 为其右焦点，
若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．⎤
⎥⎣⎦ B ．1⎤
⎥⎣⎦ C ．⎣⎦ D ．⎣⎦
11. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A B 1 C D 1
12. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以,22a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为中点的弦长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】若双曲线221mx ny +=(0m >)m n
= A ．14
B ．14
-
C ．4
D ．4-
14. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123
F PF π
∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为
A B C ．2 D ．15. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1)，
）
A B C D 16. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的
焦点(c,0)F ，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ） A ．22
193x y -=
B ．221123
y x -= C ．22
1312
x y -=
D ．22
139
x y -=
二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆C ：22
148
x y +=内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交
于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）
B ．椭圆
C 的长轴长为
C ．直线l 的方程为30x y +-=
D ．AB 2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线
l 抛物线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．A
B 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切
C ．12x x 为定值
D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠
3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在一张纸上有一圆()()2
22:20C x y r r ++=>与点()(),02M m m ≠-，折叠纸片，使圆C 上某一点M '好与点M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M C '的交点为T ，则下列说法正确的是（ ） A ．当22r m r --<<-+时，点T 的轨迹为椭圆
B ．当1r =，2m =时，点T 的轨迹方程为2
2
13
y x -=
C ．当2m =，12r ≤≤时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4
D ．当r =2m =时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y x =的垂线，垂足为N ，则SON △(O 为坐标原点)的面积为定值 三、填空题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，
直线:220l x y p +-=与抛物线C 交于A ，B 两点，且1BF AF =+，则AB =_________.
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】设双曲线22
2116x y b
-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双
曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则
1
2
AM BM +的最小值________. 4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知1F ，2F 为双曲线22
14
y
x -=的左、右焦点，P
为双曲线右支上一点，且122PF PF =，则12PF F △的面积为______．
5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知点M 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>在第
一象限上一点，点F 为双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点，447MO MF OF ==，则双曲线C 的离心率为___________；若,MF MO 分别交双曲线C 于P 、Q 两点，记直线QM 与PQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅=___________．
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】过椭圆2
221(1)x y a a +=>上一点P 及坐标
原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________. 四、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知抛物线1C ：()2
20x py p =>上的点到
焦点的距离最小值为1.
（1）求p 的值；
（2）若点()00,P x y 在曲线2C ：2
114
y x =
+上，且在曲线1C 上存在三点A ，B ，C ，使得四边形PABC 为平行四边形.求三角形PAC 的面积S 的最小值.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知1F ，2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 为C 的上顶点，12AF AF ⊥，且12AF F △的面积等于1. （1）求C 的方程；
（2）若过点A 的直线1l 交C 于另外一点M ，1l 关于直线1AF 对称的直线为2l ，2l 交C 于另外一点N （异于点M ）
，证明：直线MN 过定点.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线22
22
:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为其中一条
渐近线的倾斜角为θ，且tan θ=C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设点A 是椭圆E 的左顶点，P ，Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为14
-，
问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅰ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率e =
过点(),0A a ，()0,B b - （1）求椭圆C 的方程；
（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.
（1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；
（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.
7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；
（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点(F ，
椭圆的两顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，M 为椭圆上除A ，B 之外的任意一点，直线MA ，BM 的斜率之积为1
4
-.
（1）求椭圆C 的标准方程;
（2）若P 为椭圆C 短轴的上顶点，斜率为k 的直线l 不经过P 点且与椭圆C 交于E ，F 两点，设直线PE ，PF 的斜率分别为12,k k ，且121k k +=-，试问直线l 是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由. 9. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点()0,1，离心
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）动直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求OMD
面积的最大值，并求此时点D 的坐标．
10. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知1A ，2A 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的
左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B ，椭圆C 过点⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．
11. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=＞＞的左､
右焦点分别为1F ，2F ，P ⎛ ⎝⎭
满足12PF PF +2a =，且以线段12F F 为直径的圆过点.P （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当OMN
的面积为定值1时，12k k 是否为定值？若是，求出12k k 的值；若不是，请说明理由.
12. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的离
2，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；
（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.
13. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知曲线C 的方程为
4=．
（1）求曲线C 的离心率；
（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||
||
PF AB 为定值．。