2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版

2.2.2 反证法
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
反证法的定义及证题关键
对反证法的三点说明
（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.
（2）反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”写成“设”.
（3）并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题从正面求解不好处理或较烦琐时，才考虑反证法.
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）反证法属于间接证明问题的方法.（）
（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（）
（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（）
答案：（1）√（2）×（3）√
应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论.
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.②③
答案：C
命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（）
A.a＜b
B.a≤b
C.a＝b
D.a≥b
答案：B
用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的排列为Ｗ.
解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.
答案：③①②
探究点1 用反证法证明否定性命题
已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
【证明】假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即（a＋b）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋（b＋c）2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，
故假设不成立.
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
（1）用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
（2）用反证法证明数学命题的步骤
已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.
证明：假设a，b，c构成等差数列，
则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，
又a 2，b 2，c 2
成公比不为1的等比数列， 且a ，b ，c 为正数，
所以b 4
＝a 2c 2
且a ，b ，c 互不相等，即b 2
＝ac ， 因此4ac ＝a 2
＋c 2
＋2ac ，所以（a －c ）2
＝0， 从而a ＝c ＝b ，这与a ，b ，c 互不相等矛盾. 故a ，b ，c 不成等差数列.
探究点2 用反证法证明唯一性命题
若函数f （x ）在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f （a ）<0，f （b ）>0，且f
（x ）在[a ，b ]上单调递增，求证：f （x ）在（a ，b ）内有且只有一个零点.
【证明】 由于f （x ）在[a ，b ]上的图象连续不断，且f （a ）<0，f （b ）>0，即f （a ）·
f （b ）<0，
所以f （x ）在（a ，b ）内至少存在一个零点，设零点为m ， 则f （m ）＝0.假设f （x ）在（a ，b ）内还存在另一个零点n ， 即f （n ）＝0，则n ≠m .
若n >m ，则f （n ）>f （m ），即0>0，矛盾； 若n <m ，则f （n ）<f （m ），即0<0，矛盾.
因此假设不正确，即f （x ）在（a ，b ）内有且只有一个零点.
（1）“唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等.这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”.
（2）证明“存在性”一般比较简单，多数采用直接证明的方法，但“唯一性”的证明需要用反证法，通常可假设“存在两个…”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出矛盾.
用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线
a 平行.
证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行.假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立.
探究点3 用反证法证明“至多”“至少”命题
设f （x ）＝x 2
＋bx ＋c ，x ∈[－1，1]，证明：当b ＜－2时，f （x ）在其定义域
内至少存在一个x ，使|f （x ）|≥1
2
成立.
【证明】 假设不存在x ∈[－1，1]使|f （x ）|≥1
2
成立，
则对任意x ∈[－1，1]都有－12＜f （x ）＜1
2成立.
当b ＜－2时，x ＝－b
2
＞1，
所以f （x ）在[－1，1]上是单调递减函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＜1
2
，
f （1）＝1＋b ＋c ＞－1
2
⇒b ＞－1
2
，与b ＜－2矛盾.
故假设不成立，因此当b ＜－2时，f （x ）在其定义域内至少存在一个x ，使|f （x ）|≥
1
2
成立
.
（1）对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明.
（2）注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.
设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b
，求证：a 2＋a ＜2与b 2
＋b ＜2至多有一
个成立.
证明：因为a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b
ab
，
因为a ＞0，b ＞0， 所以ab ＝1.
假设a 2
＋a ＜2与b 2
＋b ＜2同时成立，
则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理0＜b ＜1，
从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾，故a 2
＋a ＜2与b 2
＋b ＜2至多有一个成立.
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1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰好有一个偶数”正确的反设为（ ）
A.a ，b ，c 都是奇数
B.a ，b ，c 都是偶数
C.a ，b ，c 中至少有两个偶数
D.a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
解析：选D.涉及的数有三个，因此“恰有一个”的反面是“没有或至少有两个”.
2.已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.
证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.
所以假设不成立，
所以a，b，c不可能都是奇数.
3.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
证明：假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以（a＋b）（c＋d）＝1.
又（a＋b）（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd＞1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
[A 基础达标]
1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（）
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至少有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B.“至少有一个”即“全部中最少有一个”，“至少有一个不大于60°”的反面是“全部都大于60°”.
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（）
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析：选C.假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线.故应选C.
3.设x >0，则方程x ＋1
x
＝2sin x 的根的情况是（ ）
A.有实根
B.无实根
C.恰有一实根
D.无法确定
解析：选B.x >0时，x ＋1
x
≥2，而2sin x ≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所
以x ＋1
x
＝2sin x 无实根.
4.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1
x
，则a ，b ，c 三个数（ ）
A.至少有一个不大于2
B.都小于2
C.至少有一个不小于2
D.都大于2
解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1
z
≥
6②，显然①，②矛盾，所以C 正确.
5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.
6.在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时的假设为 Ｗ.
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .
答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP
7.下列命题适合用反证法证明的是 （填序号）. ①已知函数f （x ）＝a x
＋
x －2
x ＋1
（a ＞1），证明：方程f （x ）＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y
和1＋y
x
中至少有一个小于2；
③关于x 的方程ax ＝b （a ≠0）的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.
解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.
答案：①②③④
8.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2
＋b 2
＞2.
其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 （填序号）.
解析：若a ＝13，b ＝2
3，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出.若a ＝b ＝1，则a
＋b ＝2，故②不能推出.若a ＝－2，b ＝1，则a 2
＋b 2
＞2，故④不能推出.对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.
反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.
答案：③
9.已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. 证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误. 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.
10.如图所示，设SA 、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点.求证：AC 与平面SOB 不垂直.
证明：如图所示，连接AB ，假设AC ⊥平面SOB . 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以AC ⊥SO .
因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB ， 所以SO ⊥平面SAB ， 所以平面SAB ∥底面圆O .
这显然矛盾，所以假设不成立，故AC 与平面SOB 不垂直.
[B 能力提升]
11.若下列关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0（a 为常数），x 2＋（a －1）x ＋a 2＝0，x 2
＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，－1 B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞）
C.（－2，0）
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[0，＋∞） 解析：选B.假设三个方程都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2
＋16a －12＜0，（a －1）2－4a 2
＜0，4a 2＋8a ＜0，解得－32＜a ＜－1，
故三个方程x 2
＋4ax －4a ＋3＝0，x 2
＋（a －1）x ＋a 2
＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为a ≤－3
2
或a ≥－1.
12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，则可知4位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除C ，D.假设满足条件的学生有3位，用a ，b ，c 表示“优秀”“合格”“不合格”，用“（语，数）”来表示某学生的成绩，则满足题意的3位学生的成绩为（a ，c ），（c ，a ），（b ，b ），所以最多有3人.
13.已知二次函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a ＞0）的图象与x 轴有两个不同的交点.若f （c ）＝0，且0＜x ＜c 时f （x ）＞0.
（1）证明：1
a
是函数f （x ）的一个零点；
（2）试用反证法证明：1
a
＞c .
证明：（1）因为f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点， 所以f （x ）＝0有两个不等实根x 1，x 2. 因为f （c ）＝0，
所以x 1＝c 是f （x ）＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a
.
所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ≠c ，所以1a 是f （x ）＝0的另一个根，即1
a
是函数f （x ）的一个零点.
（2）由第一问知1a ≠c ，故假设1
a
＜c ，
易知1
a
＞0，由题知当0＜x ＜c 时，f （x ）＞0，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＞0与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝0矛盾，
所以1
a
＞c .
14.（选做题）设{a n }是公比为q 的等比数列. （1）推导{a n }的前n 项和公式；
（2）设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解：（1）设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＋…＋a 1q
n －1
，①
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②
由①－②得，（1－q ）S n ＝a 1－a 1q n
，
所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q
，
综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q
，q ≠1.
（2）证明：假设{a n ＋1}是等比数列， 则对任意的k ∈N *
，
（a k ＋1＋1）2
＝（a k ＋1）（a k ＋2＋1），
a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，
a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q
k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1
， 因为a 1≠0， 所以2q k
＝q
k －1
＋q
k ＋1
.
因为q ≠0，所以q 2
－2q ＋1＝0， 所以q ＝1，这与已知矛盾.
所以假设不成立，故数列{a n ＋1}不是等比数列.。