四川省绵阳市南山中学实验学校2016届高三下学期4月月考数学试卷(理科)(补习班) 含解析

2015—2016学年四川省绵阳市南山中学实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）（补习班)
一．选择题：每小题5分，共50分．
1．已知集合M=｛x｜x2+x﹣2＜0}，N={x｜log2x＜1｝，则M∩N=()
A．（﹣2，1) B．（﹣1，2）C．（0，1) D．（1，2)
2．若复数z=(其中a∈R,i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=()
A．3 B．6 C．9 D．12
3．下列说法中正确的是（）
A．“f（0）=0"是“函数f(x）是奇函数”的充要条件
B．“若,则”的否命题是“若，则
C．若，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0
D．若p∧q为假命题,则p，q均为假命题
4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x)的图象
5．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）
A． +B．1+C．D．1
7．已知二次函数f（x）=x2+mx+n(m、n∈R）的两个零点分别在(0，1）与（1,2）内，则（m+1)2+（n﹣2）2的取值范围是（）
A．B．C．［2，5］D．（2，5）
8．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双
曲线的离心率e等于（)
A．B．C．D．
9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为（）
A．B．C．D．
10．已知函数f(x)=alnx﹣x2+bx存在极小值,且对于b的所有可能取值f（x)的极小值恒大于0，则a的最小值为（)
A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣
二。

填空题：每小题5分，共25分．
11．二项式的展开式中常数项为．
12．已知函数，其导函数记为f′（x），则f+f′的值为．
13．若直线l:y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短,则直线l的方程是．14．设正实数x,y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时,x+4y﹣z的最大值为．
15．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB,AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC 的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）,若=λ+μ，其中λ,μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．
三．解答题：16,17，18,19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分．
16．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+)．
（1)若x∈（0,π），求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中,角A，B，C的对边分别为a,b,c，若f（）=0，b=1，求△ABC面积的最大值．
17．已知数列{a n｝是等差数列,a2=6，a5=12;数列｛b n｝的前n项和是S n，且S n+b n=1．(1）求数列｛a n}和{b n｝通项公式；
（2）记c n=，数列｛c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N＊都
成立，求最小正整数m．
18．自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假"等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开
的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据:
产假安排（单位：周) 14 15 16 17 18
有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．
19．如图，多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明:DE∥平面ACF；
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．
20．已知F1，F2是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的上、下焦点，F1是抛物线C2：x2=4y
的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且｜MF1｜=
（1）求椭圆C1的方程；
（2)与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C于A，B两点,若椭圆C 上一点P满足+=λ,求实数λ的取值范围．
21．设函数f(x)=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．
（1）求函数f(x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;
（3)若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．
2015-2016学年四川省绵阳市南山中学实验学校高三
（下)4月月考数学试卷（理科)（补习班）
参考答案与试题解析
一．选择题:每小题5分,共50分．
1．已知集合M=｛x｜x2+x﹣2＜0｝，N={x｜log2x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1）B．(﹣1,2）C．（0,1）D．（1，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解．
【解答】解：集合M={x|x2+x﹣2＜0｝=(﹣2，1）,N={x｜log2x＜1｝=（0，2），
则M∩N=（0，1），
故选：C．
2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（)
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．
【解答】解：复数z===．
由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等,得,18﹣a=3a+6，
解得a=3．
故选:A．
3．下列说法中正确的是（）
A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件
B．“若,则”的否命题是“若，则
C．若，则￢p：∀x∈R,x2﹣x﹣1＜0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
【考点】命题的真假判断与应用;四种命题．
【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断
B．根据否命题的定义进行判断
C．根据含有量词的命题的否定进行判断
D．根据复合命题之间的关系进行判断
【解答】解:A．若f（x）=x2，满足f（0）=0,但函数f（x）不是奇函数,若f（x)=，满足
函数f（x）是奇函数，但f（0)不存在,即“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，故A错误，
B．“若，则”的否命题是“若，则,正确,故B正确，
C．命题的否定￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，故C错误，
D．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故D错误,
故选：B
4．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（)
A．f（x)的图象关于直线对称
B．f(x）的图象关于点对称
C．若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f(x）的图象
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x）的解析式，结合图象，可得结论．
【解答】解：由函数f（x)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可得A=2, ==﹣,求得ω=2，
再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴f(x）=2sin（2x+），
在上，2x+∈［﹣，］，
当实数m的取值范围是时，函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点，
故选：C．
5．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a,b分别为14，18,则输出的a=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解答】解:由a=14,b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10,
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b,则a变为6﹣4=2，
由a＜b,则b变为4﹣2=2,
由a=b=2,
则输出的a=2．
故选：A．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）
A． +B．1+C．D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积,相加可得答案．
【解答】解:根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体,
四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为:=，
三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形,高为1,故体积为：×1×2×1=1，
故组合体的体积V=1+，
故选：B
7．已知二次函数f(x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1,2）内，则(m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是(）
A．B．C．［2，5]D．（2，5）
【考点】简单线性规划；二次函数的性质．
【分析】由条件可得，，化简得到关于m，n的不等式组,在平面直角坐标系中,
作出不等式组表示的区域，
再由(m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1,2)到区域内的点的距离的平方，由图象观察，即可得到取值范围．
【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点
分别在(0，1）与（1,2)内,
则即有,
在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域,
而(m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1,2）
到区域内的点的距离的平方，
求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为
=，
点（﹣1，2）到点（﹣2，0)的距离为，
故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2,5）．
故选D．
8．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质;双曲线的应用．
【分析】根据由题设条件可知，｜F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．【解答】解：由题意可知，｜F1F2｜=2c，
∵∠，
∴，
∴4a2c2=b4=（c2﹣a2)2=c4﹣2a2c2+a4,
整理得e4﹣6e2+1=0，
解得或（舍去）
故选C．
9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．
【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2,2，1，这两种情况是互斥的,利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率,再根据互斥事件的概率得到结果．
【解答】解：分两种情况3,1，1及2，2，1
这两种情况是互斥的,下面计算每一种情况的概率,
当取球的个数是3，1，1时，
试验发生包含的事件是35,
满足条件的事件数是C31C43C21
∴这种结果发生的概率是=
同理求得第二种结果的概率是
根据互斥事件的概率公式得到P=
故选B
10．已知函数f（x)=alnx﹣x2+bx存在极小值,且对于b的所有可能取值f（x)的极小值恒大
于0，则a的最小值为（）
A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x)=﹣x+b=0有解，转化为一元二
次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）,
则函数的导数f′（x）=﹣x+b，
若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，
则f′（x）=﹣x+b=0有解，
即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根,
则，得b＞2，(a＜0），
由f′（x)=0得x1=，x2=，
分析易得f(x）的极小值点为x1，
∵b＞2，（a＜0），
∴x1==∈(0,），
=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，
则f(x）
极小值
设g(x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，)，
f(x）的极小值恒大于0等价为g（x)恒大于0，
∵g′(x)=+x=＜0,
∴g（x）在（0，）上单调递减，
故g(x）＞g（)=aln﹣a≥0,
得ln≤，即﹣a≤e3,则a≥﹣e3,
故a的最小值为是﹣e3,
故选：A
二。

填空题：每小题5分,共25分．
11．二项式的展开式中常数项为．
【考点】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
【解答】解:展开式的通项是
=
令解得r=6
故展开式的常数项为=7
故答案为7
12．已知函数，其导函数记为f′(x），则f+f′的值为．
【考点】导数的运算；简单复合函数的导数．
【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系,即可得到结论．
【解答】解：函数，则f（﹣x）=﹣sinx；
f′（x）=+cosx，
cosx，
∵f′（x）﹣f′（﹣x）=0，f（x)+f（﹣x)=2．
∴f+f′=2．
故答案为:2．
13．若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】直线过定点（0,1),截得的弦最短,圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程．
【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C:x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，
必须圆心(1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直；
连线的斜率﹣1，弦所在直线斜率是1．
则直线l的方程是：y﹣1=x，
故答案为：x﹣y+1=0．
14．设正实数x，y,z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时,x+4y﹣z的最大值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．
【分析】将z=x2﹣xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条
件,用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．
【解答】解：∵x2﹣xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣xy+4y2，又x，y,z为正实数，
∴=+﹣1≥2﹣1=3(当且仅当x=2y时取“=”），
当且仅当=,即x=2y(y＞0)时取等号，
此时x+4y﹣z=2y+4y﹣（x2﹣xy+4y2）=6y﹣6y2
=﹣6（y﹣）2+≤．
∴x+4y﹣z的最大值为．
故答案为：
15．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1,AB=2，E、F分别为AB、BC 的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E(1，0），D(0，1），F（1。

5，0.5），P（cosα,sinα）（0°≤α≤90°)，λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
【解答】解：建立如图所示的坐标系,则A(0，0)，E(1，0）,D（0，1）,F（1.5,0.5），P(cosα，sinα）（0°≤α≤90°),
∵=λ+μ，
∴（cosα，sinα）=λ(﹣1,1）+μ（1。

5，0.5），
∴cosα=﹣λ+1.5μ,sinα=λ+0。

5μ，
∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα)，
∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin(α﹣45°）
∵0°≤α≤90°，
∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，
∴﹣≤sin(α﹣45°）≤，
∴﹣1≤sin(α﹣45°)≤1
∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1］．
故答案为:[﹣1,1]．
三．解答题：16，17,18，19每小题12分,20题13分，21题14分，共75分．
16．设函数f(x）=sin2x﹣cos2（x+）．
（1）若x∈（0，π）,求f（x）的单调递增区间；
(2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,若f（）=0，b=1，求△ABC面
积的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象;余弦定理．
【分析】（1)由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间．
(2）由等式得到,利用余弦定理及三角形面积公式即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，
==，
由，
可解得:．
又因为x∈（0,π），
所以f(x）的单调递增区间是和．
（Ⅱ）由，可得，
由题意知B为锐角，所以，
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
可得:，即，且当a=c时等号成立，
因此，
所以△ABC面积的最大值为．
17．已知数列｛a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列｛b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和｛b n}通项公式；
(2）记c n=，数列{c n｝的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成
立，求最小正整数m．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．
【分析】（1）设{}的公差为d，由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式;由已知条件推导出｛}是以为首项，为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的通项公式．
(2）由c n==，利用裂项求和法能求出最小正整数m．
【解答】解：(1）设｛｝的公差为d,
则,,
∵a2=6,a5=12,
∴，解得a1=4，d=2，
∴a n=4+2(n﹣1）=2n+2．
∵数列{b n｝的前n项和是S n，且S n+b n=1，
∴当n=1时，b1=S1，
由，得，
当n≥2时，∵,，
∴S n﹣S n
﹣1=（b n
﹣1
﹣b n），即，
∴,
∴{}是以为首项，为公比的等比数列, ∴=．
（2）∵=2•（）n,
∴c n=c n====，
∴T n=（1﹣）+（)+（）+…+(）
=1﹣＜1,
由已知得,
∴m≥2014，
∴最小正整数m=2014．…．
18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周）14 15 16 17 18
有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;
②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由表中信息可知,利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中,随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32,33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
【解答】解：（1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为
；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周"为事件A，
由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有(种）,
其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…
②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30，31，32，33,34，35．
，，
，
因而ξ的分布列为
ξ29 30 31 32 33 34 35
P 0.1 0.1 0。

2 0.2 0。

2 0。

1 0。

1
所以E（ξ)=29×0.1+30×0。

1+31×0.2+32×0。

2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32,…
19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形EFBD为等腰梯形,EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
(Ⅰ）证明：DE∥平面ACF;
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定;用空间向量求平面间的夹角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ACF;
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3,根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．
【解答】解：(Ⅰ）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF，
由EF∥BD,EF=BD，得EF∥OD．EF=OD，
所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF，…
又EF⊄平面ACF,OF⊂平面ACF,
所以DE∥平面ACF．…
(Ⅱ)方法一:因为平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，AO⊥BD，
所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，连AM，
∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O，
∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM，
故∠AMO为二面角A﹣BF﹣D的平面角．…
取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP⊥BD，
因为=•OP=3，
所以OP=．由PF=，得BF=OF==，
因为,
所以OM==,故AM==，…
所以cos=,
故二面角A﹣BF﹣D的余弦值为．…
20．已知F1，F2是椭圆C1： +=1(a＞b＞0）的上、下焦点，F1是抛物线C2：x2=4y
的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
（1)求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1)2=1相切的直线l：y=k(x+t），kt≠0交椭圆C于A,B两点，若椭圆C上一点P满足+=λ，求实数λ的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1),c=1，设M(x0，y0）,x0＜0，由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）由直线l：y=k(x+t），t≠0与圆x2+（y+1）2=1相切，求出k=，且t2≠1,联立y=k(x+t）与，得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条
件能求出λ的取值范围．
【解答】解：（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1），c=1，设M（x0，y0），x0＜0，
∵M在抛物线C2上，∴=4y0,①
又｜MF1|=，∴，②
由①②得，，
∵点M在椭圆上,
∴2a=|MF1｜+｜MF2|==4，
∴a=2，b2=4﹣1=3，
∴椭圆C1的方程为．
（2)由直线l:y=k（x+t），t≠0与圆x2+（y+1）2=1相切,
∴，∵k≠0，∴k=，且t2≠1，③
联立y=k(x+t）与,
消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0，
设A(x1，y1），B（x2，y2），则，
，
∵，
∴P（，），
又点P在椭圆C1上,∴，
∴,④
由kt≠0,
把③代入④，得，又t≠0，t2≠1，
∴，且，
∴0＜λ2＜4，且，
∴λ的取值范围是(﹣2，﹣）∪（，0）∪(0，）∪（）．
21．设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．
（1)求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值;
（3)若方程f(x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．
【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出;
（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即
．可化为h（a)=．利用单调性判断其零点所处的
最小区间即可得出;
（3)）由x1，x2是方程f(x)=c得两个不等实数根，由（1)可知:a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则
，．
两式相减得+alnx2=0，化为
a=．由，当时,f′（x)＜0,当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元,
再利用导数即可证明．
【解答】解:（1）x∈（0，+∞）．
==．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f(x）在（0,+∞0上单调递增，即f（x)的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，由f′（x)＞0得；由f′（x）＜0，解得．
所以函数f（x）的单调递增区间为,单调递减区间为．
(2)由(1)可得，若函数f（x)有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即
．
∵a＞0，∴．
令h(a）=a+﹣4,可知h（a）在(0，+∞）上为增函数,且h（2）=﹣2，h（3）
==,
所以存在零点h（a0）=0,a0∈（2，3）,
当a＞a0时，h(a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a)＜0．
所以满足条件的最小正整数a=3．
又当a=3时,f(3）=3（2﹣ln3)＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．
综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3．
（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根,由（1）可知：a＞0．
不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，
化为a=．
∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x)＞0．
故只要证明即可，
即证明x1+x2＞，即证明，
设，令g（t)=lnt﹣，则=．
∵1＞t＞0,∴g′(t)＞0
．∴g（t)在（0,1)上是增函数，又在t=1处连续且g（1)=0,
∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．
2016年10月11日。