永修县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

永修县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0 C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
2． 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：
“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为
1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈
B ．5立方丈
C ．6立方丈
D ．8立方丈
4． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
5． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）
A ．p 真q 真
B ．p 假q 真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 假
6． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 7． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．32
83
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 9． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，
，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧
10．已知，，那么夹角的余弦值（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
11．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2
12．已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB 最小则直线的方程是 ． 14．不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 ．
15．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值
为 ． 16．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
18．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．
19．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以 在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m 元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
20．（本小题满分12分）1111]
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=+≠∈R ，．
（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
（2）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数的取值范围．
21．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *
），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>．
（1）设t 为参数，若22
x =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2
||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．
永修县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
2．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
3．【答案】
【解析】解析：
选B.如图，设E、F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH、GH、FN、MN，则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E-AGHD与四棱锥F-MBCN与直三棱柱EGH-FMN.
由题意得GH＝MN＝AD＝3，GM＝EF＝2，
EP＝FQ＝1，AG＋MB＝AB－GM＝2，
所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1
2×3×1×2＝5立方丈，故选B.
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 5． 【答案】B
【解析】解：若命题“p 或q ”为真，则p 真或q 真，
若“非p ”为真，则p 为假，
∴p 假q 真， 故选：B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．
6． 【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
7． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
8． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 9． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假. 10．【答案】A
【解析】解：∵
，
，
∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos＜＞===﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．
下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．
故选；D．
12．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，
即|AM|min=．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】30
x y
-+=
【解析】
试题分析：由圆C的方程为22230
x y y
+--=，表示圆心在(0,1)
C，半径为的圆，点()
1,2
P-到圆心的距
()1,2
P-在圆内，所以当AB CP
⊥时，AB最小，此时1
1,1
CP
k k
=-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21
y x
-=+，即30
x y
-+=.
考点：直线与圆的位置关系的应用.
14．【答案】（﹣2，1）．
【解析】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，
且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，
所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．
15．【答案】6．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．
由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
16．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是
，，因此不是单调递增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；
④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．
其中正确命题的序号是②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，
则P（B）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．18．【答案】
【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…
（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点
则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，
又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB，所以△BOD≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…
（其他方法亦可）
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问
题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
20．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；
（2）()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝
⎭，，．
【解析】
试题分析：（1）由1a =⇒()2
2111
'x f x x x x -=-
+=．令()'0f x =⇒1x =．再利用导数工具可得：极小值和单调区间；（2）求导并令()'0f x =⇒1x a =，再将命题转化为()f x 在区间(0]e ，上的最小值小于．当1
0x a
=<，
即0a <时，()'0f x <恒成立，即()f x 在区间(0]e ，上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
①
若1
e a
≤
，则()'0f x ≤对(0]x e ∈，
成立，所以()f x 在区间(0]e ，上单调递减， 则()f x 在区间(0]e ，上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=+=+>，
显然，()f x 在区间(0]e ，的最小值小于0不成立． ②若10e <<，即1
a >时，则有
所以()f x 在区间(0]e ，上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
，得1ln 0a -<，解得a e >，即()a e ∈+∞，
，
综上，由①②可知，()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭，，符合题意．……………………………………12分
考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 21．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），a 1=2，
∴，，
，
∴b 1=1，
=2q ＞0，
=2q 2，
又b 3=3+b 2．∴23=2q 2
，解得q=2． ∴a n =2n
．
∴=a 1•a 2•a 3…a n =2×22×…×2n =
，
∴．
（2）c n =
==
﹣
=
，
∴数列{c n }的前n 项和为S n =
﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=
﹣
﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．。