大庆实验中学上学期期末.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末
高三年级数学试题（文）
说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()
U C A B =（ ）
A ．{}3
B ．{}3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}4
2．在复平面内,复数54,12i i +-+对应的点分别为A,B ．若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数的模是( ) A ．13
B ．13
C ．213
D ．210
3．命题：“若2
2
0(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）
A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则22
0a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则2
2
0a b +≠ C. 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ．若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则22
0a b +≠ 4. 已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
5．已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ）
A ．若//m n ，n α⊂，则//m α
B ．若αβ⊥，m αβ=，且n m ⊥，则n α⊥
C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m
D ．若l α⊥，m β⊥，且l m ⊥，则αβ⊥
6．在右侧的程序框图中，若0()x
f x xe =，则输出的是（ ）
A.2014x x e xe +
B.2012x x e xe +
C.2013x x e xe +
D.2013x
e x +
7. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2
2
3,sin 23sin a b bc C B -==， 则角A 为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8. 从圆2
2
2210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A ．
12 B ．3
5
C ．32
D ．0
9．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
A ．2
2
B ．52
C ．62
D ．3
10. 函数()sin(
)(0,0,||)2
f x A x A π
ωφωφ=+>><的部分图象如右图所示，若将
()y f x =的图象向右平移(0)m m >个单位后，得到的图象关于原点对称，则m 的最
小值为（ ） A ．24
π
B ．
12
π
C ．
6π D ．3
π
11．在等腰梯形ABCD 中，//,2,1,2AB CD AB AD CD x ===且，其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的
双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈都有不等式2
12()8
e e t +<
恒成立，则t 的最大值为（ ） A.74 B.38 C.58 D.54
12.设函数 1 (20),() 1 (02),
x f x x x --≤≤⎧=⎨
-<≤⎩1
()() ,[2,2]2g x f x x x =-∈-， 若212
1
(log )(log )2()2g a g a g +≤,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1(0,]2
B ．[1,2]
C ．1[,2]2
D ．2
[,2]2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = . 14．若
sin cos 3sin cos αα
αα
+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= .
15. D C B A ,,,是同一球面上的四个点，,2
ABC BAC AB AC π
∆∠=
=中，,AD ⊥平面ABC ，6AD =，
32=AB ,则该球的表面积为 .
16．已知函数()11
f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *
),向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i 的夹
角，则201612
122016
cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. (本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项和为2n S n = ，数列{}n b 为等比数列，
且8
1
,22111
=
=b b b a ． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
18.(本小题满分12分) 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为
y
x
O
1
π
6
11π12
中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示： 等 级 一级 二级 三级 四级
频 率 0.30 2m
m 0.10 现从该港口随机抽取了n 家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （1）求,m n 的值；
（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.
19.(本小题满分12分) 如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ，
90=∠ABC ，
且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；
（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.
20. (本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为6
3，直线l
与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的
右焦点时， 弦AB 的长为26
3
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点E 的坐标为3
(,0)2
，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；
（3）是否存在点E ，使得2211EA EB
+为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分12分) 已知函数b ax x x x f +++
=2
32
5(）（b a ,为常数）
，其图象是曲线C ． （1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调减区间；
（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，若存在唯一的实数0x ，使得00)(x x f =与0)(0='x f 同时成立，求实数b 的取值范围；
（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切
线2l ，设切线21,l l 的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
如图，PA 是O 的切线，PE 过圆心O ， AC 为O 的直径，PC 与O 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD . (1) 求证：PAD CDE ∠=∠；
(2) 求证：2PA BD
PC PE AD
=
⋅. y
x B P A O E F 1F 2
S C B A M N
A
D
P
B
C
E
O
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程
为123x t y t
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数)， （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换12
x x y y ⎧'=⎪
⎨'=⎪⎩后得到曲线C '，设(,)M x y 为C '上任意一点，
求22
32x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；
（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求实数a 的取值范围.
大庆实验中学2015-2016学年度上学期期末
高三年级数学试题（文）参考答案
一、1—12
DBDCD CABBB CD 二、13. e 14.
43 15. 60π 16. 20162017
三、
17.（1）2n ≥时121n n n a S S n -=-=-，当1n =时111a S ==综上21n a n =-
11221111,2842b b b b q ==∴=∴=12n n b ∴=
（2） ()212n n c n =-
()()()()()()()
2
23
1
123221221232212n n n n T n T n +∴=⨯+⨯+
+-∴=⨯+⨯+
+-
两式相减得
62)32(1+-=+n n x n T
18.(1)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20. 所以20
100n m
=
=. ——————4分 （2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家.
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为a,b ，则从中抽取2家公司，不同的结果为…共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M ，则事件M 包含的结果有：…共6种，所
以62
()155
P M =
=. ——————12分 19. （1）证明：SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥， BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，
又SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥， 又已知SC AN ⊥，
⊥∴SC 平面AMN ； ———————6分 （2）SC ⊥平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ， 而1SA AB BC ===，2AC ∴=，3SC =，
又
AN SC ⊥，63
AN ∴=
， 又AM ⊥平面SBC ，AM AN ∴⊥，
而22AM =，6
6MN ∴=，
1263
22612AMB S ∆∴=⨯⨯=，
11
336
S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=
， 36
1
==∴--AMN S SAN M V V . ————————12分
20. （1）由
63
c a =，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =，
所以椭圆C 的方程为22
22193x y k k
+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代入椭圆
方程，解得y k =±，于是2623k =，即6
3
k =，
所以椭圆C 的方程为22
162x y += ————————3分 （2）将3x =代入22
162
x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而(3,1)A ， 由点E 的坐标为3(,0)2，所以23AB k =，直线AB 的方程为23
()23
y x =-， 联立直线AB 与椭圆C 的方程，解得37
(,)55
B -
-， 又PA 过原点O ，于是(3,1)P --，4PA =，所以直线PA 的方程为30x y -=，
所以点B 到直线PA 的距离3735533
2
5
h -
+==
， 故133634255
PAB S ∆=
⋅⋅= . ——————8分 （3）假设存在点E ，使得22
11
EA EB +
为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x 轴重合时，有20222222
0001221111
(6)(6)(6)
x EA EB x x x ++=+=-+-， 当直线AB 与x 轴垂直时，
2
22
2
00
112
6
62(1)
6
x EA EB
x +==
--， 由20222
001226
(6)6x x x +=--，解得03x =±，20626x =-， 所以若存在点E ，此时(3,0)E ±，22
11
EA EB +
为定值2． 根据对称性，只需考虑直线AB 过点(3,0)E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
又设直线AB 的方程为3x my =+，与椭圆C 联立方程组， 化简得2
2
(3)2330m y my ++-=，所以122233m y y m -+=+，12
23
3
y y m -=+， 又
222222
22111111111
(1)(3)EA m y y m y x y ===++-+， 所以21212222222222
1212()21111
(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=
+++， 将上述关系代入，化简可得22
11
2EA EB
+=． 综上所述，存在点(3,0)E ±，使得22
11
EA EB
+为定值. ————————12分
21. （1）当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+．令0)('
<x f ，解得123
x -<<，
)(x f 的单调减区间为1
(2,)3
-． ——————2分
（Ⅱ） 2
()35f x x x a '=++，由题意知200320000
350
52
x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解．令
325()22g x x x x =++，则2
()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，以()g x 在区间1(,)2-∞-，1(,)3
-+∞上是增函数，在
11(,)23--上是减函数，又11()28g -=-
，17
()354
g -=-，故实数b 的取值范围是71
(,)(,)548
-∞--+∞． ————————6分
（Ⅲ） 设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，
与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005
()[(2)]02
x x x x -++=，所以B 点的横坐标
05(2)2B x x =-+．由题意知，a x x x f k ++==0200'153)(，a x x x f k ++
+=--=4
252012)252(02
00'1，若存在常数
λ，使得12k k λ=，则λ=++
+a x x 4
25201202
0)53(02
a x x ++，即常数λ使得425)1()4)(53(02
0--=-+a x x λλ，所以⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-0425
)1(0
4a λλ，解得1225,4==a λ．故当1225=a 时，存在常数4=λ，使得12k k λ=；当12
25
≠a 时，不存在常数λ使得12k k λ=． ————————12分
22. (1) 由PA 是圆O 的切线，因此弦切角PAD ∠的大小等于夹弧所对的圆周角ACD ∠，在等腰OCD ∆中，OD OC =，可得ACD CDE ∠=∠，所以PAD CDE ∠=∠. ——————5分
(2) 由PBD ∆与PEC ∆相似可知，PB BD PE CE
=
，由切割线定理可知，2
PA PB PC =⋅，则2PA PB PC =，又E C A D =，
可得2PA BD
PC PE AD
=⋅. ———————— 10分
23. （1）2ρ=，故圆C 的方程为224x y +=
直线L 的参数方程为123x t
y t
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，∴直线L 方程为3320x y --+=.———————5分
（2）由''
12
x x
y y
⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'
C ：2214x y +=. 设点M 为2cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩则223232cos(2)3x xy y π
θ-+=++
所以当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
231，
M 或⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--231，M 时，原式的最小值为1. ———————— 10分
24. (1）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．
当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立； 当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得5
12
x -
≤<-； 当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．
综上，不等式的解集为
5
[,)
2
-+∞．———————— 5分
（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，
由此得a≥－7且a≤2x＋7．
当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，
所以a的取值范围是[－7，7]．———————— 10分。