湘教版九年级数学上册《锐角三角函数》阶段综合训练 【范围：4.1～4.3】

阶段综合训练
13．计算． (1)cos260°＋2cos 30°＋tan 45°－tan 60°＋sin260°；
解：原－
3＋34＝2.
(2)3tan230°－cos 30°·tan 30°－2sin 45°＋cos 60°.
原式＝3×
332－
3 2×
33－2×
22＋12＝1－
12－
2＋12＝1－
2.
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14．【原创题】已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 F 是 AB 的中点，EF⊥AB 于点 F，交 AC 于点 E，AB＝20， sin A＝35，求线段 EF 的长．
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解：∵∠C＝90°，AB＝20，sin A＝35， ∴BC＝AB·sin A＝12， ∴AC＝ AB2－BC2＝16，∴tan A＝BACC＝34. ∵点 F 是 AB 的中点，∴AF＝BF，∴AF＝10. 又∵tan A＝EAFF＝E10F＝34，∴EF＝34×10＝125.
∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c， 设∠A＝α.则 tan α＝ab，sin α＝ac.∵b＜c， ∴ab＞ac，∴tan α＞sin α.
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16．如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，sin B＝45，AC＝8， D 为线段 BC 上一点，CD＝2.
(1)求 BD 的值；
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6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6 cm，则 BC 的
长度为( C )
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
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7.如图，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等
腰直角三角形 ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则
(2)求 cos∠DAC 的值． 解：在 Rt△ACD 中， ∵AD＝ AC2＋DC2＝ 82＋22＝2 17， ∴cos∠DAC＝AADC＝2 817＝41717.
阶段综合训练 17．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延
长 CA 至点 D，使 AD＝AB. (1)求∠D 及∠DBC 的度数；
sinα 的值是( )
1 A.3
C.
5 5
6 B.17
D.
10 10
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【点拨】设平行线之间的距离为 1，过 C，B 分别作 CD⊥l1，
BE⊥l1，垂足分别为 D，E，由 AC＝AB 易知△ADC≌△BEA，
得 DE＝3，∴BC＝
32＋12＝
10，∴sin α＝
1＝ 10
1100.
【答案】D
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解：设 BC＝x，在 Rt△ABC 中，∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2x，AC＝ 3BC＝ 3x，∴AD＝AB＝2x， ∴DC＝AD＋AC＝(2＋ 3)x， ∴在 Rt△BCD 中，tan D＝DBCC＝（2＋x 3）x＝2－ 3， tan∠DBC＝DBCC＝（2＋x 3）x＝2＋ 3.
tan 45°____＞____sin 45°，tan 60°____＞____sin 60°；
阶段综合训练 (3)探究： 对于任意锐角 α，是否可以得到 tan α＞sin α 呢？请结
合锐角三角函数的定义加以说明． 解：对于任意锐角 α，都有 tan α＞sin α，理由如下：
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，
解：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD. ∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°，∴∠D＝15°， ∴∠DBC＝90°－∠D＝75°.
阶段综合训练 17．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延
长 CA 至点 D，使 AD＝AB. (2)求 tan D 及 tan ∠DBC 的值；
阶段综合训练 【点拨】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α＋∠β＝90°，∠B＋ ∠β＝90°，∠B＋∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C， ∴sin α＝sin B，故①正确；sin β＝sin C，故②正确； ∵在 Rt△ABC 中，sin B＝ABCC，cos C＝ABCC， ∴sin B＝cos C，故③正确； ∵sin α＝sin B，cos β＝cos C，∴sin α＝cos β，故④正确． 【答案】①②③④
【答案】A
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9．【中考·雅安】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， 4
则 sin A＝___5_________．
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10．若 α 是锐角，且 sin α＝1－2m，则 m 的取值范围是_0_＜__m_＜__12_． 【点拨】α 是锐角，且 sin α＝1－2m， 则有 0＜1－2m＜1，解得 0＜m＜12.
④∵α＋β＝90°，∴sin α＝cos (90°－α)＝cos β，此结论正确．
综上，正确的结论为①③④.
【答案】C
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5．下列计算：①sin 60°＝2sin 30°；②sin245°＋cos245°＝1； ③tan2 60°＝13；④tan 30°＝csions 3300°°.其中错误的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
B.cos355° D．3tan 55°
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4．若 α，β 都是锐角，以下结论：①若 α＜β，则 tan α＜tan β；
②若 α＜β，则 cos α＜cos β；③若 α＋β＝90°，则
tan α·tan β＝1；④若 α＋β＝90°，则 sin α＝cos β.
其中正确的是( )
A．①②
A.35
B.45
C.37
D.34
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2．若锐角 α 的正弦值为 33，则锐角 α 满足( C )
A．α＝30°
B．α＝45°
C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
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3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AB＝3，则 BC 的长
为( C )
A．3sin 55° C．3cos 55°
解：∵在 Rt△ABC 中，sin B＝AACB＝45， ∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. 又∵BD＝BC－CD，CD＝2，∴BD＝6－2＝4.
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16．如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，sin B＝45，AC＝8， D 为线段 BC 上一点，CD＝2.
阶段综合训练 17．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延
长 CA 至点 D，使 AD＝AB. (3)用类似方法求 tan 22.5°的值．
阶段综合训练 解：假设∠BAC＝45°，AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD＝22.5°.设 BC＝a， ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC＝a，AB＝ 2a，∴AD＝ 2a， ∴CD＝DA＋AC＝( 2＋1)a， ∴在 Rt△BCD 中，tan D＝DBCC＝（ 2＋a 1）a＝ 2－1， 即 tan 22.5°＝ 2－1.
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
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【点拨】①∵tan α 随锐角 α 的增大而增大，
∴若 α＜β，则 tan α＜tan β，此结论正确；
②∵cos α 随锐角 α 的增大而减小，∴若 α＜β，则 cos α＞cos β，
此结论错误；
③∵α 与 β 互余，∴tan α·tan β＝1，此结论正确；
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答案显示
1A
2C
3C
4C
5C
6C
11
1 2
7D
8A
9
4 5
10 0＜m＜12
12 ①②③④ 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 见习题
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1．【中考·柳州】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4，AC
＝3，则 sin B 的值为( A )
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15. (1)完成下列填空：
1
3
sin 30°＝___2_____，tan 30°＝___3_____，
2 sin 45°＝____2____，tan 45°＝____1____，
3 sin 60°＝____2____，tan 60°＝_____3___；
(2)观察：由上面的结果，比较大小得：tan 30°___＞_____sin 30°，
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11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(0，2)作直线
l∶y＝12x＋b(b
为常数且 1
b＜2)的垂线，垂足为点
Q，则
tan ∠OPQ＝__2______．
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12．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为 D. 给出下列四个结论： ①sin α＝sin B； ②sin β＝sin C； ③sin B＝cos C； ④sin α＝cos β. 其中正确结论的序号是________．
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8．如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b，∠B＝
α，那么这个平行四边形的面积等于( )
A．ab·sin α
B．ab·cos α
C．ab·tan α
1 D.2ab·sin α
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【点拨】∵AB＝a，BC＝b，∠B＝α， ∴平行四边形 ABCD 的边 BC 上的高为 a·sin α， ∴平行四边形 ABCD 的面积＝底×高＝b·a·sin α＝ab·sin α.