高考数学二轮复习 第二部分 专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)文(含解析)-

第1讲 坐标系与参数方程（选修4-4）
A 级 基础通关
1．(2018·某某卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(π
6－θ)＝2，曲线C 的方程
为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π
6－θ)＝2，
则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π
6，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．
设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π
6.
如图，连接OB .
因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π
2，
所以AB ＝4cos π
6
＝2 3.
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为
参数)，直线l 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16
＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2
＋4(2cos
α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2
α
， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
3．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐
标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，
y ＝1＋3t
(t 为参数)，曲线C 的极坐
标方程为ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积．
解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，
y ＝1＋3t ，
消去参数t 得3x ＋y ＝4，
所以直线l 的普通方程为3x ＋y －4＝0. 由ρ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2sin θ＋23cos θ， 得ρ2
＝2ρsin θ＋23ρcos θ，即x 2
＋y 2
＝23x ＋2y . 所以曲线C 的直角坐标方程是圆(x －3)2
＋(y －1)2
＝4. (2)因为原点O 到直线l 的距离d ＝
|－4|（3）2
＋1
2
＝2.
直线l 过圆C 的圆心(3，1)，所以|MN |＝2r ＝4， 所以△MON 的面积S ＝1
2
|MN |×d ＝4.
4．(2019·某某检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，
y ＝2t
(t
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2
＝
4
1＋sin 2
θ
. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值． 解：(1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2
＝41＋sin 2
θ
，
则ρ2＋ρ2sin 2
θ＝4，
将ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 2
2＝1，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
2
＝1.
由⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t ，
消去参数t 得x －2y ＝m ， 所以直线l 的普通方程为x －2y －m ＝0.
(2)设P (2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得
|PQ |＝
|2cos θ－2sin θ－m |3
＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4－m 3
，
由题意知m ≠0，
当m ＞0时，|PQ |min ＝|22－m |
3
＝2，得m ＝23＋22；
当m ＜0时，|PQ |min ＝|－22－m |
3＝2，得m ＝－23－22，所以m ＝23＋22或m ＝
－23－2 2.
5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2
的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ.
由|OM |·|OP |＝16得
C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积
S ＝12
|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3
＝
2⎪⎪⎪
⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
6．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2
＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.
由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|
k 2
＋1＝2，解得k ＝－4
3
或k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝－4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|
k 2＋1
＝2，故k ＝0
或k ＝43
.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点．
综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
B 级 能力提升
7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋2a cos θ(a ＞0)；直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2
2
t ，y ＝22t (t
为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)若点P 的极坐标为(2，π)，|PM |＋|PN |＝52，求a 的值．
解：(1)由ρ＝2sin θ＋2a cos θ(a ＞0)，得ρ2
＝2ρsin θ＋2ρa cos θ(a ＞0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2y ＋2ax ， 即(x －a )2
＋(y －1)2
＝a 2
＋1.
由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为y ＝x ＋2. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2
2
t ，y ＝22
t .
代入x 2
＋y 2
＝2y ＋2ax ，化简得t 2
－(32＋2a )t ＋4a ＋4＝0.
Δ＝(32＋2a )2－4(4a ＋4)＞0，解得a ≠1. t 1＋t 2＝32＋2a ，t 1t 2＝4a ＋4.
又因为a ＞0，所以t 1＞0，t 2＞0.
因为点P 的直角坐标为(－2，0)，且在直线l 上， 所以|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝32＋2a ＝52， 解得a ＝2，此时满足a ＞0，且a ≠1，故a ＝2.
8．(2019·某某检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝4t 2(t 为参数)，
以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2
m sin θ＋cos θ
.
(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)若C 1与C 2交于P ，Q 两点，求
1
k OP ＋
1
k OQ
的值．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2
(t 为参数)，消去参数t ，得x 2
＝14y ， 则C 1的普通方程为x 2
＝14y .
由ρ＝
2
m sin θ＋cos θ
，得mρsin θ＋ρcos θ＝2，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得my ＋x －2＝0， 即C 2的直角坐标方程为x ＋my －2＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2
(t 为参数)，可得y x ＝4t (x ≠0)， 故4t 的几何意义是抛物线x 2
＝14
y 上的点(原点除外)与原点连线的斜率．
由(1)知，当m ＝0时，C 2：x ＝2，则C 1与C 2只有一个交点，故m ≠0.
把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4t 2(t 为参数)代入x ＋my －2＝0， 得4mt 2
＋t －2＝0，设此方程的两根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－14m ，t 1t 2＝－12m
，
所以
1
k OP
＋
1
k OQ ＝14t 1＋14t 2＝t 1＋t 24t 1t 2＝－14m
4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＝18.。