人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 数列的递推公式

双基达标 (限时20分钟)
1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为 ( )．
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析 a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11. 答案 C
2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，则此数列的第4项是( )．
A.5
16 B.1
2 C.34
D.58
解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，
∴a 2＝12×a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋122＝3
4，
a 4＝12a 3＋123＝38＋18＝12.
答案 B
3．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项a n 可能是 ( )．
A ．5－3n
B ．3·2n －
1－1 C ．5－3n 2
D ．5·2n －1－3
解析 由a 1＝2，得a 2＝2a 1＋3＝7，代入验证得只有D 适合． 答案 D
4．已知数列{a n }满足a 1＝－14，a n ＝1－1
a n －1(n >1)则a 4＝ .
解析 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝4
5，
a 4＝1－1a 3＝－1
4.
答案 －1
4
5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝a n －1－1
2(n ≥2)，则a n ＝ .
解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝－12－12＋…＋(－12)＋1
2
＝－12(n －1)＋12＝1－n 2
.
答案 1－n
2
6．根据下面各个数列{a n }的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N ＋)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2
(n ∈N ＋)．
解 (1)a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9； a 5＝a 4＋7＝16.由a 1＝02，a 2＝12，a 3＝22，a 4＝32，a 5＝42， 可归纳出a n ＝(n －1)2.
(2)a 1＝1；a 2＝2a 1a 1＋2＝23；a 3＝2a 2a 2＋2＝1
2；
a 4＝2a 3a 3＋2＝25；a 5＝2a 4a 4＋2＝1
3.
由a 1＝1＝22，a 2＝23，a 3＝12＝24，
a 4＝25，a 5＝13＝2
6.
可归纳出a n ＝2n ＋1
.
综合提高 (限时25分钟)
7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1
n )，则a n 等于
( )．
A ．2＋ln n
B ．2＋(n －1)ln n
C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
解析 由题意可知：a n ＋1＝a n ＋ln n ＋1
n ，
即a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，
于是a n ＝(a n －a n －)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A
8．已知数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2a n (0≤a n <12
)，
2a n
－1(1
2
≤a n
<1).若a 1＝6
7
，则a 2 012的值为( )．
A.67
B.5
7 C.37
D.17
解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝6
7，
故数列{a n }是以3为周期的周期数列，
又知2 010除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝5
7.
答案 B
9．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a n 2＋(－1)n ＋
1(n ∈N *)，则a 4a 2＝ .
解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4＝136，a 4a 2＝13
12.
答案
13
12
10．已知数列的前n 项和为S n ，满足log 2(1＋S n )＝n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 ∵log 2(1＋S n )＝n ＋1 ∴1＋S n ＝2n ＋1 即S n ＝2n ＋1－1
当n ＝1，a 1＝S 1＝22－1＝3
当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1) ＝2n ＋1－2n ＝2n
∵a n ＝2n ，对于n ＝1，a 1＝21＝2≠3
∴通项公式为a n ＝⎩⎨⎧
32n
n ＝1n ≥2
答案 ⎩⎨⎧ 32
n
n ＝1n ≥2
11．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －2＋1a n ＝2
a n －1(n ≥3，n ∈N *)，求a 3，a 4的值．
解 令n ＝3，则1a 1＋1a 3＝2a 2，将a 1＝1，a 2＝2
3代入，
1a 3＝2a 2－1
a 1＝3－1＝2， ∴a 3＝12
.
令n ＝4，则1a 2＋1a 4＝2
a 3，
将a 2＝23，a 3＝1
2代入，
1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52， ∴a 4＝25
.
12．(创新拓展)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ＝
1,2,3，…)，求它的通项公式．
解 ∵(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.
∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n
n ＋1.
∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1 ＝12×23×3
4×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n
. 又 a 1＝1，∴a n ＝1
n .。