2021-2022年九年级数学上期中模拟试卷附答案

一、选择题
1．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数
a 使关于x 的不等式组()1242122123
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程233
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59
2．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )
A ．59
B ．49
C ．56
D ．13
3．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A ．14
B ．12
C ．34
D ．1 4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（ ） A ．34 B ．23 C ．12 D ．14
5．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）
A ．()()3022023020=++⨯x x
B ．()()30203020++=⨯x x
C ．()()30220223020--=⨯⨯x x
D ．()()30220223020++=⨯⨯x x 6．如果方程220x x --=的两个根为α，β，那么22αβαβ+-的值为（ ） A ．7
B ．6
C ．2-
D ．0 7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（ ）
A ．32
B ．36
C ．32或36
D ．不存在 8．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94
9．如图，边长为,a b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）
A ．140
B ．70
C ．35
D ．24
10．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为
（ ）
A ．(21):1+
B ．(221):1-
C ．2∶1
D ．5∶2
11．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；
③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，正方形ABCD 是一飞镖游戏板，其中点E ，F ，G ，H 分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______．
14．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．
15．若关于x 的一元二次方程22(2)40m x x m ++-+=有一个根是0，则m =____． 16．关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=总有两个实数根，则常数k 的取值范围是________．
17．将23220x x --=配方成2()x m n +=的形式，则n =__________．
18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，两条对角线相交于点O ，OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，以为11A B 、1A C 邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……此类推，第2020个平行四边形的面积__________．
19．若ABC ∆的三边长分别为5，61，比较三边长的大小，并用“<”连接起来，___________，最长边上的中线长为___________．
20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．
三、解答题
21．为弘扬中华传统文化，某初中初三年级举办了“国学经典大赛”．比赛项目：A ．宋词；B ．论语；C ．唐诗；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小明参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率是多少？ （2）小芳和小华组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的
比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
22．某中学为了解九年级学生对足球、篮球、排球这三种球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）求此次调查的学生总人数，并补全条形统计图．
（2）若该中学九年级共有500名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少人？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取两名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表或画树状图的方法求抽取的两名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
23．按要求解下列方程：
用配方法解：（1）x 2﹣4x +1＝0．
用公式法解：（2）21204x x --
=． 24．解方程：
（1）解分式方程：11222x x x
-+=--； （2）解方程：235(21)0x x ++=．
25．如图，▱ABCD 的对角线AC 恰好平分∠DAB ，点H 、点F 分别在AD 、BC 上．点E 、点G 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE ＝AH ＝CG ＝CF ．
（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；
（2）写出∆HEA 和四边形EFGH 的面积之间的数量关系，并说明理由．
26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按照顺时针方向旋转m 度后得到DEC ∆，点D 刚好落在AB 边上．
（1）求m 的值；
（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率．
【详解】
解不等式组得：7x a x ≤⎧⎨>-⎩
， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，
∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，
分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3，
解得：x ＝52
a - ， ∵分式方程有非负整数解，
∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，
∴P ＝49
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．
【详解】
解：由题意可画树状图如下：
根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的
情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：4
9
．
【点睛】
本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：3
4
．
故选：C．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．也考查了中心对称图形的定义．
4．A
解析：A
【分析】
用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答．
【详解】
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况，
故至多有一次正面朝下的概率为3
4
．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．D
解析：D
【分析】
由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
将α代入方程220x x --=，即可得22αα=+，即可推出
22()22αβαβαβαβ+-=+-+，再由韦达定理即可求出结果．
【详解】
将α代入方程220x x --=得：220αα--=，即22αα=+
∴2222()22αβαβαβαβαβαβ+-=++-=+-+．
∵α、β是方程的两个根， ∴111αβ-+=-
=，221
αβ-==-． ∴()2212(2)27αβαβ+--=-⨯-+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．
【详解】
分为两种情况：
①当腰长是4时，设底边为a ，
依题意得：a+4=12，
解得：a=8，
即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；
②底边为4，设腰长为b ，
依题意得：b+b=12，
∴腰长为b=6，
即三边为4，6，6，
∴m=6×6=36；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．
8．B
解析：B
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，
∴()203410k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩
＝， ∴k≤
94
且k≠0． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
【详解】 根据题意得：1472
a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．
【详解】 解：正方形ABCD ，
AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，
22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，
CF DG ⊥，
67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，
67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，
OCE ODG ∴∠=，
又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，
()DOG COE ASA ∴∆≅∆，
OG OE ∴=，
设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，
2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12
BCE S BE OC ∆=，OD OC =，
::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．
11．D
解析：D
【分析】
证明△BCE ≌△CDF 可判断①；利用△BCE ≌△CDF 可得S △BCE =S △CDF ，从而可判断②；证明△BCG ∽△CEG 得
CG GE BG CG
=，可判断③；过D 作DM ⊥FG 于M ，证明MD=MG 即可判断④，从而可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=CD ，∠BCE=∠CDF 又CE=DF
∴△BCE ≌△CDF
∴BE CF =，故①正确； ②∵△BCE ≌△CDF
∴S △BCE =S △CDF ，
∴S △BCE -S △CGE =S △CDF -S △CG ， ∴BCG DFGE S S ∆=四边形； ③∵△BCE ≌△CDF
∴∠CBE=∠FCD
∵∠BCG+90GCE ∠=︒， ∴∠90BCG CBG +∠=︒ ∴∠90BGC =︒
又∵∠BGC=∠CGE=90°，∠GBC=∠GCE ∴△BCG ∽△CEG ∴CG GE BG CG
=, ∴2CG BG GE =⋅，故③正确； ④过D 作DM ⊥FG 于M ，如图所示，
设DF=a ，则AD=2a
∵CE=DF ∴225BE BC CE a =+=
利用面积法可得
1122BC CE BE CG = ∴255CG a = 同理可得，255
DM a = ∴2255FM DF DM a =-=
∴ ∴MD=MG
∵∠DMG=90° ∴45FGD ∠=︒，故④正确
∴正确的结论有4个，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了运用正方形的有关性质进行讲明和求解，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明
90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBE CEF S S =可得：13CBE ABCD S S =，可得：
2,3
BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④．
【详解】
解：①∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，
AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴EF=CF ，故②正确；
③∵EF=FM ，
EFC CFM S S ∴=，
若,CBE CEF S
S = 则13CBE ABCD S S = 11,23
BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴=
2,3
BE AB ∴= 与已知条件不符， 故CBE CEF
S S =不一定成立，故③错误； ④设∠FEC=x ，
,EF CF =
∴∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-，
∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，
∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-
∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内
角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．
二、填空题
13．【分析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD 的面积得到概率【详解】解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF 的面积设正方形ABCD 的边长是则∵F 是BC 中点∴∴概率是故答案是：【点睛】本题考查概率的求 解析：14
【分析】
用阴影部分的面积除以正方形ABCD 的面积得到概率．
【详解】
解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF 的面积，
设正方形ABCD 的边长是x ，则AB x =，
∵F 是BC 中点， ∴12BF x =
， ∴211112224
ABF S AB BF x x x =⋅=⋅=， 概率是221144ABF ABCD
x S S x ==． 故答案是：
14
． 【点睛】 本题考查概率的求解，解题的关键是掌握概率求解的方法．
14．4【分析】先列举出所有上升数再根据概率公式解答即可【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个概率为36÷90=04故答案为：04
解析：4
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=0.4．
故答案为：0.4．
15．2【分析】先把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0然后解关于m 的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值【详解】解：把x ＝0代入方程得m2﹣4＝0解得m1＝2m2＝﹣2因为m+2≠0所以m≠-2所以
解析：2
【分析】
先把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，然后解关于m 的方程后利用
一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．
【详解】
解：把x ＝0代入方程22(2)40m x x m ++-+=得m 2﹣4＝0，
解得m 1＝2，m 2＝﹣2，
因为m +2≠0，
所以m≠-2
所以m 的值为2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．且【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个实数根∴△=-(2k+1)2-4k k≥0且k≠0解得：且k≠0故答案为：且k≠0【点 解析：14
k ≥-
且0k ≠ 【分析】
根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有两个实数根， ∴△=[-(2k+1)]2-4k ⨯k≥0，且k≠0，
解得：14
k ≥-且k≠0． 故答案为：14k ≥-
且k≠0． 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解．
17．【分析】先将二次项系数化为1再利用配方法变形即可得出答案【详解】解：∵3x2-2x-2=0∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用熟练掌握配方法是解题的关键 解析：79
【分析】
先将二次项系数化为1，再利用配方法变形即可得出答案．
【详解】
解：∵3x 2-2x-2=0， ∴222033x x -
-=， ∴221213939
x x -+=+， ∴21
7()39x -=
， 故答案为：
79
． 【点睛】 本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 18．【分析】结合题意根据矩形性质得平行四边形为菱形从而依次计算前4个平行四边形的面积并通过归纳计算规律即可得到第2020个平行四边形的面积
【详解】∵矩形中两条对角线相交于点∴∵为邻边作第1个平行四边形∴ 解析：2020
2ab 【分析】
结合题意，根据矩形性质，得平行四边形1OBB C 为菱形，从而依次计算前4个平行四边形的面积，并通过归纳计算规律，即可得到第2020个平行四边形的面积．
【详解】
∵矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，两条对角线相交于点O
∴OB OC OA ==
∵OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C
∴11OB OC BB CB ===
∴平行四边形1OBB C 为菱形
∵平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，
∴1OA BC ⊥，1112BA CA BC ==
，111OA A B = ∵OC OA = ∴11122
OA AB a == ∴第1个平行四边形1OBB C 面积112
BC OA a b =⨯=⨯ ∴第2个平行四边形111A B C C 面积1111122
AC A B a b =⨯=⨯ 同理，得第3个平行四边形1121O B B C 面积21111122222a b a b ⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭
第4个平行四边形2221A B C C 面积2221111122222a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
以此类推，第2020个平行四边形2221A B C C 面积为：
10101010202020201112222
ab a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：
20202
ab ． 【点睛】 本题考查了数字及图形规律、三角形中位线、幂的乘方、平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握数字及图形规律、幂的乘方、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．
19．5【分析】先判断三条边的大小进而判断三角形为直角三角形根据直角三角形性质求解即可【详解】解：∵∴三边大小关系为∵∴为直角三角形5为斜边长∴最长边上中线即斜边上中线长为25故答案为：；25【点睛】本题
解析：15<< 5
【分析】
先判断三条边的大小，进而判断三角形为直角三角形，根据直角三角形性质求解即可．
【详解】
解：∵
∴三边大小关系为15<<，
∵(2221=25=5+，
∴ABC ∆为直角三角形，5为斜边长，
∴最长边上中线即斜边上中线长为2.5．
故答案为：15<；2.5．
【点睛】
本题考查了二次根式化简，勾股定理逆定理，直角三角形性质，根据三边长判断出三角形是直角三角形是解题关键．
20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC
解析：20
【分析】
根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．
【详解】
∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，
∴EF ∥AC ，EF=12
AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=
12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，
∴EF ⊥BD ，
∵EH ∥BD ，
∴EF ⊥EH ，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH 是矩形，
∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,
故答案为：20．
【点睛】
此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键．
三、解答题
21．（1）1
4
；（2）
1
12
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）根据题意，
恰好抽中“唐诗”的概率是1
4
；
（2）根据题意，树状图如下所示：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共12种，这些结果出现的可能性相等，小芳抽中
“三字经”且小华抽中“论语”的结果只有1种，所以概率是
1 12
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（1）60人，画图见解析；（2）225人；（3）2 3
【分析】
（1）根据喜爱足球的人数和所占的百分比求出总人数，由总人数减去喜爱足球和篮球人数，即可求出喜爱排球的人数，并补全条形图即可；
（2）由总人数乘以喜爱篮球运动的学生的百分数即可得解；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）此次调查的学生总人数为1220%60
÷=（人）．
喜爱排球运动的学生人数为60-12-27=21（人），
补全条形统计图如下：
（2）500(135%20%)225
⨯--=（人），
估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的学生有225人．
（3）画树状图如下：
由图可知，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等，其中抽取的两人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
P
∴（抽取的两名学生恰好为1名男生和1名女生）
82 123 ==．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中
选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23．(1) x 1＝x 2＝2；(2) x 1＝
2，x 2． 【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】
解：（1）2410x x -+=，
∵x 2﹣4x ＝﹣1，
∴x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，
则x ﹣2＝
∴x
1＝x 2＝2
（2）2104
x --=， ∵a ＝1，b
，c ＝﹣14
， ∴△
2﹣4×1×（﹣
14）＝3＞0，
则x
即x 1，x 2． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程．
24．（1）无解；（2）153
x -=，253x -=． 【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程整理后，求出24b ac -的值，再代入公式进行计算，即可求出方程的解．
【详解】 解：（1）
11222x x x
-+=-- 去分母，得12(2)1x x -+-=-， 去括号，得1241x x -+-=-，
解得：2x =，
经检验：2x =是增根，所以原分式方程无解．
（2）235(21)0x x ++=，
整理得：231050x x ++=，
∵3a =，10b =，5c =，
∴241006040b ac -=-=＞0， ∴1021051063x -±-±==， 则原方程的解为15103x -+=
，25103x --=． 【点睛】
此题考查了解分式方程与一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法与公式法解一元二次方程是解答本题的关键．
25．（1）证明见详解；（2）14
EHA EFGH S
S =四边形，理由见详解． 【分析】
（1）由题意易得▱ABCD 是菱形，进而可证△DHG ≌△BFE ，则有HG=FE ，∠DHG=∠BFE ，然后可证HG ∥EF ，则问题得证；
（2）连接HC 、AF 、HF ，AC 与HF 交于点O ，连接EG ，由题意易得AC 与HF 互相平分，HF 与EG 互相平分，进而可证EH ∥AC ，然后根据面积之间的等量关系进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图：
∵AC 恰好平分∠DAB ，
∴∠DAC=∠CAB ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，AD=BC ，∠D=∠B ，
∴∠DHG=∠1，∠DCA=∠CAB ，
∴∠DAC=∠DCA ，
∴AD=DC ，
∴四边形ABCD 是菱形，
又∵AE ＝AH ＝CG ＝CF ，
∴DH=BF ，DG=BE ，
∴△DHG ≌△BFE ，
∴HG=FE ，∠DHG=∠BFE ，
∴∠1=∠BFE ，
∴HG ∥EF ，
∴四边形EFGH 是平行四边形；
（2）连接HC 、AF 、HF ，AC 与HF 交于点O ，连接EG ，如图所示：
由（1）可得：
∵AH=CF ，AH ∥CF ，
∴四边形AFCH 是平行四边形，
∴AC 与HF 互相平分，
∵四边形EFGH 是平行四边形，
∴HF 与EG 互相平分，
∴HF 、AC 、EG 互相平分，相交于点O ，
∵AE=AH ，DA=DC ，BE=DC ，
∴∠EAH=∠D ，
∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA ，
∴EH ∥AC ， ∴14
EHA EHO EFGH S S S ==四边形． 【点睛】
本题主要考查菱形的性质与判定及平行四边形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定及平行四边形的性质与判定是解题的关键．
26．（1）60︒；（2）菱形
【分析】
（1）由旋转的性质可得出AC CD =，再由三角形的内角和可求出
=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠，因此可证出ACD △是等边三角形，得到=60ACD ︒∠，即可解决问题；
（2）根据题意，证明AD AC =，再证明DF CF AD ==，得到
AD DF CF AC ===，即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意可得：AC CD =
∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒
∴=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠
∴ACD △是等边三角形
∴=60m ACD ︒=∠
（2）∵DAC △为等边三角形
∴AD AC =
∵2AB AD BD AC =+= ∴12AD BD AB ==
由题意得：DE AB =，90DCE ACB ∠=∠=︒
∵F 是DE 的中点 ∴1122
DF CF DE AB ==
= ∴AD DF CF AC ===
∴四边形ACFD 是菱形 【点睛】
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．。