江西省2021届高三数学上学期第二次月考试题 文

南康中学2021～2021学年度第一学期高三第二次大考
数 学（文）试 卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知集合}4,3,2,1{=A ，}06|{2
<--=x x x B ，则=B A
A.}2{
B.}2,1{
C.}3,2{
D.}3,2,1{
2. 已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z}，则下列集合是集合M 的子集的为( )
A ．P ＝{－3,0,1}
B ．Q ＝{－1,0,1,2}
C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z}
D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N}
3. 设y 1＝40.9
，y 2＝80.48
，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5
，则( )
A ．y 3＞y 1＞y 2
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 1＞y 3＞y 2
D ．y 1＞y 2＞y 3
4. 求值：2log 510＋log 50.25＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
5.若函数()11
x
m
f x e =+
-是奇函数，则m 的值为（ ） A ．0
B ．
C ．1
D ．2
6. 设函数)(x f 的导函数为)('x f ，若11
ln )(-+
=x
x e x f x
，则=)1('f A. 3-e
B.2-e
C.1-e
D.e
7. 函数()21x
y x e =-的图象是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数x
e x a x x
f )1()(2
2
++=，则“2=a ”是“函数)(x f 在x ＝－1处取得极小
值”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.22b f -=，，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A.a c b >>
B. b c a >>
C.b a c >>
D. a b c >>
10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当
01x ≤≤，()2
f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的
公共点，则实数a 的值是（ ）
D. 011.上有两个极值点，则a 的取值范围是
（ ）
12.已知函数()ln 1f x x =+，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）
B. 2e - 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上。

13.已知函数()2log ,0
3,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则[(0)]f f = ．
14. 已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________.
15.已知)(x f 是定义在),(ππ-上的奇函数，其导函数为)('x f ，2)4
(=
π
f ，且当)
,0(π∈x 时，0cos )(sin )('>+x x f x x f 。

则不等式1sin )(<x x f 的解集为
16.，若)0f x <（
的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本题满分10分)
已知函数
()f x
=
的定义域为集合A ，集合{|10,}B x ax a *
=-<∈N ，集合
2{|log 1}C x x =<-．
（1）求
A C ；
（2）若C ⊂≠ (A B )，求a 的值．
18. (本小题满分12分)
已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2时，f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒
成立．如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求c 的取值范围．
19. (本小题满分12分)
已知函数2
2
()()k
k f x x k Z -++=∈满足(2)(3)f f <．
(1) 求k 的值并求出相应的()f x 的解析式．
(2) 对于(1)中得到的函数()f x ，试判断是否存在0q >，使函数()1()2(1)g x qf x q x =-+-在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)
设1
2
1()log 1ax
f x x -=-为奇函数，a 为常数． (1) 求a 的值；
(2) 求证：()f x 在区间(1，＋∞)上单调递增；
(3) 若对于区间[3，4]上的每一个x 的值，不等式1
()()2
x
f x m >+恒成立，求实数m 的
取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数1)(--
=x
x
e x
ae x f ，其中0a >。

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值。

22. (本小题满分12分)
(1)若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；
(2)若函数()()()2
1g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，
证明： 23
12x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.
南康中学2021～2021学年度第一学期高三第二次大考
数学（文）试卷参考答案
一. 1-6 BDCCDC 7-12 AABDDA
二.13.0 14. 193 15.,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭三. 17.解：（1）由题意得A =(0,)+∞.，C =)2
1,0(，
∴(0,)A
C =+∞． (4)
（2）由题意得B =*
)1,(N a a
∈-∞，∴
)1,0(a
B A = ，................(6) ∵
C ⊂≠A
B ， ∴2
1
1>∴
a ， ......................(8) ∴20<<∴a ，又∵a *∈N ， ∴a =1． .......................(10) 18.解 由p 得0＜c ＜1.由q 得1c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，又c ＞0，∴c ＞1
2，
因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 和q 一真一假． 即⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜c ＜1，c ≤12
或⎩⎪⎨⎪
⎧
c ≥1，c ＞12，
解得0＜c ≤1
2或c ≥1.
∴c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，12∪[1，＋∞)．
19. 解：(1) ∵ f(2)<f(3)，
∴ －k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. ∵ k∈Z ，∴ k＝0或k ＝1.
当k ＝0或k ＝1时，－k 2
＋k ＋2＝2， ∴ f(x)＝x 2
.
(2) 假设存在q>0满足题设，由(1)知 g (x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x∈[－1，2]．
∵ g (2)＝－1，∴ 两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫
2q －12q ，4q 2
＋14q 处取得．
而4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）2
4q
≥0，
∴ g(x)max ＝4q 2
＋14q ＝17
8， g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4. 解得q ＝2.∴ 存在q ＝2满足题意．
20．解: (1) ∵ f(x)为奇函数，∴ f(－x)＋f(x)＝0恒成立，
∴ log 121－ax x －1＋log 121＋ax －x －1＝log 12
1－a 2x 2
1－x 2＝0恒成立，
∴ 1－a 2x 2
1－x 2＝1，∴ a 2＝1，∴ a＝±1.经检验a ＝1不合题意，∴ a＝－1. (2) 证明：由(1)知，f(x)＝log 12
1＋x x －1，设x 1>x 2>1， 则f(x 1)－f(x 2)＝log 121＋x 1x 1－1－log 121＋x 2x 2－1＝log 12
（1＋x 1）（x 2－1）
（x 1－1）（1＋x 2）.
∵ (1＋x 1)(x 2－1)－(x 1－1)(1＋x 2)＝x 2＋x 1x 2－1－x 1－x 1＋1－x 1x 2＋x 2＝2(x 2－x 1)＜0， 且(1＋x 1)(x 2－1)>0，(x 1－1)(1＋x 2)>0，∴ （1＋x 1）（x 2－1）
（x 1－1）（1＋x 2）＜1，∴ f(x 1)－f(x 2)>0， ∴ f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
(3) 由(2)知函数h(x)＝f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在[3，4]上单调递增，
∴ h(x)的最小值为h(3)＝f(3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝－98， ∴ 使f(x)>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＋m 恒成立的m 的取值范围是m<－98.
22.解:（1）由题可知，函数的定义域为，
因为函数在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立等价于，即，所以的取值范围是
.
（2）由题得，则因为有两个极值点，
所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于①.
由可得，则②.
由 可知，原不等式等价于，即
设，则，则上式等价于.
令，则
因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，
所以原不等式成立，即.。