天津市2019届高三下学期第一次质量调查数学(文)试题

高三年级第一次质量调查 数学（文）学科试卷
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
∙
如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么
)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.
∙
柱体的体积公式Sh V =. ∙锥体的体积公式Sh V 3
1
=.
其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,
h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合{1,2,3,4}A =，{}
33≤≤-∈=x N x B ，则=B A (A){1,2,3,4} (B){3,2,1,0,1,2,3,4}--- (C){1,2,3}
(D){1,2}
(2) 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤+≥,32,3,1y x y x x 则y x z +=2的最大值为
(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4
（3）执行如图所示的程序框图，输出的S
值为
（A ）1 （B ）1-
（C ）0 （D ）2-
(4) 在△ABC 中,若bc c b a -+=222,4=bc ,则△ABC 的面积为
(A) 2
1 (B) 1 (C) 3 (D) 2
(5) 不等式01
1>-
x
成立的充分不必要条件是 (A) 1>x (B) 1->x (C) 1-<x 或10<<x (D)
01<<-x 或1>x
(6) 已知b a 22log log >，则下列不等式一定成立的是
(A) b
a
1
1> (B) 0)ln(>-b a (C) 12<-b a (D)
b a )2
1
()31(< (7) 设双曲线122=+ny mx 的一个焦点与抛物线28
1
x y =的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为
(A) 2 (B) 3 (C) 22 (D)
32
(8) 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=1,24,
10,0)(2x x x x g 若关于x 的方程)()(x g m x f =+恰有
三
个不相等的实数解,则m 的取值范围是
(A) ]2ln ,0[ (B) )0,2ln 2(-- (C) (]0,2ln 2-- (D)
[)2ln 2,0+
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2. 本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9) 已知R a ∈，且复数
i
1i
2++a 是纯虚数,则=a . (10) 直线0:
=++m y x l 与圆22:4210C x y x y +-++=
交于,A B 两点，若ABC ∆为等腰直角三角形，则=m
.
(11) 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该
几何体的体积为 cm ³.
(12) 已知函数c bx ax x x f +++=23)(，若0)1(,0)1(='=f f ，但1=x 不是函数的
极值点，则abc 的值为 . (13) 如图,在直角梯形ABCD 中,3
π
=
∠BAD ,2==AD AB .若N M 、
分别是边AD 、BC 上的动点,满足AD AM λ=，BC BN )1(λ-=， 其中)1,0(∈λ,若2AN BM ⋅=-,则λ的值为 .
(14) 已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3===. (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)6
2cos(π
+
A 的值. (16) (本小题满分13分)
为预防11H N 病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A 组
B 组
C 组
疫苗有效
673
x
y
N
D
C
M
B
A
正视图
俯视图
侧视图
3
2
4
疫苗无效 77 90
z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是33.0． （Ⅰ）求
x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？
（Ⅲ）已知465≥y ，30≥z ，求不能通过测试的概率．
(17) (本小题满分13分)
如图，在四棱柱
中， ，
，
，
且．
（Ⅰ）求证：//1C B 平面11A ADD ；
（Ⅱ） 求证：D B AC 1⊥ ；
（Ⅲ） 若
，判断直线D B 1与平面 1ACD 是否垂直?并说明理由．
(18) (本小题满分13分)
已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 832+=,}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . (Ⅰ) 求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； (Ⅱ) 令n
n n n n b a c )2()1(1++=+,求数列}{n c 的前n 项和n T .
(19) (本小题满分14分)
已知椭圆1:
2
22
2=+b y a x C )0(>>b a 经过点)2
6
,
1(,左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为24. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2
OQ
MN 的值.
(20) (本小题满分14分)
已知函数()ln f x x x =.
A
1A
1B
1D
1C
B
C
D
（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的 最小值.（其中e 为自然对数的底数）
数学（文）学科试卷参考答案
一、选择题 (每小题5分，共40分)
(1) C (2) C (3) B (4) C (5) A (6) D (7) B (8) C
二、填空题 (每小题5分，共30分)
(9) 2- (10) 1或3- (11) 2
336π- (12) 9 (13) 2
3
(14) 3
三、解答题 (本大题共6小题，共80分) (15) (本题13分)
(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==， …………(1 分)
由正、余弦定理得ac
b c a b a 222
22-+⋅=. ………………(3
分) 因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a . ………………(5
分)
(Ⅱ) 解:由余弦定理得3
1
612192cos 222-=-+=-+=
bc a c b A . … …(6 分)
由于π<<A 0，所以3
2
2911cos 1sin 2=-
=-=A A …(8 分)
故9
7
2cos 924-2sin -==A A ， …(11 分)
18
3
7246
sin
2sin 6
cos
2cos )6
2cos(-=
-=+
π
π
π
A A A ……… (13 分) （16）（(本小题满分13分)
（Ⅰ）解： 在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率为33.0，
即
0.332000x
= ∴ 660x =. …………（4分）
（Ⅱ）解：C 组样本个数为:500)9066077673(2000=+++-=+z y ，
用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C 组抽取个
数为
902000
500
360=⨯
（个）． ………（8分）
（Ⅲ）解：设测试不能通过事件为M ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为
),(z y .
由（Ⅱ）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：
)35,465(、)34,466(、)33,467(、)32,468(、)31,469(、)30,470(共6个 . (10分）
若测试不能通过，则2009077>++z ，即33>z .
事件M 包含的基本事件有：)35,465(、)34,466(共2个， ∴ 3
162)(==
M P . ∴故不能通过测试的概率为31
. …………（13
分）（17）(本小题满分13分) （Ⅰ）证明：∵
，
，
， ∴
．
∵ ，
，…（2分）
，
∴
． …………（3
分）
又因为
．∴平面
． ……（4分）
又因为
，∴
． ……（5分）
（Ⅱ）证明：∵
，
．∴．…………（6分） 又∵ ，
，∴
．………（7分）
又∵
．∴
． ……………（8分）（Ⅲ）
结论：直线
与平面
不垂直．
证明：假设 ，
由 ，得
． ……………………（9分）
由棱柱 中，
，
，
可得 ，
．
又∵
，∴
． ……（11分）
A
1
A 1
B 1D
1C
B C D
∴
．又∵
，∴
． …（12分） ∴
．这与四边形
为矩形，且
矛盾．
故直线
不垂直． …………………（13分）
(18) (本题13分)
(Ⅰ) 解: 当1=n 时, 由1111==S a . …………………………(1 分)
当n ≥2时,由561+=-=-n S S a n n n . ………………………(2
分)
∵1a 也符合上式，
∴数列}{n a 的通项公式为56+=n a n . ………………………(3
分)
设数列}{n b 的首项1b ，公差为d , 由1++=n n n b b a 得⎩⎨
⎧+=+=322
211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d
b 321721111
解得3,41==d b , ……………………………………………(5 分)
∴13+=n b n . ………………………………………(6 分)
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得11
2)1(3)
33()66(++⋅+=++=n n
n n n n n c ……………………(8 分)
∴n n c c c c T ++++= 321
[]
1322)1(23223+⨯+++⨯+⨯=n n ……………………(9
分)
则[]
2432)1(232232+⨯+++⨯+⨯=n n n T 两式作差得
=-n T []
214322)1(222223++⨯+-+++⨯n n n ……(10
分)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+---+⨯=+22)1(21)
21(443n n n 223+⋅-=n n ………(12
分)
所以，223+⋅=n n n T ………………………(13 分)
(19) (本题14分)
(Ⅰ) 解: 由题知⎪⎩⎪
⎨⎧=+=123
12422
2b a ab 解得⎩⎨⎧==22b a …………(3 分)
则椭圆C 的标准方程为12
42
2=+
y x . ……………………………(4 分)
(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,)0,2(2F , …………………………(5 分)
设直线my x OQ =:，则直线2:+=my x MN ………………………(6 分)
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1242
2y
x my x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=24242222
2m y m m
x Q Q 所以2
)1(42222
2++=+=m m y x OQ Q Q . ………………………(8
分)
由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=124
222y x my x 得 0222)2(22=-++my y m . ………(9 分)
设),(),,(2211y x N y x M ，则2
2
,222221221+-=+-=+m y y m m y y . …(10 分) 所以2122122124)(11y y y y m y y m MN -++=-+= ………(11 分) )2
2
(4)222(12222
+--+-+=m m m m 2)1(422++=
m m . ……(13 分) 所以12
)1(42)
1(422222
=++++=m m m m OQ
MN ……………………(14分)
(20) (本小题满分14分)
（Ⅰ）解： ()ln 1f x x '=+，0x >， ……………………（2分）
由()0f x '=得1
e
x =，
所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1
(,)e
+∞上单调递增…………（4
分）
所以，1
e
x =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. …………（5
分）
（Ⅱ）解：设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， ……………（6分）
切线的斜率为0ln 1x +， 所以，000
1
ln 1y x x ++=， ………………（7分）
解得01x =，00y =，
所以直线l 的方程为10x y --=. ………………（9分）
（Ⅲ）解：()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-， ………………（10分） 解()0g x '=，得1e a x -=，
所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，
在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ………………（11
分）
当1e 1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最小值为(1)0g =. ………………（12
分）
当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最小值为11(e )e a a g a --=-. …（13分） 当1e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，
所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ……………（14
分）。