【易错题】数学高考一模试题(含答案)

【易错题】数学高考一模试题(含答案)
一、选择题
1．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +
D ．12i -+
2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27
B ．11
C ．109
D ．36
3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
4．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 5．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
6．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线
C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
7．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
A ．sin(+
)2
π
α B ．s(+
)2
co π
α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+
8．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}
B ．{3,5,6}
C ．{1,3,5,6}
D ．{1,2,3,4}
9．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示,已知4B C ''=,3AC ''
=,//'''B C y 轴,
则ABC 中AB 边上的中线的长度为( )
A ．
73
2
B 73
C ．5
D ．
52
11．设双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲
线的离心率等于（ ） A 3B ．2
C 6
D 512．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
二、填空题
13．设25a b m ==,且
11
2a b
+=,则m =______. 14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________. 15．函数2()log 1f x x =-________． 16．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲
18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
P ABC -的体积为________. 三、解答题
21．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且
111
23m a b c
++=，求证239a b c ++≥ 22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，
1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程. 24．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy
，已知曲线:sin x a C y a
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为cos()124
π
ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．
25．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？
5.74,35 5.92≈≈≈） 26．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b
x x =，函数()f x a b =⋅.
（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；
（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线
y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得
()())((
())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++
0ν1∴=
1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=
故答案选D
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】
解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;
③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A
【点睛】
(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;
(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．
5．B
解析：B 【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，
2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩
1b ⇒=- ，故选B. 6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以12||F F =
=c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以b =
所以双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】
解：角α的终边在第二象限，sin +
2πα⎛⎫
⎪⎝
⎭
＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛
⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；
()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；
()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确
故选D 【点睛】
本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】
因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】
本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】
当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，
综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则
p 是q 的既不充分也不必要条件.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】
由斜二测画法规则知AC BC ⊥,即ABC 直角三角形,其中3AC =,8BC =,所以
AB =所以AB 边上的中线的长度为
2
.
【点睛】
本题主要考查了斜二测画法前后的图形关系,属于基础题型.
11．D
解析：D 【解析】
由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1
b y x a y x ⎧=⎪
⎨⎪=+⎩消
y 得，2
210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =
，所以e == D. 【点睛】
双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．
直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．
当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201
402
=，选B. 【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11
log 102m a b
+==，得到答案. 【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主
解析：4+
【解析】 【分析】
由4c =，a A =，利用正弦定理求得4
C π
=
.，再由余弦定理可得
2
2
16a b =+，利用基本不等式可得(82
ab ≤
=+，从而利用三角形
面积公式可得结果. 【详解】
因为4c =，又sin sin c a C A
==
所以sin 2
C =
，又C 为锐角，可得4C π=.
因为(2
2
2
2
162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，
所以(82
ab ≤
=+，
当且仅当a b =时等号成立，
即1sin 424
ABC S ab C ab ∆=
=≤+
即当a b ==时，ABC ∆面积的最大值为4+. 故答案为4+. 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要
熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟
练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
15．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞）
【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
16．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间 解析：6
π-
. 【解析】 分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-
+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=±
⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22
k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
17．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8
【解析】 考查类比的方法，1111122222111131428
3
S h V S h V S h S h ⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 18．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.
【详解】
根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，
两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，
当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，
所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以66(12)6312
S --==--，故答案是63-. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
19．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =
【解析】
【分析】
先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果.
【详解】
由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(
,0)2p F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2
p y k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px
⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：2
22()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=， 所以21222k p p x x k
++=，2
124p x x =，
所以2122222k PQ x x p p p k
+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；
综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；
因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.
故答案为24y x =
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.
20．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：33或93 【解析】
【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0
323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或
三棱锥的体积为：13ABC h S
⨯⨯ 代入数据得到1
313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯=
故答案为：
4或4
【点睛】 这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题
21．（1）1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由条件可得()
2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭
利用基本不等式即可得结果.
【详解】
（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()
2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]
-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c +
+==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c =+
+++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c
=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c
=
=====时，等号成立． 所以239a b c ++≥. 【点睛】
本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
22．（Ⅰ
）
3
；（Ⅱ
；（Ⅲ
【解析】
【分析】 （Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉计算即可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m 与平面111B AC 的法向量n ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ，
（Ⅰ）11(2,
2,5),(22,0,0)AC A B =--=-， 所以111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC
A B ⋅〈〉===⨯， 设异面直线AC 与11A
B 所成角为α，
则cos α=112|cos ,|3AC A B 〈〉=， 所以异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为3
. （Ⅱ
）易知111
(0,22,0),(2,
AA AC ==
-，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，
则111
00m AC m AA ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00
⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 令x =z =，所以(5,0,m =，
同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =，
则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2250220x y z x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩， 令5y =，则2z =
，所以(0,5,2)n =，
所以2cos ,7
||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅， 设二面角111A AC B --的大小为θ，
则22
35sin 1()7θ=-=， 所以二面角111A AC B --的正弦值为35. （Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,222N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设(,,0)M a b ，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 2(22)022325(2)(2)5022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛
⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩， 解得222
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,024M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以线段BM 的长为10||4
BM =.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.
【解析】
【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.
【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，
即3x ＋y ＋2＝0．
(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02
x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，
∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |
= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．
【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.
24．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1. 【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y
+=， 由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
（2
）直线1l
的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入2
21
3x y +=化简得：2220t -=，
设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
25．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50%
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据； （2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3
）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案．
【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.
（2）由（1）中的样本评分数据可得 ()1928486788974837877898310
x =+++++++++=， 则有
()()()()()()()()()()222222222221928384838683788389837483838378837783898310S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣
⎦
33= 所以均值83x =，方差233s =.
（3
）由题意知评分在(83即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为
50.550%10== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题．
26．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36
ππ-和2[,]3
ππ 【解析】
【分析】
（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k π
π
ππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.
【详解】
解：（1）()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=+
111sin2cos2sin 222262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的周期22T ππ=
=, 令262x k π
π
π+=+（k Z ∈），即26
k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=
+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-
≤+≤+ （k Z ∈） 解得36
k x k π
πππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(]
,x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤--
⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。