2014-2015年湖北省黄冈中学高二上学期数学期中试卷带答案(文科)

2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．
1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）
A．35 B．25 C．15 D．7
2．（5分）下列各数中最小的数为（）
A．33（4）B．1110（2） C．122（3）D．21（5）
3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．（5分）下列说法中正确的是（）
A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率
B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平
C．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关
D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半
5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）
A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元
6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．
其中，真命题的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）
A．n＞5 B．n＞4 C．n＞3 D．n＞2
9．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动
点P的轨迹方程为（）
A．x2+y2=32 B．x2+y2=16 C．（x﹣1）2+y2=16 D．x2+（y﹣1）2=16
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．
12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为．13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．
14．（5分）若曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b ∈R+）的对称点仍在曲线上，则的最小值是．
15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）如图所示：下列程序框图的输出结果构成了数列{a n}的前10项．（1）求数列的第3项a3、第4项a4以及数列的递推公式；
（2）证明：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式．
17．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
18．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC1B1．
（2）求证：MN⊥平面A1B1C．
（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．
19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（1）求cosC，cosB的值；
（2）若S
=，求边AC的长．
△ABC
20．（13分）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD 交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知圆x2+y2﹣x=0与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，动圆C过P，Q两点．
（1）若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程；
（2）求动圆C的面积的最小值；
（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．
2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．
1．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）
A．35 B．25 C．15 D．7
【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为=15．
故选：C．
2．（5分）下列各数中最小的数为（）
A．33（4）B．1110（2） C．122（3）D．21（5）
【解答】解：33
（4）=15，1110
（2）
=14，122
（3）
=17，21
（5）
=11
故选：D．
3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）
A．2πB．3πC．4πD．5π
【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．
且表面积是底面积与半球面积的和，
其表面积S==3π．
故选：B．
4．（5分）下列说法中正确的是（）
A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率
B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平
C．根据样本估计总体，其误差与所选取的样本容量无关
D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半
【解答】解：A．正确，这可通过实验得到该结论．
B．错误，系统抽样对每个学生而言被抽到概率相等；
C．错误，样本容量越大，误差越小；
D．错误，数据2，3，4，5的方差为，数据4，6，8，10的方差为5；
∴数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的．
故选：A．
5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）
A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元
【解答】解：∵=3.5，
=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9.4×3.5+，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故选：B．
6．（5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．
其中，真命题的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解答】解：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n，也即垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；
②若α⊥β，m∥α，也可以推出m⊂β，故②错误；
③若m上α，m⊥n，也可以推出n⊂α，故③错误；
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，一条直线同时垂直于两个平面，故④正确；
故选：B．
7．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．
故选：D．
8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）
A．n＞5 B．n＞4 C．n＞3 D．n＞2
【解答】解：由s=0，n=1得出s←（0+1）×1；
由s=1，n=2得出s←（1+2）×2；
由s=6，n=3得出s←（6+3）×3．
此时s=27，为输出结果，应终止循环，而n←4，因此判定框①中应为n＞3．故选：C．
9．（5分）动点P到点A（8，0）的距离是到点B（2，0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（）
A．x2+y2=32 B．x2+y2=16 C．（x﹣1）2+y2=16 D．x2+（y﹣1）2=16
【解答】解：设P（x，y），则由题意可得，
化简整理得x2+y2=16．
故选：B．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，
∴另一条直角边是，
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，
∴几何体的体积是V=
∵在侧面三角形上有a2﹣1+b2﹣1=6，
∴V=，
当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为（﹣2，3，5）．
【解答】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，
可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：（﹣2，3，5）．
故答案为：（﹣2，3，5）．
12．（5分）已知一组数据1，2，m，4的平均数是3，则这组数据的方差为 2.5．【解答】解：∵数据1，2，m，4的平均数是3，
∴==3，
解得m=5；
∴这组数据的方差为
s2=．
故答案为：2.5．
13．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为60．
【解答】解：执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值，其解析式为
，
故解得当y的值为31时，x的值为60．
故答案为：60．
14．（5分）若曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b ∈R+）的对称点仍在曲线上，则的最小值是4．
【解答】解：曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0表示的是以（﹣1，2）为圆心的圆，
故由曲线x2+y2+2x﹣4y+1=0上的任意一点关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）的对称点仍在曲线上可得，
直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R+）过点（﹣1，2），
则﹣2a﹣2b+2=0，
即a+b=1（a，b∈R+），
则=+=2++≥4．
（当且仅当a=b=时，等号成立）
故答案为：4．
15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，则F的轨迹被
正方形BCC1B1截得的线段长是．
【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，
∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，
∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此结合A1F∥平面D1AE，
∴直线A1F⊂平面A1MN，
∴F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段MN．
∴F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长MN=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）如图所示：下列程序框图的输出结果构成了数列{a n}的前10项．
（1）求数列的第3项a3、第4项a4以及数列的递推公式；
（2）证明：数列{a n+1}为等比数列；并求数列{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）a1=1，a2=3，
a3=7，a4=15，
a n+1=2a n+1．
（2）证明：a1=1，
=2a n+1
∵a n
+1
+1=2（a n+1），
∴a n
+1
所以数列为等比{a n+1}比数列，．
17．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图知，
成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；
（2）由频率分布直方图知，
众数落在第三组[15，16）内，是；
∵数据落在第一、二组的频率为1×0.04+1×0.08=0.22＜0.5，
数据落在第一、二、三组的频率为1×0.04+1×0.08+1×0.38=0.6＞0.5，
∴中位数一定落在第三组[15，16）中；
设中位数是x，∴0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，
解得中位数．
18．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC1B1．
（2）求证：MN⊥平面A1B1C．
（3）求三棱锥M﹣A1B1C的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．
又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC1B1是正方形．
∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．
连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．
∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．
∵B1C与A1C相交于点C，
∴MN⊥平面A1B1C．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M﹣A1B1C的高．
在直角△MNC中，，∴．
又．．
19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（1）求cosC，cosB的值；
（2）若S
=，求边AC的长．
△ABC
【解答】解：（1）∵C=2A，cosA=，
∴cosC=2cos2A﹣1=，
∴sinC=，sinA=，
则cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=；
=，sinB=，
（2）∵S
△ABC
∴acsinB=，即ac=24①，
又由正弦定理=得：c=a②，
联立①②，解得：a=4，c=6，
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=25，
解得：b=5．
20．（13分）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD 交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，
∵EC⊥底面ABCD
∴BD⊥EC
∴BD⊥平面ACE，
∴平面BDE⊥平面ACE．
（2）①点M为线段BD上的一个动点，
∵EC⊥底面ABCD
∴直线EM与平面ABCD所成角为∠EMC，．
当CM最小时，直线EM与平面ABCD所成角的最大，
当BD⊥CM时，即M为O点时，直线EM与平面ABCD所成角的最大．
此时CO=1，正方形ABCD的边长为．
②存在，当G为EO中点时，即=时，CG⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥CG，
又∵△ECO为等腰三角形
∴CG⊥EO，
∴CG⊥平面BDE．
21．（14分）已知圆x2+y2﹣x=0与直线x+y﹣1=0交于P，Q两点，动圆C过P，Q两点．
（1）若圆C圆心在直线y=x上，求圆C的方程；
（2）求动圆C的面积的最小值；
（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x2+y2=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．【解答】解：（1）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，
=．
∵，解得λ=﹣1．
∴圆C方程为x2+y2﹣2x﹣y+1=0．
（2）由（1）可得，∴动圆C的面积的最小值为．（3）设圆C方程为x2+y2﹣x+λ（x+y﹣1）=0，
令y=0，x2+（λ﹣1）x﹣λ=0，
∴（x﹣1）（x+λ）=0，x M=1，x N=﹣λ，﹣λ＞1．
设直线AB的方程为y=k（x﹣1），
代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．
∵，
而（x1﹣1）（x2+λ）+（x2﹣1）（x1+λ）
=2x 1x 2﹣（﹣λ+1）（x 2+x 1）﹣2λ==，
∵∠ANM=∠BNM ， ∴
，即
=0，得λ=﹣4．
当直线AB 与x 轴垂直时也成立． ∴圆C 的方程为x 2﹣5x +y 2﹣4y +4=0．
赠送初中数学几何模型
【模型二】半角型：图形特征：
45°
4
321A
1
F
D
A
B
正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=1
2
∠BAD 推导说明：
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
E
-a
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°
E
-a
a
B
E
挖掘图形特征：
a+b
x-a
a 45°D
B
a +b
-a
45°
A
运用举例：
1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM
（
2）当AE =1时，求EF 的长．
E
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.
（1）求线段AB的长；
（2）动点P从B出发，沿射线
．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；
（3）求AE－CE的值.
变式及结论：
4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
D
A
B
F
E
D
C
F。