2022-2022年广东省惠州市高三第二次调研考试理科数学题带答案和解析
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2022-2022年广东省惠州市高三第二次调研考试理科数学题带答案和解析
填空题
(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则________.
【答案】
【解析】
试题分析:由圆的极坐标方程可得,圆的直角坐标方程为,圆心.点的极坐标为化为直角坐标为,所以.
填空题
已知,则不等式的解集为? .
【答案】
【解析】
试题分析:由,等价于或,解得,所以原不等式的解集为.
选择题
某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(
表示不大于的最大整数)可以表示为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加,若和大于等于10就增选一名代表,将二者合并便得到推选代表人数与该班人数之间的函数关系,用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为.或者用特值法验证也可.
解答题
(本题满分14分)如图,已知椭圆:,其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中
点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,且、、构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.
【答案】(1);(2)不存在直线,使得.
【解析】
试题分析:(1)求椭圆的标准方程,由已知、、构成等差数列,即,由椭圆的定义可得,,由已知焦点为及,可得,可求出,从而得椭圆的标准方程;(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由,这是探索性命题,一般假设其存在,本题假设存在直线,使得,由题意直线不能
与轴垂直,故设方程为,将其代入,整理得
,设,,由根与系数关系,表示出点的坐标,写出中垂线方程,得点的坐标,由于和
相似,若,则,建立方程,求解斜率的值,若有解,则存在,若无解,则不存在.
试题解析:(1)因为、、构成等差数列,
所以,所以.? ? (2分)
又因为,所以,? (3分)
所以椭圆的方程为. ? (4分)
(2)假设存在直线,使得,显然直线不能与轴垂直.
设方程为(5分)
将其代入,整理得(6分)
设,,所以.
故点的横坐标为.所以.? (8分)
因为,所以,解得,
即? (10分)
和相似,若,则? (11分)
所以,? ? (12分)
整理得.? (13分)
因为此方程无解,所以不存在直线,使得.? (14分)
解答题
(本题满分分)设数列的前项和为,已知,
,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对一切正整数,有.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)求数列的通项公式,由已知,
即,这是已知与的关系,求,可用来解,本题也可以由,与,求出,猜想出数列的通项公式,再用数学归纳法证明;(2)证明:对一切正整数,有
,由(1)知,,故,可用放缩法来证.
试题解析:(1)(解法一)依题意,又,所以(2分)
当,
,
两式相减得
整理得,即,(6分)
又,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以所以(8分)
(解法二)? ,,得,(2分)
猜想(3分)
下面用数学归纳法证明:
(1)当时,猜想成立;
(2)假设当时,猜想也成立,即(4分)当时,
=
,(5分)
?
时,猜想也成立? (6分)
由(1),(2)知,对于,猜想成立.
,当,也满足此式,故(8分)
(2)证明:当;(9分)
当;? (10分)
当,(12分)
此时
综上,对一切正整数n,有(14分)
填空题
在正项等比数列中,,,则满足
的最大正整数的值为________.
【答案】
【解析】试题分析:设正项等比数列首项为,公比为,由题意可得,解之可得:,故其通项公式为
.记,
.由题意可得,即
,化简得:,即,因此只须,即解得,由于为正整数,因此最大为的整数部分,也就是.故答案为:.
填空题
锐角△中,角所对的边长分别为,若,则
________
【答案】.
【解析】试题分析:由正弦定理得,可化为,又,所以,又为锐角三角形,得.
填空题
曲线在点处的切线方程为.
【答案】
【解析】
试题分析:由,则.所以,即切线L 的斜率为1.又切线L过点(1,0),所以切线L的方程为. 一般方程为.
选择题
双曲线的实轴长是(? )
A.2? B.2C.4 D.4
【答案】
【解析】
试题分析:双曲线方程可变形为,所以.
选择题
复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于(? )A.第一象限B.第二象限? C.第三象限D.第四象限
【答案】
【解析】
试题分析:由题意可知,,则对应的点为,故在复平面上对应的点位于第二象限.
解答题
(本题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为,,,,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量;
(2)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列;
(3)从该流水线上任取件产品,求恰有件产品的重量超过克的概率.
【答案】(1)(件);
(2)Y的分布列为
1
2
P
(3).
【解析】
试题分析:(1)根据频率分布直方图即可求出;(2)求的分布列;由于为重量超过克的产品数量,抽取的件产品中任取件,因此的可能取值为0,1,2.由古典概型的概率求法,分别求出概率,即得分布列;(3)从该流水线上任取件产品,求恰有件产品的重量超过克的概率,这符合二项分布,利用二项分布即可求出恰有件产品的重量超过克的概率.
试题解析:(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为
(件).(2分)
(2)的可能取值为0,1,2. (3分)
? (4分)
(5分)
(6分)
Y的分布列为
1
2
P
(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3? (8分)
令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量,
则,(10分)
故所求概率为(12分)
选择题
设集合,集合,则(? )
A.B.? C.D.
【答案】
【解析】
试题分析:方程解得,则,
,.
填空题
展开式中的常数项为.
【答案】
【解析】试题分析:展开式的通项
,令,得,故常数项为.
选择题
设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析:,所以是充分条件,若,则可以让,不一定成立
解答题
(本题满分12分)设向量,,.
(1)若,求的值;
(2)设函数,求的最大值.
【答案】(1);(2)的最大值为.
【解析】
试题分析:(1)若,求的值,由已知向量,,代入,整理得,再由,得,从而可得的值;(2)设函数,求的最大值,首先求出
的解析式,由数量积的坐标运算可知,,由于求的最大值,可由三角函数恒等变换,把式子化为一个角的一个
三角函数得,由即可求出的最大值.
试题解析:(1)由,? 1分
,2分
及,得.又,从而,? 4分
所以. 6分
(2)
?9分
时,取最大值1. 11分所以的最大值为. 12分
填空题
(几何证明选讲)如图所示,⊙的两条切线和相交于点,与⊙相切于两点,是⊙上的一点,若,则
________.(用角度表示)
【答案】
【解析】
试题分析:如图所示,连接,则.由四边形内角和定理可知,,∴.
已知, 满足约束条件,若的最小值为,则()
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】试题分析:不等式表示的可行域如图所示,把目标函数转化为表示的是斜率为,截距为的平行直线系,当截距最小时,最小,当直线经过点时,最小,由
得,因此,解得,故答案为A.
设向量,,则下列结论中正确的是(? )
A.B.C.D.与垂直
【答案】
【解析】
试题分析:;;
,,故垂直.
选择题
为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为,众数为,平均值为,则(? )
A.B.
C.? D.
【答案】
试题分析:由图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即=5.5,5出现的次数最多,故=5,
≈5.97
于是得.。