实对称矩阵正定、半正定的简易判别

目 录
1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1)
2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。

.............................................. 3 2.
3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E []
3. (4)
2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数
[]
9等于n 。

(5)
2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。

................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。

. 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的
秩。

(5)
2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，
但至少有一个特征值等于零。

(5)
2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。

............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T
=，则A 半正定。

(5)
2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡000r E 合同。

..... 5 3.利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。

............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 . (13)
参考文献 (16)
致谢 (17)
实对称矩阵正定、半正定的简易判别
摘要：实对称矩阵是矩阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其他课程里，如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重要应用。

为了更好地用实对称矩阵来解决问题，本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。

关键词：实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。

Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite The
Discriminant
N umber of classes of the 0701 Wang Chunmiao
Tutor: CaoChunjuan
Abstract:The real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in advanced algebra has important applications in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussion.
Key words:real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple discrimination.
1 引言
实对称矩阵正定、半正定的判别问题, 实际上就是二次型函数AX X T 的正定性、半正定性的判别问题, 因此我们也可把问题转化到判断二次型函数
AX X T
的正定性、半正定性的问题。

或者也可以根据其他方法如合同变换等来
判别。

目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法,方法有繁有易。

由于判断一个实对称矩阵为正定、半正定在实际工作中是很有必要。

本文将列举一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方法进行证明，并加以举例说明。

2 实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法
2.1 实对称矩阵的几个定义[]3
定义1：设()n x x x f ,,,21 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数
n c c c ....,21，如果有()n c c c f ,,,21 >0
，那么()n x x x f ,,,21 称为正定。

定义2：设()n x x x f ,,,21 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数
n c c c ....,21，如果有()n c c c f ,,,21 0≥，那么()n x x x f ,,,21 称为半正定。

定义 3：设二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =,若()n x x x f ,,,21 正定或半正定，则A 称为正定或半正定矩阵。

定义4：合同变换的定义：设n n F B A ⨯∈,如果存在非奇异矩阵n n F P ⨯∈，使得
AP P B T
=则称A 和B 合同，这种变换称为合同变换。

对称矩阵经合同变换后仍
为对称矩阵。

2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法:
在实际应用和理论研究中, 判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。

到目
前为止, 判别一个实对称矩阵A =()ij a ，
()n j i a a a ji ij ij ,1,,=≡均为实数，为正定的充分必要条件有下列四种方法[]2：
()1 A 的所有特征值都大于0.
()2 A 的T L L ⋅分解存在, 其中L 是F 三角形矩阵, T L 是L 的转置矩
阵,ii I =1()n i ,,2,1 =是L 的主对角线元素, 且ii I >0.
()3 A 的T DL L 1
1分解存在, 其中1L 是F 三角形矩阵, ii I =1()n i ,,2,1 = 是L 的主对角线元素, D 是以ii d >0 ()n i ,,2,1 =为主对角线元素的对角线矩阵。

()4 在不选主元素的高斯消去法中, A 的主元素都大于0.
现举一例如下, 说明上述四种方法的应用。

例 判别实对称矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----54
2
452222的正定性。

解：1. A 的特征多项式为
A E -λ=⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-----54
2
452
2
2
2
λλλ=()()1012-⋅-λλ 所以A 的特征值：121==λλ，103=λ都是正数，故A 是正定的。

2.设L =⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡333231222111
000l l l l l l ()3,2,1,0=>i l ii ，则 T
L L ⋅=⋅⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3332
31
2221
11
000l l l l l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222312111
0l l l l l l =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡+++++23323223122
32213111
31322231212
222
2111
2131
1121112
11
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 若令 A = T L L ⋅，则有： 22
11=l ， 22111=l l ， 23111-=l l
52
22221=+l l ，32
223121l l l l +=-4，2
33232231
l l l ++=5 由此既得，
11l =2
21=
l ， =31l -2， 3
22=
l ， 3
3232-
=l ， 3
1533=
l
所以，L =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡
--3153
322032
002
这表明T L L ⋅的分解存在。

3.根据上面求的L ，易知
L =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡--3153
3220
32
002=⋅⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--13
21011001⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡3
150
00
30002
所以
A
=T L L ⋅=
⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
--1321011001⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡3150
00
30002⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
3150
00
30002⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10
3210111
=⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--13
210110
01⋅⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡350
0030002⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10
3210111 这表明A 的T DL L 1
1的分解存在，故A 是正定的。

4.因为 A ==----5
4
2
452
2
22
3
2
2302
22
---=3
50
2
30222
--
由此可知:第二个行列式的主元素是5 , 第三个行列式的主元素是3 , 第四个行列式的主元素是3 , 即所有主元素都大于0。

这就是说, 在不选主元素的高斯消去法中, 主元素都大于0 , 所以A 是正定的。

2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。

对于实二次型()321,,x x x f =AX X T 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零[]10。

例 判别实二次型()=321,,x x x f 32312123222148455x x x x x x x x x --+++ 是否正定。

解 ()321,,x x x f 的矩阵为 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡----52
4
212
425
它的顺序主子式5>0，
1
2
25 >0， 5
2
4
212
425---->0 因之()321,,x x x f 正定，∴A 正定。

对于实二次型()321,,x x x f =AX X T 是半正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式皆大于或等于零。

2.3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E
[]
3.
证明：必要性 由于二次型()n x x x f ,,,21 AX X T =，其中A A T =，若A 正定，存在非退化线性替换，TY X =,把f 化为规范型
()n x x x f ,,,21 2
2
222
11n
n y d y d y d +++=
其中1±=i d 或0。

由于f 是正定二次型，可证 1=i d ()n i ,,2,1 = 用反证法.若存在某一个1-=k d 或0
那么令()121,,,ε=n y y y ()0,1其余均为个分量为其中第k
则()n y y y ,,,21 0≠，从而可得()()0,,,,11≠=T
n T n y y T x x
()n x x x f ,,,21 0≤=k d
这与正定二次型的定义()1即定义矛盾，从而有1=i d ()n i ,,2,1 =成立。

再由()n x x x f ,,,21 EY Y y y y AX X T n T =++==22221
∴ET
T A T
=
充分性 若=A EP P T , 则P P A T =，其中P 是可逆阵。

令PY X =，则
=()n x x x f ,,,21 =2
2221n
y y y ++
因此，任意()0,,,21≠=n T c c c c ，则
0111≠⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n c c P t t ∴()0,,222211>+++=n n t t t c c f 即证f 是正定二次型.即有A 为正定矩阵。

2.3.2 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 正定的充分必要条件是它的正惯性指数[]
9等
于n .
证明：由于二次型()n x x x f ,,,21 经过非退化线性替换TY X =,把f 化为标准型
()n x x x f ,,,21 2
2
222
11n
n y d y d y d +++= ，
由于()n x x x f ,,,21 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的，而
2
2
222
11n
n y d y d y d +++ 是正定的当且仅当,,,2,1,0n i d i =>即正惯性指数等n .
2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。

2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。

2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于
它的秩。

2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于
零，但至少有一个特征值等于零。

2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。

2.4.5 有实矩阵C 使C C A T =，则A 半正定。

2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡00
0r
E 合
同。

3 利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。

定理1： 设A ()n n ij F a ⨯∈=是秩为0>r 的对称矩阵，则存在非奇异矩阵
n
n F
P ⨯∈ 使得，()0,0,,,,21 r T c c c diag AP P =，其中，.,,2,1,0r i c i =≠
定理2： 设任意非零实对称矩阵A =()ij a ∈F
n
n ⨯，则存在非奇异矩阵
n
n F
P ⨯∈，使得AP P T =
⎦
⎤⎢⎣⎡)
1(110
0A
a 式中，11a 为A 对角线上的第一个元素。

()
1A
=121211122A A a A T
-- 22A =(11,++j i a a ) （j i ,=1,2…，n -1）
12A =()n a a a 11212
证明：设A 对称，有 ji ij
a a = A =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a
2
1
2221211211
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2212
1211
A A A a
T
因A 非零，故可设11a 0≠，则可进行变换，
⎪⎭
⎫
⎝⎛I A =)()⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-⨯-1122
12
1211
01n n T I A A A a ()⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→
−⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡-−−−→−--- 111
12
11112121112211121
11122212110
10
00101212A P a I A a A A a A a I
a a A A A a T
A T A T
列变换消行变换消 式中P =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--I A a 0
1
121
11 AP P T
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--I A a 12
1
1101⎥⎦⎤
⎢⎣⎡22121211
A A A a T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A a 0
1121
11=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡)1(11
0A a 证毕。

定理3：定理2中，A 正定的充分必要条件是11a >0，()1A 正定。

证明 1.必要性 令X =],,[1n x x T
0≠, PY X =, P 0≠,
有Y =],,[1n y y T 0≠ 则
AX X T
=APY P Y T
T =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡)1(11
0A a Y T Y =1211y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T 0>,
得出，若A 正定，则要求11a >0,()1A 正定.必要性证毕。

2. 充分性 1
211y
a +[]()
[]T
n n y y y A y y y 32132=T
Y
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡)1(1100A a Y =T X
(P
1
-)T ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡)1(11
0A a (P 1
-)X=AX X T
得出，只要11a >0，()1A 正定，定有A 正定。

充分性证毕。

定理4：定理2中A 半正定的充分必要条件是11a >0，()1A 半正定。

证明 1. 必要性 重复定理3过程有
AX X T =2111y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T
0≥ 因A 非零, 故必有11a >0(或经
合同变换后有11a >0).得出, 若A 半正定,则要求11a >0，()1A 半正定
2. 充分性 2111y a +[]n y y y 32()1A []n y y y 32T = AX X T 当11a >0 ，()1A 半 时,A 也必是半正定.证毕。

综合定理3和定理4 得出一个重要结论:一个n 阶实对称矩阵A 的正定性和半正定性的判别问题, 可以化成一个常数11a 的正负号与一个1-n 阶实对称矩阵
()
1A
的正定性和半正定性的判别问题。

运用分块拒阵变换判别以下矩阵属于哪一类矩阵。

例 1 判别实对称矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡71
1
171117属于哪一类矩阵? 解 将A 分成分块矩阵A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2212
1211
A A A a T 式中11a =7 12A =[]11 A =⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡71
17 判别A 11a =07>
A
)
1(=22A -1
11
-a T
A 1212
A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡71
1771-⎥⎦⎤⎢⎣⎡11[]11=71⎥⎦
⎤⎢⎣⎡486
648
将()1A 再分成分块矩阵A )1(=()()
()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡122112112111
A A A a
T 式中()
112A =
7
6 ()
122A =
7
48 ()
111a =
7
48>0
A
)
2(=()()()()
1121121112122
A A a A T --=7
48-
48
7×
7
6×
7
6=4
27>0
因11a >0 ()111a >0 ()
211a =A
)
2(=4
27>0, 故A 正定。

例2 判别A =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--82
2
25402
450
0009属于哪类矩阵 解
9
11=a
()
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=82
2
2542451A
()
5111=a
A
)
2(=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡8225-51⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-24[]24-=
51⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3618189 ()
211
a =1.8 A )
3(=7.2-
8
.11
6.36.3⨯⨯0=
因为11a >0 ()111a >0 ()211a >0 ()
311a =A
)
3(=0
故A 半正定。

4 实对称正定矩阵判别的另一个充分必要条件
定理1[]8 n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩P , 使得Re λ()PA > 0, [A ,T A ]p = 0 ()1 证明： 若K S A +=是正定矩阵,令1-=S P ,则P 是实正定对称矩阵,由()1式. 若存在实正定对称矩阵p ， 使得()1式成立, 则有 T
APA =PA A T 从而由2
1
P
存在知(2
1P A 2
1
P
)T (2
1
P
A 2
1
P
)=(2
1
P
A 2
1
P )(2
1
P
A 2
1
P
)T .
故 2
1P A 2
1P
是规范矩阵. 由PA 与2
1
P
A 2
1
P
相似及Re λ()PA >0,得R e λ
（2
1P
A 2
1
P
）>0.由2
1P
A 2
1
P
正定,得A 正定.
定理 2 设K S A +=∈n n R ⨯, 则A 是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩阵P , 使()0>PS λ,且[ S ,K ]P = 0.
证明: 如果A 是正定矩阵,则S
1
- 是正定对称矩阵. 令P = 1-S ,显然有
()0>PS λ与
[]p K S ,= 0.反之,由[]p K S ,得
SPK
= KPS
. 而
()()
T
T
A A P A A SPK -+=
4
1 =
4
1()
PA
A APA PA
A APA
T
T
T
T
-+-，
()()()
PA
A APA
PA A APA
A A P A A SPK T
T
T T
T
-+-=+-=
4
14
1 故得
PA A APA
T
T
=, 即[]P T
A A ,=0.注意到2
1P
存在且2
1P
A
2
1
P
=
2
1P
S 2
1
P
+2
1
P
K 2
1
P
,其中2
1
P
S 2
1
P
与2
1
P
K 2
1
P
分别是2
1P
A 2
1P
的对称分
支与反对称分支. 由()02
1
2
1>=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛PS SP
P
λλ,得2
1
P
S 2
1
P
是实正定对称矩阵.
即2
1P
A 2
1
P
是实正定矩阵且A 实正定.
5 实对称矩阵为正定的充分性的判别法.
我们知道, 当实对称矩阵A 的阶数很高时, 要完成上述五种方法中的任何一种的计算都不是容易的, 下面介绍一种比较简单的关于实对称矩阵为正定的充分性几的判别法[]2.
()I 先讨论正元素对称矩阵:
B =⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡nn n n n
n b b b b b b b b b
2
12222111211 ()5
()n j i b b
ji ij
,,2,1,,0 =>=的正定性的判别法。

记ii y =
jj
ii ij b b b ⋅ ，()ji ij y y =
当⎩⎨
⎧
<<≠==1
01ij ij y j i y j i 时，假设时，
又记<0,1min <≠=
ij y j
i α 0<β
=
j
i ≠max y ij <1
我们有下列定理:
定理1 若矩阵 B 的阶数3≥n , 且有不等式:
α
β<--2
2n n ()6
则矩阵B 是正定的。

证明：因为当n 3≥且有不等式()2时，正元素对称矩阵:
A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡11121
221
112 n n n
n y y y y y y 是正定的。

所以A 的i 阶顺序主子式： 1
112
1
221112
i i i i i y y y y y y A =
>0 ()n i ,,2,1 =
所以B 的阶顺序主子式：
i B =
ii
i i i i b b b b b b b b b
2
1
2222111211
=
ii
ii i i i i b b b b b b b b b b b b ⋅
⋅⋅
2
1
222
22211121111
从第一行提取公因式11b ，从第二行提取公因式22b ，……，从第i 行提取公因式ii b 得：
i B =⋅
11b 22b (ii)
b ii
ii
i ii
i i i b b b b b b b b b b b b b b b
21222222221
111111211 再从第一列提取公因式11b ，从第二列提取公因式22b ，……，从第i 列提取公因式ii b 得：
i B =ii
b b b 22111
11
2
1
221112
i i i i y y y y y y =ii b b b 2211i A
所以i B >0 ()n i ,,2,1 =，故B 是正定的。

例. 判别正元素对称矩阵：=B ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡54
2
452
222是正定的。

解： 由上述定理可得:A =⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡15
45
254152
52521阿 由此可知：A 的非对角线元素均满足：0<ij y <1 ()3,2,1,,=≠j i j i 又 α=
5
2 , β=
5
4 , n =3
⋅=--322
n n β⎪⎭
⎫ ⎝⎛542
-=5
2<α
所以A 是正定的。

故B 也是正定的.
6 实对称矩阵半正定判定的一个新依据
一般我们认为，A 为正定(半正定)的充分必要条件是其所有主子式>0()0≥.但是由于一个n 阶矩阵的主要主子式只有n 个,由以上定理, 正定矩阵的判据放宽了, 简化了, 但是生正定矩阵的判据仍然较繁。

然而, 由于误解, 某些控制理论及数学书籍中, 常把“ 主要主子式” 非负作为半正定矩阵的判据。

但是，这种认识是错误的。

例 =A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-10
000
001
其所有顺序主子式均0≥，但是不定的。

那么, 是否有别的办法能简化半正定矩阵的判据呢？有。

以下我们给出一个较宽的半正定矩阵的封据。

为证明这个新判据, 先给如下引理：
引理1 如果A 之阶数最高的非奇异主子矩阵[]4为r 阶, 则
n r r rankA ≤≤=1,。

这里，A
的主子矩阵即为A 的主子式所对应的矩阵：
A
=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡r r i i i i i i 2121，1n i i i r ≤<<≤ 21，n r ≤≤1.
证明：设A I -λ=()n n
n n n a a a 12211-+-+--- λλλ， ()2
则其系数 A a i =的所有i 阶主子式之和0≠，所以
.r rankA ≥ ()3
又所有()()n r r ,,2,1 ++阶主子式皆为0，所以.,,1,0n r i a i +==
()2式可以写为：A I
-λ=[()]r
r
r n r n a a 111-+--- λλλ，即A 至少有()r n -重零
根。

又实对称矩阵皆可对角化，即有=-AQ Q 1对角阵，
∴ .1
r AQ rankQ
rankA ≤=- ()4
()3、()4式，必有n r r rankA ≤≤=1,。

引理1证毕。

引理2 A 为半正定矩阵的充分必要条件是 A =⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡00
0r I ， 即有P , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00
0r
T I
AP P .
定理3 A 为半正定的充分必要条件是其任意一个阶数最高的非奇异主子矩阵为正定矩阵。

证明： 设A 之某一阶数最高的非奇异主子矩 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=r r i i i i i i A 2
121 ,有 T
r r r r r r A A A ⨯⨯⨯=≠,0.
有合同变换，即有
1p 使 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⨯C B
B A AP P T
r
r T 11.再令⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⨯I B A I
P r r r
1
2,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⨯I A B I P
r
r T r T
1
2
0, 有⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
=⨯⨯D A P C B
B A P P AP P P r r T r
r T T T 0
0222112, 这里B A B C D T r r T ⨯-=.由引理1 及合同变换不改变A 之秩, 必有0=D .如若不然, 即0≠D ,则至少有D 中某一元0≠ii d ，于是有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++i r r i r r P AP P P T T
,,2,1,,2,1det 211
2
=00
0≠⋅=⨯⨯ij r r ij
r
r d A d A ，
12121+≥=r P AP P rankP rankA T
T
，矛盾。

∴⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=⨯00
0r
r A A 若r r A ⨯为正定矩阵，则r
r A ⨯r I ≈，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡≈⨯000r
r I A .
由引理2，A 为半正定矩阵。

同理可证必要性.定理3证毕.
推论 1 A 为半正定的充分必要条件是其任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0.
显然，当该非奇异主子矩阵的阶数就是n 时，则A 为正定的。

我们看到，定理3包含了定理2的前一部分，发展了其后一部分。

推论 2 A 为半负定的充分必要条件是一A 的任意一个最高阶非奇异主子矩阵的主要主子式>0.
由以上推论，在判定A 之定性时，并不需要计算所有12-n 个主子式，因此在计算机运算或手算中，均可减少运算程序。

例 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=73
3
2
22213
221
2111A 有A =0 而 ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡442
21
1
A =07
3
2
3212
11> .以下只需计算⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡442
21
1
A 的主要主
子式。

有02
1
11,0121>=
>=D D .∴A 为半正定矩阵。

7 实对称矩阵的一个简单应用
在实际问题中，经常会遇到求三元以上函数的极值问题[]7，对此可有二次型的正定性加以解决。

定义 1 设n 元函数()()n x x f X f ,,1 =在()n T
n R x x X ∈=,,1 的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。

记()()
()
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x X f x X f x X f X f ,
,,
2
1
，()X f ∇称为函数()X f 在点()T
n x x x X ,,,21 =处的梯度。

定义 2 满足()00=∇x f 的点0x 称为函数()X f 的驻点.
定义 3 ()()()()()()()()()
()
()⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=⨯2
2
2
2
1222
22
2
1
22
12
2122
122n n n n n
n
n j i x X f x x X f x
x X f x x X f x
X
f x
x X f x x X f x x X
f x X f x
x X
f X H
称为函数()X f 在点()n x x x X ,,,21 =在点n R X ∈处得黑塞矩阵。

显然()X H 是由()X f 的2n 个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。

定理 1 ()极值存在的必要条件
设函数()X f 在点(
)
T
n
x x x X
00
2010
,,, =处存
在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则()00=∇X f
定理 2 ()极值的充分条件
设函数设n 元函数()()n x x
f X f ,,1
=在
n
R
X
∈0
的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。

且
()()
()()0,
,,02
0100=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x X f x X f x
X f X f
则：()1当()0X H 为正定矩阵时，()0X f 为()X f 的极小值；
()2当()0X H 为负定矩阵时，()0X f 为()X f 的极大值； ()3当()0X H 为不定矩阵时，()0X f 不为()X f 的极值。

应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，结论就不一定成立。

例 求三元函数()z y x z y x z y x f 64232,,222-++++=的极值.
解 先求驻点，由⎪
⎩⎪
⎨⎧=-==+==+=0
660440
22z f y f x f z y x 得1-=x ，1-=y ，1=z
所以驻点为()1,1,10--p .再求黑塞矩阵
因为2=xx f ，0=xy f ，0=xz f ，4=yy f ，0=yz f ，6=zz f .
所以 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=60
040002H ,可知H 是正定的，所以()z y x f ,,在()1,1,10--p 点取得极小值：()61,1,1-=--f .
当然，此题也可以用初等方法()()()()613121,,222--++++=z y x z y x f 求得极小值6-，结果一样.
参考文献
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:
20
致谢
时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。

它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。

回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。

在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！
首先，衷心感谢我的指导老师曹春娟老师对我的悉心教诲和指导！在跟随曹老师的这段时间里，我不仅跟曹老师学到了许多专业知识，同时也学习到了她严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。

在此我对曹老师的教育和指导表示衷心的感谢！
同时我还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。

谢谢你们！。