高考专场导数部分

高考专场导数部分
1、(广东卷)函数32
()31
f x x x
=-+是减函数的区间为(D)
（Ａ）(2,)
+∞（Ｂ）(,2)
-∞（Ｃ）(,0)
-∞（Ｄ）(0,2)
2.（全国卷Ⅰ）函数9
3
)
(2
3-
+
+
=x
ax
x
x
f，已知)
(x
f在3-
=
x时取得极值，则a=（B）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3.（湖北卷）在函数x
x
y8
3-
=的图象上，其切线的倾斜角小于
4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）
A．3 B．2 C．1
4．(江西)已知函数()
y xf x'
=的图象如右图所示(其中'()
f x
的导函数)，下面四个图象中()
y f x
=的图象大致是(C
5.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
(A)
1
8
(B)
4
1
(C)
2
1
(D)1
6.(重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积
为______8/3____。

7.（江苏卷）（14）曲线31
y x x
=++在点（1,3）处的切线方程是41
y x
=-
8. (全国卷III)曲线3
2
y x x
=-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
9.（北京卷）过原点作曲线y＝e x的切线，则切点的坐标为(1, e)；，切线的斜率为e．
10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数.
)
(2
3a
x
x
x
x
f+
-
-
=
(Ⅰ)求)
(x
f的极值.
(Ⅱ)当a在什么范畴内取值时,曲线x
x
f
y与
)
(
=轴仅有一个交点.
解：(I)'()
f x=32x－2x－1
若'()
f x=0，则x==－
1
3
，x=1
当x变化时，'()
f x，()
f x变化情形如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=
+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-
由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，因此曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点
结合()f x 的单调性可知：
当()f x 的极大值
527a +<0，即5
(,)27
a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()
f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－1
3
)上。

∴当5
(,)27
a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。

11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e (1) 当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范畴.
解：（I ）对函数()f x 求导数得x
e a ax x x x
f )222()(2
--+='
令,0)(='x f 得［2x +2(1－a )x －2a ］x e =0从而2x +2(1－a )x －2a =0 解得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当x 变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表
∴在=1处取得极大值，在=2处取得极小值。

当a ≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数
而当0<x 时)(x f =0)2(>-x
e a x x ，当x=0时，0)(=x
f 因此当112
++-=a a x 时，)(x f 取得最小值
（II ）当a ≥0时，)(x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是12≥x 即1112
≥++-a a ，解得a 4
3≥
因此)(x f 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是4
3≥a 即a 的取值范畴是3[,)4
+∞
12. ( 全国卷III )用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，1分
则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24)5分 =4x 3-276x 2+4320x
∵V ′=12 x 2-552x+4320……7分
由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,
因此,当x=10,V 有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分 因此当x=10,V 有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分
13. ( 全国卷III )已知函数()247
2x f x x
-=-，[]01x ∈， （Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1a ≥，函数()[]2
2
3201g x x a x a x =--∈，，，若关于任意[]101x ∈，，总存在
[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范畴
解：对函数()f x 求导，得
()()
22
4167
2x x f
x x -+-=
-，
()()()
2
21272x x x --=--
令()0f
x =，
解得
112x =
或272
x = 当x 变化时，()f
x ，
、()f x 的变化情形如下表：
因此，当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()f x 是减函数；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
时，()f x 是增函数； 当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--，
（Ⅱ）对函数()g x 求导，得 ()()
223g x x a =-，
因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()
()2310g x a -≤，
因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有 ()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，
又()2
1123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有
()2
1232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，
任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则
[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，
即21234123
2a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）
解1（）式得 1a ≥或5
3
a ≤- 解2（）
式得 32
a ≤ 又1a ≥，
故：a 的取值范畴为312
a ≤≤
14. （北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 因此函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，
因此f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，因此f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，因此有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．
15．（福建卷）已知函数d ax bx x x f +++=2
3
)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，
f （－1））处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
解：（Ⅰ）由)(x f 的图象通过P （0，2），知d=2，因此,2)(2
3
+++=cx bx x x f
.23)(2c bx x x f ++='
由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知
.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即 .3,
0,
32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(2
3
+--=x x x x f
（Ⅱ）.012,0363.
363)(222
=--=----='x x x x x x x f 即令
解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或
当.0)(,2121<'+
<<-x f x 时
故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，
在),21(+∞+
内是增函数.
16．（福建卷）已知函数b
x ax x f +-=
2
6
)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式； （Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间. 解：（1）由函数f (x )的图象在点M （－1f (－1)）处的 切线方程为x +2y+5=0，知
.)
()
6(2)()(.
2
1
)1(,2)1(,05)1(212
22b x ax x b x a x f f f f +--+='-=-'-=-=+-+- 即
.
),323(;
)323,323(;)323,(3
6
2)(.
0)(,323323;
0)(,323,323,323,323,06122.
)3(6
122)()(.
3
6
2)().
1,01(3,222122
222内是减函数在内是增函数在内是减函数在所以时当时或当解得令是所以所求的函数解析式舍去解得+∞++---∞+-=>'+<<-<'+>-<+=-==++-+++-='+-=-=≠+==x x x f x f x x f x x x x x x x x x x f II x x x f b b b a
17. （湖北卷） 已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2
若函数在区间（－1，1）
上是增函数，求t 的取值范畴.
解法1：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.23)(2t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
,
23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,3
1
)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间
（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故.
解法2：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
18．（湖南卷）设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=2
3
)()(与的图象的一
个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；
（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范畴. 解：（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），因此0)(=t f ， 即03=+at t .因为,0≠t 因此2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，因此).()(t g t f '=' 而.23,2)(,3)(2
2
bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=
（II ）解法一))(3(23,)()(2
2
3
2
2
3
t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.
当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减. 由0<'y ，若t x t t <<-
>3,0则；若.3
,0t
x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3,()3,1(),3()3,1(t
t t t -⊂--⊂-或
因此.39.33
3≥-≤≥-≥t t t
t 或即或
又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 因此t 的取值范畴为).,3[]9,(+∞⋃--∞
解法二：))(3(23,)()(2
2
3
2
2
3
t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-= 因为函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是（－1，
3）
上的抛物线，
因此⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|3
1x x y y 即⎩⎨⎧≤-+≤--+-.0)3)(9(.0)1)(3(t t t t 解得.39≥-≤t t 或
因此t 的取值范畴为).,3[]9,(+∞⋃--∞
19.（湖南卷）已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝
2
1ax 2
＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范畴；
（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 解：（I ）x ax x x h b 22
1ln )(,22
--
==时， 则.1
221)(2x
x ax ax x x h -+-
=--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，因此)(x h '<0有解.
又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解.
①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解； ②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解； 则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.现在，－1<a <0. 综上所述，a 的取值范畴为（－1，0）∪（0，+∞）.
（II ）证法一 设点P 、Q 的坐标分别是（x 1, y 1），（x 2, y 2），0<x 1<x 2. 则点M 、N 的横坐标为,2
2
1x x x +=
C 1在点M 处的切线斜率为,2|12
12121x x x k x x x +==
+= C 2在点N 处的切线斜率为.2
)
(|
212
221b x x a b ax k x x x ++=+=+=
假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2. 即
b x x a x x ++=+2
)(2
2121，则
)2
()(2)()(2)(21212221221222112bx x a
bx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-
=.ln ln 1212x x y y -=-
因此.1)
1(
2ln 1
212
1
2x x x x x x +
-= 设,12x x t =则.1,1)
1(2ln >+-=t t t t ①
令.1,1)
1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)
1()1()1(41)(2
22+-=+-='t t t t t t r
因为1>t 时，0)(>'t r ，因此)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则t
t t +->
1)
1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.
证法二：同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+
因为01>x ，因此).1(2ln )1(
1
21212-=+x x
x x x x
令1
2
x x t =
，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ② 令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t
t t r t t t t t r 则
因为22111)1(ln t
t t t t
t -=-=
'+，因现在1>t ，.0)1
(ln >'+t t 故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011
ln >-+t
t ，即.0)(>'t r
因此)(t r 在[1，+)∞上单调递增.
故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立.
故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.
20．（辽宁卷）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数
.)(m kx x g +=
（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；
（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2
3
132
2
+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，
求b 的取值范畴及a 与b 所满足的关系.
解：（Ⅰ）).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，因此)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；
当0)(,0<'<x h x x 时.因此0x 是)(x h 唯独的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的
最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分
（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
0)1(,12
2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22
1b a -≤
另一方面，由于32
2
3)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结
果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线32
2
3x y =相切的直线的斜率大于a ，
该切线的方程为.)2(2
1b x b y +=-
因此3
2
2
3x b ax ≥+的充要条件是.)2(2
1b a ≥…………………………10分
综上，不等式32
2
2
3
1x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.)1(2)
2(2
12
1b a b -≤≤-
①
明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2
12
1b b -≤- ②
有解、解不等式②得
.4
2
2422+≤≤-b ③
因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12
2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22
1b a -≤………………………………………………………………8分
令32
23)(x b ax x -+=φ，因此3
2
2
3x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.0)(≥x φ 由.0)(33
1--
==-='a x x
a x 得φ
当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，因此，当3-=a x 时，)(x φ取最
小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3
≥-a φ，即.)2(2
1-
≥b a ………………10分
综上，不等式32
2
2
31x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是
.)1(2)
2(2
12
1b a b -≤≤-
①
明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2
12
1)1(2)2(b b -≤- ②
有解、解不等式②得.4
224
22+≤≤-b
因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分
21. （山东卷）已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中
,,0m n R m ∈<，
（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范畴.
解(I)2
()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,因此(1)0f '=,即
36(1)0m m n -++=，因此36n m =+
（II ）由（I ）知，2
()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
当0m <时，有2
11
>+
，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m
+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.
（III ）由已知得()3f x m '>，即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <因此222(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212
()2(1)g x x x m m
=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
因此22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩
解之得43m -<又0m <因此403m -<<
即m 的取值范畴为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
22.(重庆卷)设函数f (x )=2x 3-3(a +1)x 2+6ax +8，其中a ∈R 。

(1) 若f (x )在x =3处取得极值，求常数a 的值；
(2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数，求a 的取值范畴。

解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2
--=++-='x a x a x a x x f
因3)(=x x f 在取得极值， 因此.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当3,3()a x f x ==时为为极值点.
（Ⅱ）令12()6()(1)0, 1.f x x a x x a x '=--===得
当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增函数，故当01,()(,0)a f x ≤<-∞时在上为增函数.
当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.
综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数.
23. (重庆卷)已知a ∈R ，讨论函数f (x )=e x (x 2+ax +a +1)的极值点的个数。

19．（本小题13分）
解：22
()(1)(2)[(2)(21)],x x x f x e x ax a e x a e x a x a '=+++++=++++
令'()f x =0得2
(2)(21)0.x a x a ++++=
（1）当22
(2)4(21)4(4)0.a a a a a a ∆=+-+=-=->
即a <0或a >4时2
(2)(21)0x a x a ++++=有两个不同的实根1x ，2x ，不妨设1x <2x
因此12()()()x
f x e x x x x '=--，从而有下表
即现在)(x f 有两个极值点.
（2）当△=0即a =0或a =4时，方程2
(2)(21)0x a x a ++++=有两个相同的实根
12x x =
因此2
1()()x f x e x x '=-
故当x <1x 时'()f x >0，当x >2x 时'()f x >0，因此()f x 无极值 （3）当△<0即0<a <4时2
(2)(21)0x a x a ++++>
2()[(2)(21)]0x f x e x a x a '=++++>，故()f x 为增函数，现在)(x f 无极值. 因此
当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点. 24.（江苏卷）已知,a R ∈函数2
().f x x x a =- （Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.
解：（1）当a=2时,()2
2f x x x =-，则方程f(x)=x 即为2
2x x x -=
解方程得：1230,1,1x x x == （2）（I ）当a>0时,
()32
2
2
3
,,x ax x a
f x x x a ax x x a
⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩
作出其草图见右, 易知()f x 有两个极值点1220,3
a
x x ==借助于图像可知
当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上为增函数，现在
()()min 11f x f a ==-
当12a <≤时,明显现在函数的最小值为()0f a = 当23a <<时，
42233a <<，现在()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上为减函数，∴(){}min min (1),(2)f x f f =，又可得()()11,248f a f a =-=- ∴()()2137f f a -=-
则当
7
33
a ≤<时，()()210f f -≥，现在()min (1)1f x f a ==- 当7
23a <<时，()()210f f -<，现在()min (2)48f x f a ==-
当3a ≥时，223
a
≥,现在()f x 在区间[]1,2为增函数，故
()min (1)1f x f a ==-
(II)当0a =时，()2
f x x x =，现在()f x 在区间[]1,2也为
增函数，故()min (1)1f x f == （III ）当0a <时，其草图见右
明显函数()f x 在区间[]1,2为增函数，故
()min (1)1f x f a ==-。