中考命题研究贵阳中考数学第四章图形的初步认识与三角形四边形第3节等腰三

第三节等腰三角形与直角三角形
角三角形的
性质.
命题预测
预计2021
年中考，本
节内容仍为
重点考察内
容，主要利
用直角三角
形的性质进
展计算，题
型仍以选
择、填空题
为主.
,五年中考真题及模拟) 直角三角形的有关计算(5次)
1．(20217题3分)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，那么AP长不可能是( )
A．
B
C
D．7
2．(20218题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，假设∠F＝30°，DE＝1，那么EF的长是( )
A．3 B．2 C. 3 D．1
3．(202115题4分)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，……，依此类推到第五个等腰Rt△AFG，那么由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．
(第3题图)
(第4题图)
4．(202115题4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间是为t秒(0＜t＜8)，那么t＝________秒时，S1＝2S2.
5．(202124题12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．假设AB＝62cm.
(1)AE的长为________cm；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)求点D′到BC的间隔．
勾股定理(1次)
6．(202124题12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC 是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形；
(2)猜测，当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
等腰三角形的性质(1次)
7．(202115题4分)如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；……，按此做法进展下去，∠A n的度数为________．
(第7题图)
(第8题图)
8．(2021模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，那么∠B的度数为( )
A．30°B．36°C．40°D．45°
9．(2021模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
,中考考点清单) 等腰三角形的性质与断定(高频考点)
1．等腰三角形
定义有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底
性质
(1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；
(2)等腰三角形的两底角________(即∠B＝________)；
(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；
(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；
(5)面积： S△ABC＝
1
2
BC·AD
断定
假如一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的
角所对的边相等．(简称“________〞)
2.等边三角形
定义三边相等的三角形是等边三角形
性质
(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；
(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于________(即∠A＝∠B＝∠C＝
________)；
(3)等边三角形内、外心重合；
(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
(5)面积：S△ABC＝
1
2
BC·AD
断定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与断定(高频考点)
直角三角形的性质与断定近8年考察3次，题型均为填空题，设问方式为：(1)求角度；(2)求线段长度；(3)求周长．结合的背景有：(1)与三角形折叠结合；(2)以赵爽弦图为背景；(3)利用三角形余角的性质求角度．
3．直角三角形
定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质
(1)直角三角形的两个锐角之和等于______；
(2)直角三角形斜边上的____等于斜边的一半(即BD＝
1
2
AC)；
(3)直角三角形中________角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝
1
2
AC)；
(4)勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角
等于30°
断定
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
(3)有两个角互余的三角形是直角三角形
4.等腰直角三角形
定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°
断定(1)用定义断定；(2)有两个角为45°的三角形
,中考重难点打破) 等腰三角形的相关计算
【例1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，那么∠A ＝________．
【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A ＝x，那么2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.
【学生解答】
1．(2021中考)如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，假设MN＝2，那么OM＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2021中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，∠ADE＝40°，那么∠DBC ＝________．
直角三角形的相关计算
【例2】(2021中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，假设BD ＝4，CD＝2，那么AB的长是________．
,(例2题图)) ,(例2题解图)) 【解析】如解图，过D作DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，在Rt△BDE中，
DE＝2，BD＝4，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，BC＝CD＋BD＝6，∴AC＝6
3
＝23，∴AB＝23·2＝4 3.
【学生解答】
3．(2021中考)如图，△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．假设AD＝DB＝DE，AE ＝1，那么AC的长为( )
A. 5 B．2 C. 3 D. 2
(第3题图)
(第4题图)
4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，假设BC＝2，那么AC的长为( )
A. 3 B．1 C. 2 D．2
5．(2021考试说明)：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.假设△ABD是等边三角形，求DE的长．
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。