声子晶体带结构研究
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III
Yan Lin
Master Dissertation, Xiangtan University
scatterers (cube, cuboid and sphere) are taken into account. It is shown that, (1) the computational results are almost the same for SC、FCC and BCC structures when the scatterers are cuboid. The band gap width will increase at first and then decrease as the ratio of height and length increases. The largest band gap corresponds to the case of the ratio 1; (2) When the scatterers are cube with revolving angle θ （0ｏ≤θ≤45ｏ）, the (lowest) band gap width will decrease as the angle θ increases for SC and FCC structures. Totally differently, the largest gap for BCC structure appears at θ= 45ｏ; (3) The (lowest) band gap is the largest when scatterers are arranged in FCC structure and the band gap is the smallest when scatterers are arranged in SC structure.
In chapter 2, based on the elastic wave equation, we introduce the traditional method for the calculation of band structure, namely the method of plane wave expansion. In addition, theoretic models to study 2D and 3D phononic crystals are presented.
1
Yan Lin
Master Dissertation, Xiangtan University
第一章 绪 论
第一节 引 言
声子晶体的研究是电子在天然晶体和超晶格中的运动，以及光波(电 磁波)在光子晶体中的传播这两个领域的研究基础之上提出的新课题。20 世纪半导体的发现使我们进入了今天的信息时代，半导体的理论基础是固 体能带理论。固体能带理论是固体电子学的重要支柱，也是我们认识固态 物质的电导性、热导性、磁性、介电性和光学性质的理论基础。以能带理 论为基础，日本科学家江崎(Esaki)等人提出了超晶格的概念，突破了天然 晶体的物理性质由于其结构的不变性而产生的局限，并且，人们利用分子 束外延等技术制备出了超导体超晶格薄膜材料，它是由两种或两种以上性 质不同的半导体薄膜相互交替生长而形成，具有多层结构。通过改变薄膜 的厚度，就可改变超晶格的周期长度，这对于内部的电子或空穴来说，相 当于在晶格的周期性势场上附加了人为的新周期势。由于电子的周期势决 定了电子的能带结构，因此通过人为地改变超晶格所用的材料和结构，就 能人为地改变电子的能带结构，从而达到“人工物性剪裁”的目的。这种 能带的可剪裁性推动着整个半导体科学技术迅猛发展。
湘潭大学 硕士学位论文 声子晶体带结构研究 姓名：颜琳 申请学位级别：硕士 专业：凝聚态物理 指导教师：赵鹤平;唐翌
20050501
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
摘要
声子晶体是由不同弹性性质的材料周期性排列而成的弹性复合结构 体。弹性波(声波)在这种晶体中传播时会出现禁带现象。因而对声子晶体 带结构的研究具有极大的理论和应用价值。本文利用平面波展开法计算声 子晶体的能带结构,研究声子晶体的结构，组元的性质及散射体的填充率、 形状对能带结构的影响，力图为制备性能良好的声子晶体提供理论指导。 全文由以下五章组成：
Finally, a summary of our works and outlook for future works on the investigation of phononic crystals are presented in chapter 5.
Key words: Phononic crystals; Energy band structure; Phononic band gaps; Plane wave expansion method.
第一章，介绍了与声子晶体有关的基本概念，声子晶体的研究背景和 国内外研究动态。
第二章，基于弹性波波动方程,介绍了计算声子晶体带结构最常用的 方法——平面波展开法，简述研究二维和三维声子晶体的理论模型。
第三章，计算了二维固态-固态声子晶体中不同散射体按正方形排列 时的带结构，计算结果表明：（1）当散射体的填充率取不同值时，频率最 低的带隙的最大值所对应的散射体截面形状不同；（2）当散射体的截面为 长方形时, 截面的长宽比为 1.2 时 XY 模的带隙最宽，长宽比为 1 时 Z 模 的带隙最宽；（3）当散射体横截面是正方形并旋转角 θ 时，当 θ=45ｏ时 最有利于带隙的产生。
IV
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
Hale Waihona Puke 引言电子在周期性结构中运动会产生电子的能带结构,即电子在周期性势 场的作用下会形成导带和禁带，带与带之间有能隙。人们模拟这种天然晶 体中原子的排列，设计出一种周期性排列的电介质复合材料，当这种复合 材料的周期尺度与光波、电磁波的波长在一个数量级时，由于布拉格散射， 电磁波在此介质中传播时也会形成能带结构，带与带之间出现带隙，称为 光子带隙，相应的复合材料体系称为光子晶体。与此类似，当这种周期性 弹性介质材料的周期尺度与声波或弹性波的波长可相比拟时，声波或弹性 波在该周期性弹性介质结构中传播时也会形成能带结构，能带之间出现的 带隙称为声子带隙，相应的复合材料称为声子晶体。与天然晶体相类似， 处于声波带隙频率范围内的振动或声波被禁止在声子晶体中传播。根据声 子晶体的这一性质，可望设计和制造出一种隔音隔振材料，给某些精密仪 器提供一定频率范围内的无振动环境，又可设计出新型隔音材料，有效地 减少噪声对人体的危害。另外，声子晶体还可用于声波导、滤波器、声纳、 深度探测系统及医学超声波成像等领域，因而对声子晶体的研究有广阔的 实际应用前景。由于弹性波是含有纵波和横波两种传播速度的全矢量波， 在每个组元中具有三个独立的参数，即质量密度、纵波波速和横波波速， 因此对声子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。
In chapter 4, the energy band structures of binary 3D phononic crystals of three kinds of structures (simple-cubic (SC), face-centered- cubic (FCC) and body-centered-cubic (BCC)) were calculated. Three different shapes of
In chapter 3, we have calculated the band structure of binary 2D phononic crystal systems arranged in square lattice and consisting of solid scatterer with different shape embedded in solid matrix. The outcomes show that, (1) the maximums of the band gaps with the lowest frequency do not always appear at a certain shape of the scatterers’ cross-section when the filling fraction changes; (2) The largest band gap appears when the proportion of length and width of scatterers’ rectangle cross-section is 1.2 for XY mode and is 1 for Z mode; (3) When the cross-section is square with revolving angle θ, it is more favorable at θ=45ｏ for the appearance of the band gaps.
第四章，分别计算了散射体取正方体、长方体和球体三种形状时三 种不同结构(简立方结构 SC、面心立方结构 FCC、体心立方结构 BCC)的二 组元三维声子晶体的带结构。计算结果显示：（1）当散射物为长方体时， 这三种结构(SC、FCC、BCC)可得到相似的结果，随着高与长之比的增加带 隙宽度先增加后减小，当高与长之比为 1 时达到最大值；（2）当散射体是 正方体并旋转角 θ(0ｏ≤θ≤45ｏ)时，SC 和 FCC 结构的带隙宽度随着 θ 的增加而减小，而 BCC 结构的情况相反，最宽带隙出现在 θ=45ｏ时；（3） 散射体按照 FCC 结构排列时出现的带隙(最低带隙)最宽，按 SC 结构排列 时出现的带隙最小。
In chapter 1, we introduce the basic concepts on phononic crystals， research background related to phononic crystal and recent research activities at home and abroad.
第五章，我们简单总结本文所做的研究工作，并对今后的研究进行
I
Yan Lin
展望。
Master Dissertation, Xiangtan University
关键词：声子晶体；能带结构；声子带隙；平面波展开法
II
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
Abstract
Phononic crystals is an elastic composite material composed by different elastic units arranged in a periodical sequence. Prohibited band appears as elastic waves (acoustic waves) propagate in it. Investigation of the energy band structure of the phononic crystal is, therefore, of great importance for both theoretical studies and applications. In this paper, we calculate the energy band structure of the phononic crystal by making use of the method of plane wave expansion and investigate the influence of crystal structure, the properties of elastic units and the filling and shape of scatterer on the band gaps in an attempt to provide theoretical guidance to the preparation of phononic crystals. This paper consists of the following five chapters:
Yan Lin
Master Dissertation, Xiangtan University
scatterers (cube, cuboid and sphere) are taken into account. It is shown that, (1) the computational results are almost the same for SC、FCC and BCC structures when the scatterers are cuboid. The band gap width will increase at first and then decrease as the ratio of height and length increases. The largest band gap corresponds to the case of the ratio 1; (2) When the scatterers are cube with revolving angle θ （0ｏ≤θ≤45ｏ）, the (lowest) band gap width will decrease as the angle θ increases for SC and FCC structures. Totally differently, the largest gap for BCC structure appears at θ= 45ｏ; (3) The (lowest) band gap is the largest when scatterers are arranged in FCC structure and the band gap is the smallest when scatterers are arranged in SC structure.
In chapter 2, based on the elastic wave equation, we introduce the traditional method for the calculation of band structure, namely the method of plane wave expansion. In addition, theoretic models to study 2D and 3D phononic crystals are presented.
1
Yan Lin
Master Dissertation, Xiangtan University
第一章 绪 论
第一节 引 言
声子晶体的研究是电子在天然晶体和超晶格中的运动，以及光波(电 磁波)在光子晶体中的传播这两个领域的研究基础之上提出的新课题。20 世纪半导体的发现使我们进入了今天的信息时代，半导体的理论基础是固 体能带理论。固体能带理论是固体电子学的重要支柱，也是我们认识固态 物质的电导性、热导性、磁性、介电性和光学性质的理论基础。以能带理 论为基础，日本科学家江崎(Esaki)等人提出了超晶格的概念，突破了天然 晶体的物理性质由于其结构的不变性而产生的局限，并且，人们利用分子 束外延等技术制备出了超导体超晶格薄膜材料，它是由两种或两种以上性 质不同的半导体薄膜相互交替生长而形成，具有多层结构。通过改变薄膜 的厚度，就可改变超晶格的周期长度，这对于内部的电子或空穴来说，相 当于在晶格的周期性势场上附加了人为的新周期势。由于电子的周期势决 定了电子的能带结构，因此通过人为地改变超晶格所用的材料和结构，就 能人为地改变电子的能带结构，从而达到“人工物性剪裁”的目的。这种 能带的可剪裁性推动着整个半导体科学技术迅猛发展。
湘潭大学 硕士学位论文 声子晶体带结构研究 姓名：颜琳 申请学位级别：硕士 专业：凝聚态物理 指导教师：赵鹤平;唐翌
20050501
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
摘要
声子晶体是由不同弹性性质的材料周期性排列而成的弹性复合结构 体。弹性波(声波)在这种晶体中传播时会出现禁带现象。因而对声子晶体 带结构的研究具有极大的理论和应用价值。本文利用平面波展开法计算声 子晶体的能带结构,研究声子晶体的结构，组元的性质及散射体的填充率、 形状对能带结构的影响，力图为制备性能良好的声子晶体提供理论指导。 全文由以下五章组成：
Finally, a summary of our works and outlook for future works on the investigation of phononic crystals are presented in chapter 5.
Key words: Phononic crystals; Energy band structure; Phononic band gaps; Plane wave expansion method.
第一章，介绍了与声子晶体有关的基本概念，声子晶体的研究背景和 国内外研究动态。
第二章，基于弹性波波动方程,介绍了计算声子晶体带结构最常用的 方法——平面波展开法，简述研究二维和三维声子晶体的理论模型。
第三章，计算了二维固态-固态声子晶体中不同散射体按正方形排列 时的带结构，计算结果表明：（1）当散射体的填充率取不同值时，频率最 低的带隙的最大值所对应的散射体截面形状不同；（2）当散射体的截面为 长方形时, 截面的长宽比为 1.2 时 XY 模的带隙最宽，长宽比为 1 时 Z 模 的带隙最宽；（3）当散射体横截面是正方形并旋转角 θ 时，当 θ=45ｏ时 最有利于带隙的产生。
IV
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
Hale Waihona Puke 引言电子在周期性结构中运动会产生电子的能带结构,即电子在周期性势 场的作用下会形成导带和禁带，带与带之间有能隙。人们模拟这种天然晶 体中原子的排列，设计出一种周期性排列的电介质复合材料，当这种复合 材料的周期尺度与光波、电磁波的波长在一个数量级时，由于布拉格散射， 电磁波在此介质中传播时也会形成能带结构，带与带之间出现带隙，称为 光子带隙，相应的复合材料体系称为光子晶体。与此类似，当这种周期性 弹性介质材料的周期尺度与声波或弹性波的波长可相比拟时，声波或弹性 波在该周期性弹性介质结构中传播时也会形成能带结构，能带之间出现的 带隙称为声子带隙，相应的复合材料称为声子晶体。与天然晶体相类似， 处于声波带隙频率范围内的振动或声波被禁止在声子晶体中传播。根据声 子晶体的这一性质，可望设计和制造出一种隔音隔振材料，给某些精密仪 器提供一定频率范围内的无振动环境，又可设计出新型隔音材料，有效地 减少噪声对人体的危害。另外，声子晶体还可用于声波导、滤波器、声纳、 深度探测系统及医学超声波成像等领域，因而对声子晶体的研究有广阔的 实际应用前景。由于弹性波是含有纵波和横波两种传播速度的全矢量波， 在每个组元中具有三个独立的参数，即质量密度、纵波波速和横波波速， 因此对声子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。
In chapter 4, the energy band structures of binary 3D phononic crystals of three kinds of structures (simple-cubic (SC), face-centered- cubic (FCC) and body-centered-cubic (BCC)) were calculated. Three different shapes of
In chapter 3, we have calculated the band structure of binary 2D phononic crystal systems arranged in square lattice and consisting of solid scatterer with different shape embedded in solid matrix. The outcomes show that, (1) the maximums of the band gaps with the lowest frequency do not always appear at a certain shape of the scatterers’ cross-section when the filling fraction changes; (2) The largest band gap appears when the proportion of length and width of scatterers’ rectangle cross-section is 1.2 for XY mode and is 1 for Z mode; (3) When the cross-section is square with revolving angle θ, it is more favorable at θ=45ｏ for the appearance of the band gaps.
第四章，分别计算了散射体取正方体、长方体和球体三种形状时三 种不同结构(简立方结构 SC、面心立方结构 FCC、体心立方结构 BCC)的二 组元三维声子晶体的带结构。计算结果显示：（1）当散射物为长方体时， 这三种结构(SC、FCC、BCC)可得到相似的结果，随着高与长之比的增加带 隙宽度先增加后减小，当高与长之比为 1 时达到最大值；（2）当散射体是 正方体并旋转角 θ(0ｏ≤θ≤45ｏ)时，SC 和 FCC 结构的带隙宽度随着 θ 的增加而减小，而 BCC 结构的情况相反，最宽带隙出现在 θ=45ｏ时；（3） 散射体按照 FCC 结构排列时出现的带隙(最低带隙)最宽，按 SC 结构排列 时出现的带隙最小。
In chapter 1, we introduce the basic concepts on phononic crystals， research background related to phononic crystal and recent research activities at home and abroad.
第五章，我们简单总结本文所做的研究工作，并对今后的研究进行
I
Yan Lin
展望。
Master Dissertation, Xiangtan University
关键词：声子晶体；能带结构；声子带隙；平面波展开法
II
颜琳
湘潭大学硕士学位论文
Abstract
Phononic crystals is an elastic composite material composed by different elastic units arranged in a periodical sequence. Prohibited band appears as elastic waves (acoustic waves) propagate in it. Investigation of the energy band structure of the phononic crystal is, therefore, of great importance for both theoretical studies and applications. In this paper, we calculate the energy band structure of the phononic crystal by making use of the method of plane wave expansion and investigate the influence of crystal structure, the properties of elastic units and the filling and shape of scatterer on the band gaps in an attempt to provide theoretical guidance to the preparation of phononic crystals. This paper consists of the following five chapters: