第二章 关系

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2.4 关系上的闭包运算
• 例：设集合A={a,b,c,d}，定义 R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}，求r(R)，s(R)，t(R) • 解：
r(R)=RUQ ={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)} % s(R)=RU R ={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,c)} t(R)=RUR2UR3UR4 ={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)} U {(a,a),(a,c),(b,b),(b,d)} U {(a,b),(a,d),(b,a),(b,c)} U {(a,a),(a,c),(b,b),(b,d)} ={(a,a),(b,b),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,d)}
2.2 关系的运算
• 定理（复合运算满足结合律）：
– 设R、S、T分别表示从X到Y、Y到Z、Z到U 的关系，则有
(RoS) oT = Ro(SoT) = RoSoT • 定义2.4
设有一个集合X上的关系R，则Rn可定义如下： 1）R1=R 2）Rn+1=RnoR
故，RmoRn=Rm+n
(Rm)n=Rm×n
% R={(a,1),(b,1),(c,1)}
2.2 关系的运算
• 定理
– 设R，S分别是从X到Y及Y到Z的关系，则有 % % 1) R=R % % 2) R ∪ S=R ∪ S % % 3) R ∩ S=R ∩ S 4) R × S=S × R % % 5) (R o S)=S o R
2.3 关系的重要性质
– 在集合X上的关系R，如果有(x,y) ∈R且x≠y, 必有(y,x)∉R，则称R是反对称 反对称的 反对称 • 例：有一些人的集合中“同事”关系是对称的， “父子”关系则是反对称的。 • 在集合X={1,2,3,4}上的关系R： R={(1,2),(2,1),(3,4),(4,2)}既不是对称的也不是反 对称的
2.4 关系上的闭包运算
• 例： 整数集Z上的“<”关系的自反闭包是“≤” 关系；对称闭包是“≠”关系；传递闭包是它本 身。
• 定理：
– 设R是集合X上的关系，则 % r(R)=RUQ，其中Q={(x,x) | x∈X} R ∞ s(R)=RU i UR t(R)= i =1 =RUR2UR3U… 设X是有限集，并设X有n个元素，则 U Ri t(R)= i=1
0 1 MR = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2.2 关系的运算
• 关系的交、并、补、差
– 关系是特殊的集合 – 有关集合的交、并、补、差在关系中也 适用，有关集合运算的一些公式在关系 中也适用
2.2 关系的运算
• 复合运算 • 定义2.3
– 设R是一个从X到Y的关系，S是一个从Y到Z 的关系，则R与S的复合关系： RoS={(x,z) | x∈X,z∈Z,至少存在一个y∈Y有 (x,y)∈R且(y,z)∈S} 计算方法： 1）从定义入手 2）有向图法 3）布尔矩阵 M 'RoS = M R × M s
2.3 关系的重要性质
• 一个集合X上的关系可能具有上述5个性质中的 若干性质. • 全关系是自反的、对称的，传递的 • 空关系是反自反的、对称的、反对称的，传递的 • 例：设集合A={a,b,c,d}，判定下列关系具有什么性质
1）R1={(a,a),(b,a)} 反对称的，传递的 2）R2={(c,d)} 反自反的，反对称的，传递的 3）R3={(a,a),(b,b),(c,c)} 自反的，对称的，反对称的，传递的
• 例：集合A={1,2,…,10}的关系
R={(x,y) ∣x+y=10且x,y∈A}，则R具有什么性质？ 解：R={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)} R是对称的
2.3 关系的重要性质
• b c c a
2.4 关系上的闭包运算
• 集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例 如ts(R)=t(s(R))表示R的对称闭包的传递闭包， 可以简称为R的对称传递闭包。tsr(R)则表示R的 自反对称传递闭包。 • 定理：
设R是集合A的二元关系，则有 1) 如果R是自反的，那么s(R)和t(R)也是自反的； 2) 如果R是对称的，那么r(R)和t(R)也是对称的； 3) 如果R是传递的，那么r(R)也是传递的 4) rs(R)=st(R) 5) rt(R)=tr(R) 6) ts(R)⊇st(R)
2.2 关系的运算
• 逆运算
是一种一元运算，其结果组成的关系，称关系的 逆关系.
• 定义2.5
– 设R是一个从X到Y的关系，即R={(x,y) | % x∈X,y∈Y}，则从Y到X的关系 R % R = {( y, x) ( x, y ) ∈ R} 称为R的逆关系.
• 例：R={(1,a),(2,b),(3,c)}
2.1 关系的基本概念
• 大型的计算机结构中或一个大型软件结构 中所谓的内部逻辑关系复杂，所指的“逻 辑关系”就是这里的“关系”，只要把这 些结构内的关系搞清，则任何结构的“正 确性”“可靠性”就迎刃而解了.
2.1 关系的基本概念
• 关系的图的表示法 • 一个集合X={x1,x2,…,xn}上的关系可用一 关系图表示之.集合X中元素可用图中结点 R (x ) 表示；关系R的有序偶(xi,xj)可用图中从结 点xi到xj的有向边表示。 • 例： 0 1 0 0 0 0
2.2 关系的运算
• 例：
设R和S是集合X={0,1,2,3}上的关系，有 R={(x,y) | j=i+1 或 j=i/2} S={(x,y) | i=j+2} 求 RoS，SoR
• 解：
R={(0,1),(1,2),(2,3),(0,0),(2,1)} S={(2,0),(3,1)} RoS={(1,0),(2,1)} SoR={(2,1),(2,0),(3,2)}
• • • • • 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
2.3 关系的重要性质
• 定义2.6
– 在集合X上的关系R，如对任意x∈X，有 (x,x)∈R,则R是自反 自反的 自反
• 定义2.7
– 在集合X上的关系R，如对任意x∈X，有 (x,x)∉ R,则R是反自反 反自反的 反自反
• 例： • 在整数集Z上的关系，“≤”是自反的，不是反自反的； “<”是反自反的，不是自反的。 • 在集合X={1,2,3,4}上的关系R：R={(1,1),(2,1),(3,4),(4,2)} 既不是自反的也不是反自反的
2.4 关系上的闭包运算
• 例：设有X上的关系R1,R2, 且R1⊇R2,试证 1) r(R1)⊇r(R2) 2) s(R1)⊇s(R2) 3) t(R1)⊇t(R2) • 证明： 1) 因为R1⊇ 2, 所以R1∪E⊇R2∪E, 即r(R1)=r(R2) ⊇R ⊇ % % 2) 因为R1⊇ 2, 所以 R1 ⊇ R 2 ⊇R % % 所以 R1 ∪ R1 ⊇ R 2 ∪ R 2, 即s(R1)=s(R2) 3) 对任意的n∈N, 根据数学归纳法可知： R1 ⊇ R 2 ⇒ R n ⊇ R n 2 1 又因为t(R)=RUR2UR3U…, 所以t(R1)⊇t(R2)
2.1 关系的基本概念
• 如果从X到Y不存在某种关系R，则称这种 关系为空关系 空关系，如果从X的每个元素到Y 空关系 的每个元素之间均具有某种关系，则称此 关系为全关系 全关系. 全关系 • 从X到Y的全关系即X×Y. • 定义2.2
– 由集合X1、X2、…、Xn所确定的的n元关系 元关系是 元关系 X1×X2×…×Xn的一个子集
• 例：
– 在一些人的集合上，“同事”关系是传递的， 但“父子”关系不是传递的 – 整数集Z上的“＜”、“≤”都是传递的 – 一些城市所组成的集合上，“线路的连通” 关系是传递的
2.3 关系的重要性质
• 注意：
• 一个关系可以 – 既不是自反的，又不是反自反的； – 即是对称的，又是反对称的； • 根据定义，一个有序偶的第一元素和第二 元素如果可以交换且存在反对称关系的话， 则第一和第二元素应该相同 – 但是传递与非传递不能同时存在 • 传递意为如果有(a,b),(b,c)就应该有(a,c), 如果没有(a,c)就是非传递，一个关系要么 是传递的要么是非传递的，两者只能居其 一，而如果没有(a,b)(b,c)出现的情况也归 为满足传递性。
2.5 次序关系
• 定义2.12
– 集合X上的关系R如果是自反的、反对称的、 传递的，则称R在X上是偏序 偏序的或称R是集合X 偏序 上的偏序关系。而称集合X为R的偏序集 偏序集用 偏序集 (X,R)表示. – 一般用符号“≤”表示偏序 (有时我们用x＜y表示x≤y,且x≠y)
第二章 关系
• 本章将研究集合内元素之间的关联 以及集合之间元素的关联，这就是 “关系” • “关系”是很重要的基本数学概念， 它在各数学领域中均有很大的作用， 并且对研究计算机科学中许多问题 都是很好的数学工具
2.1 关系的基本概念
• 定义2.1
– 从集合A到集合B的一个关系 关系R是A与B的笛卡 关系 尔积A×B的一个子集 • 关系R中有序偶第一个客体所允许选取对象的集 合称为关系R的定义域，记以D(R)，第二个客体 所允许选取对象集合称为关系R的值域，记以 C(R) • 在特殊情况下，当D(R)=C(R)=M时，M为一集合， 此时称为关系为M上的关系 • 例：实数集R上的“>”关系可以定义为： > = {(x,y) | x∈R, y∈R,且x>y}
c
(a) • 解:
(b)
(c)