Jordan 标准型定理的简单证明

Jordan 标准型定理的简单证明
我们要说的这个证明在思想上没有什么先进之处，只是把老想法用新语言说了一遍，但是这的确是最简单的说法！
定理设A是V上的幂零线性变换，则存在V的一组基使得A在这组基下的矩阵是一些Jordan 块的和。

证明：对V的维数n归纳。

n=1显然，设dimV<n时结论成立，考虑dimV=n。

这时A的像空间A(V)是V的子空间且dimA(V)<dimV，所以根据归纳假设存在A(V)中的一组基
{v1,Av1,…,Aa1−1v1},{v2,Av2,…,Aa2−1v2},⋯,{vm,Avm,…,Aam−1vm}.
其中Aa1v1=Aa2v2=⋯=Aamvm=0。

显然Aa1−1v1,…,Aam−1vm都属于KerA。

下面把Aa1−1v1,…,Aam−1vm扩充为KerA的一组基，比如说扩充为
Aa1−1v1,…,Aam−1vm,w1,…,wr.
并选取ui∈V使得Aui=vi。

我们断言向量组
{u1,Au1,…,Aa1u1},{u2,Au2,…,Aa2u2},⋯,{um,Aum,…,Aamum},{w1,…,wr}
构成V的一组基。

如果这一断言成立，那么A在这组基下显然就是Jordan 标准型。

注意现在Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr构成KerA的一组基。

这组向量的线性无关性很好证，假设这些向量的某个线性组合L等于0，两边用A作用以后，Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项被消掉，剩下的是一个只含有v1,…,Aa1−1v1,…,vm,…,Aam−1vm的线性组合为0 的等式，所以它们前面的系数都是0，即u1,…,Aa1−1u1,…,um,…,Aam−1um这些项在L中实际上不出现，从而L中只包含Aa1u1,…,Aamum,w1,…,wr这些项。

但是这些项是KerA的一组基，所以它们前面的系数也都是0。

要证明这组向量是一组基，只要再算算维数即可。

这组向量一共有a1+⋯+am+r+m个。

另一方面，dimA(V)=a1+⋯+am，dimKerA=m+r，所以这些向量的个数等于V的维数，从而它们构成V的一组基。