最新高三数学题库 高三数学试卷(理科)

浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测
高三数学试卷（理科） 2011.1
注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个
空格填对得4分，否则一律得零分.
1．函数x
x y --=
21
的定义域为__________________. 2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__________________.
3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于__________________. 4．方程
0cos sin sin cos =x
x x x 的解为__________________.
5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条
件，则m 的取值范围是__________________.
6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是_________________. 7．在等差数列}{n a 中，18,0654
321=++=++a a a a a a ，则数列
}{n a 的通项公式为__________________.
8．在ABC ∆中，
60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等
于__________________. 9．已知]3
2,6[
π
πα∈，则αsin 的取值范围是__________________.
10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为
__________________.
11．已知方程)(04)4(2
R a ai x i x ∈=++++有实数根b ，则复数
=+bi a __________________.
图（1）
图（2）
12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求每个出口都要有
志愿者服务，不同安排方法有__________________种（用数值表示）.
13．设定义*
N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2
()()(为偶数为奇数n n f n n
n f ，)2()3()2()1(n
n f f f f a ++++= ，
那么=-+n n a a 1__________________.
14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如
下信息：
注：油耗=
加满油后已行驶距离
加满油后已用油量，可继续行驶距离=
当前油耗
汽车剩余油量，
平均油耗指定时间内的行驶距离
指定时间内的用油量=.
从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内________ (填上所有正确判断的序号) .
① 向前行驶的里程为80公里； ② 向前行驶的里程不足80公里； ③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．
二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每小题都给出四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.
15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ ）
A ．πϕ-=
B ．2
π
ϕ-
=
C ．4
π
ϕ-
=
D ．8
π
ϕ-
=
16．关于数列{a n }有以下命题，其中错误的命题为 （ ）
A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列
B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1
)1(--=n n a
C ．若2≥n 且2
11n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列
D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*
，，，则2
k n m a a a =
17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使复数)4)((ai b bi a -+为实数的概率
是 （ ）
A ．
31 B ．41 C ．6
1
D ．
12
1 18．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：
（1）0=++OC OB OA ；
（2）OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅；
（3
）0=⎫
⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ； （4）0)()(=⋅+=⋅+．
则点O 依次为ABC ∆的 （ ）
A ．内心、外心、重心、垂心
B ．重心、外心、内心、垂心
C ．重心、垂心、内心、外心
D ．外心、内心、垂心、重心
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量),(),,(a a n a a m x x =-=，其中0>a 且1≠a ，
（1）当x 为何值时，n m ⊥；
（2）解关于x
的不等式m <.
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架
ABC P -（如图3）进行野炊训练. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.
（1）求斜杆PC 与地面ABC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）将炊事锅看作一个点Q ，用吊绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅
Q 到地面ABC 及各条斜杆的距离都不小于30cm ，试问吊绳PQ 长的取值范围.
21．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）
已知]2,1[,3)(∈-+
=x x
b
x x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；
(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围．
图（3）
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小
题满分7分）
（1）若对于任意的*
∈N n ，总有
1
)1(2++=++n B
n A n n n 成立，求常数B A ,的值；
（2）在数列}{n a 中，2
11=
a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*
∈N n ），求通项n a ；
（3）在（2）题的条件下，设2
)1(21
+++=
n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…
第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中m k =1，*+∈=-N r k k n n 1.试问是否存在正整数r m ,使S c c c n n =++++∞
→)(lim 21 且
13
1
614<<S 成立？若存在，求正整数r m ,的值；不存在，说明理由.
23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分）
已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，
则称)(x f 为“S-函数”.
（1）判断函数x
x f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；
（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和
)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)
(x f 的值域.
浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测
高三数学试卷（理科） 2011.1
注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个
空格填对得4分，否则一律得零分.
1．函数x
x y --=
21
的定义域为_____),2()2,1[+∞ _____. 2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__13+=x
y （R x ∈）___.
3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于______2_______. 4．方程
0cos sin sin cos =x
x x x 的解为_____)(,4
2Z k k x ∈+=
π
π______. 5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充
分条件，则m 的取值范围是____]4,(--∞_____.
6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底，下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是____3
3
2R π____. 7．在等差数列}{n a 中，
18,0654321=++=++a a a a a a ，则数列
}{n a 的通项公式为____42-=n a n _____.
8．在ABC ∆中，
60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等于
____1或3 ____. 9．已知]32,6[
π
πα∈，则αsin 的取值范围是____]1,2
1
[______. 10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为
______2
3
-
________.
图（1）
图（2）
11．已知方程)(04)4(2
R a ai x i x ∈=++++有实数根b ，则复数=+bi a ____i 22-____. 12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求每个出口都要有
志愿者服务，不同安排方法有____240______种（用数值表示）.
13．设定义*
N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2
()()(为偶数为奇数n n f n n
n f ，)2()3()2()1(n
n f f f f a ++++= ，
那么=-+n n a a 1____n
4_____.
14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如
下信息：
注：油耗=
加满油后已行驶距离
加满油后已用油量，可继续行驶距离=
当前油耗
汽车剩余油量，
平均油耗指定时间内的行驶距离
指定时间内的用油量=.
从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内__②③__ (填上所有正确判断的序号) .
①行使了80公里； ②行使不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时． 解题过程：实际用油为7.38.行驶距离为875.761006
.938
.7=⨯<
，所以①错误，②正确. 设L 为已用油量，△L 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，△S 为一个小时内已行的距离
⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+=6.95
.9S
S L
L S L
得S S V V ∆+=∆+6.96.9， S S V S ∆+=∆+6.96.95.9，S S V ∆+=∆6.91.0，
6.96.91.0>+∆=∆∆S
S
S V . 所以③正确，④错误.⑤由②知错误.
二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每小题都给出四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.
15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ B ）
A ．πϕ-=
B ．2
π
ϕ-
=
C ．4
π
ϕ-
=
D ．8
π
ϕ-
=
16．关于数列{a n }有以下命题，其中错误的命题为 （ C ）
A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列
B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1
)1(--=n n a
C ．若2≥n 且2
11n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列
D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*
，，，则2
k n m a a a =
17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使复数)4)((ai b bi a -+为实数的概率
是 （ D ）
A ．
31 B ．41 C ．6
1
D ．
12
1 18．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：
（1）=++；
（2）OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅；
（3）0=⎫
⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ； （4）0)()(=⋅+=⋅+．
则点O 依次为ABC ∆的 （ C ）
A ．内心、外心、重心、垂心
B ．重心、外心、内心、垂心
C ．重心、垂心、内心、外心
D ．外心、内心、垂心、重心
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量),(),,(a a n a a m x x =-=，其中0>a 且1≠a ，
（1）当x 为何值时，n m ⊥； （2）解关于x
的不等式
-<+解：（1）因为0,=⋅⊥n m n m 所以,…………………………………………………………2分
得022=-a a
x
，即22a a x =.……………………………………………………4分
所以22=x ，即1=x ，∴当1=x 时，n m ⊥.………………………………6分
（2
-<+，∴22)()(n m n m -<+，0<⋅∴.
所以02
2<-a a x
，即2
2a a x
<.…………………………………………………10分 当10<<a 时，1>x ，当1>a 时，1>x . 综上，当10<<a 时，不等式的解集为),1(+∞;
当1>a 时，不等式的解集为)1,(-∞.……………………………………14分
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架
ABC P -（如图3）进行野炊训练. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.
（1）求斜杆PC 与地面ABC 所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）将炊事锅看作一个点Q ，用吊绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计），若使炊事锅
Q 到地面ABC 及各条斜杆的距离都不小于30cm ，试问吊绳PQ 长的取值范围. 解：（1）设P 点在平面ABC 上的射影为点O ，连接CO ，50=CO ，……………3分
在Rt △POC 中，135cos =∠PCO ，所以13
5
arccos =∠PCO .…5分
即PC 与底面ABC 所成角的大小为13
5
arccos .……6分
（2）在Rt △POC 中，解得120=PO ，
作PC QD ⊥交PC 于D 点，
由30≥QD ，得7813
530sin =≥∠=
QPD QD PQ .……11分 又9030120=-≤PQ ,………………………………13分 故吊绳长度的取值范围为]90,78[.……………………14分
21．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）
已知]2,1[,3)(∈-+
=x x
b
x x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；
(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围． 解：（1）当b=2时，]2,1[,32
)(∈-+
=x x
x x f . 因为)(x f 在]2,1[上单调递减，在]2,2[上单调递增, ……………………２分
所以)(x f 的最小值为322)2(-=f .…………………………………………４分 又因为0)2()1(==f f ,……………………………………………………………５分 所以)(x f 的值域为]0,322[-．…………………………………………………6分
（2）（ⅰ）当42<≤b 时，因为)(x f 在],1[b 上单调递减，在]2,[b 上单调递增.
所以M=.32)(,2)}2(),1(max {-==-=b b f m b f f
412≥+-=-b b m M ，得4)1(2≥-b .
即9≥b ，与42<≤b 矛盾.…………………………………………………11分 （ⅱ）4≥b 时，)(x f 在[1，2]上单调递减.
M=b-2，12-=b m ，M - m =412
≥-b
，即10≥b .………………………16分
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小
题满分7分）
（1）若对于任意的*
∈N n ，总有
1
)1(2++=++n B
n A n n n 成立，求常数B A ,的值；
（2）在数列}{n a 中，2
11=
a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*
∈N n ），求通项n a ；
（3）在（2）题的条件下，设2
)1(21
+++=
n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…
第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中m k =1，*+∈=-N r k k n n 1.试问是否存在正整数r m ,使S c c c n n =++++∞
→)(lim 21 且
131
614<<S 成立？若存在，求正整数r m ,的值；不存在，说明理由. 解：（1）由题设得2)1(+=++n Bn n A 即2)(+=++n A n B A 恒成立，
所以⇒⎩
⎨⎧==+21A B A 2=A ，1-=B .…………………………………4分
（2）由题设)
1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ）又11
2)1(2+-=++n n n n n 得，
)1(2221111n a n a n a n n n +=+=++--，且12
11=+a ，
即}11
{++n a n 是首项为1，公比为2的等比数列，………………………………8分
所以1211-=++n n n a . 即1
1
21+-
=-n a n n 为所求.………………………………9分 （3）假设存在正整数r m ,满足题设，由（2）知1121
+-=-n a n n
显然n n n a n n b 212)1(21=+++=
，又n k n b c =得r k k k k n n n n n n b b c c 2
1
)21(111===-+++，m k b c 2111=
=即}{n
c 是以m 21为首项，r
21
为公比的等比数列.………………11分 于是)(lim 21n n c c c S +++=+∞→ r
m m
r
m --=-=2212
1121，………………………12分 由131614<<S 得4612213<-<-r m m ，*∈N r m ,,
所以1422=--r m m 或15，…………………………………………14分 当1422=--r m m 时，3,4==r m ； 当1522=--r
m m 时，4,4==r m ；
综上，存在正整数r m ,满足题设，3,4==r m 或4,4==r m .……………16分
23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满
分6分）
已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，
则称)(x f 为“S-函数”.
（1）判断函数x
x f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；
（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和
)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)
(x f 的值域.
解：（1）若x x f =)(1是“S-函数”，则存在常数),(b a ，使得 (a +x )(a-x )=b.
即x 2=a 2-b 时，对x ∈R 恒成立.而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾，
因此x x f =)(1不是“S-函数”.……………………………………………………3分
若x
x f 3)(2=是“S-函数”，则存在常数a ,b 使得a x a x
a 2333=⋅-+，
即存在常数对（a , 32a ）满足.
因此x x f 3)(2=是“S-函数”………………………………………………………6分 （2）x x f tan )(3=是一个“S-函数”，设有序实数对（a , b ）满足:
则tan(a -x )tan(a +x )=b 恒成立. 当a =Z k k ∈+
,2
π
π时，t an (a -x )t an (a +x )= -cot 2(x )，不是常数.……………………7分
因此Z k k a ∈+
≠,2π
π，Z m m x ∈+
≠,2
π
π,
则有b x
a x
a x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2
222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan . 即0)(tan tan )1tan (2
22=-+-⋅b a x a b 恒成立. ……………………………9分
即⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 2
2
2b a b a a b Z k b k a ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±
=,1
4ππ,
当Z m m x ∈+
=,2
π
π,4
π
π±
=k a 时，t an (a -x )t an (a +x )=cot 2(a )=1.
因此满足x x f tan )(3=是一个“S-函数”的常数（a , b ）=Z k k ∈±
),1,4
(π
π.…12分 (3) 函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(， 于是,4)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f
即]1,0[2]2,1[,4)2()(4)1()1(∈-∈=-⇔=-⋅+x x x f x f x f x f 时，
, ]4,2[)
2(4
)(∈-=x f x f ，]4,1[)(]2,0[∈∈∴x f x 时，.……………………14分
)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅.………16分 ].
2,2[)(,
]2012,2010[],
2,2[)(,
]22,2[],
2,16[)(,
]6,4[],16,4[)(]4,2[201220102226∈∈∈+∈∈∈∈∈+x f x x f k k x x f x x f x k k 时时依次类推可知时时，
因此]2,1[)(]2012,0[2012
∈∈x f x 时，, …………………………………………17分
].1,2[)(]2,1[)(],2012,0[,)
(1
)(,]0,2012[20122012-∈⇒∈-∈--=
-∈x f x f x x f x f x 时 综上可知当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域为]2[22012-2012，.……………18分。