2021届北师大版高考理科数一轮复习课件：第一章 第3讲 全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词

真
存在一个对象使命题为真
特称命题
假
所有对象使命题为假
判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
[提醒] 因为命题 p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其 真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
(2020·河南八所重点高中第二次联考)已知集合 A 是奇函数集，B 是偶函 数集．若命题 p：对任意的 f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p 为( ) A．对任意的 f(x)∈A，|f(x)|∉B B．对任意的 f(x)∉A，|f(x)|∉B C．存在 f(x)∈A，|f(x)|∉B D．存在 f(x)∉A，|f(x)|∉B
答案：[1＋ 3，＋∞)
2．已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y＝2x2＋ax ＋4 在[3，＋∞)上是增函数．若 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题，则实数 a 的取值范 围是________． 解析：命题 p 等价于 Δ＝a2－16≥0，即 a≤－4 或 a≥4；命题 q 等价于－a4≤3，即 a≥ －12.由 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a ＜－12；若 p 假 q 真，则－4＜a＜4.故 a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．
【迁移探究 2】 (变问法)在本例条件下，若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求实数 m 的取 值范围．
解：若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，则 p，q 一真一假． 当 p 真 q 假时mm＜ ≥02， 或m≤－2，所以 m≤－2； 当 p 假 q 真时m－≥2＜0，m＜2，所以 0≤m＜2. 所以 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．
根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题： ①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假； ③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．
1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)若命题“对任意的 x∈0，π3，1＋tan x≤m”的否定 是假命题，则实数 m 的取值范围是________． 解析：根据题意得不等式 1＋tan x≤m，对任意的 x∈0，π3恒成立，因为 y＝1＋tan x 在 x∈0，π3上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan π3＝1＋ 3，则有 m≥1＋ 3，即实 数 m 的取值范围是[1＋ 3，＋∞)．
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题 p 且 q 为假命题，则命题 p、q 都是假命题． (2)命题 p 和﹁p 不可能都是真命题． (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题，则 p 或 q 是真命题． (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词． (5)存在 x∈M，p(x)与对任意的 x∈M，﹁p(x)的真假性相反．
p
q
p且q
p或q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
非 p(﹁p) 假 假 真 真
常用结论
1．一组关系
否命题
命题的否定
否命题既否定其条件，又否定其结论 区 别 否命题与原命题的真假无必然联系
命题的否定只是否定命题的结论 命题的否定与原命题的真假总是相对立的， 即一真一假
2．三个口诀 (1)p 或 q→见真即真． (2)p 且 q→见假即假． (3)p 与﹁p→真假相互． 3．四组等价关系 (1)p 或 q 真⇔p，q 至少一个真⇔(﹁p)且(﹁q)假． (2)p 或 q 假⇔p，q 均假⇔(﹁p)且(﹁q)真． (3)p 且 q 真⇔p，q 均真⇔(﹁p)或(﹁q)假． (4)p 且 q 假⇔p，q 至少一个假⇔(﹁p)或(﹁q)真．
第一章 集合与常用逻辑用
第3讲 全称量词与存在量词、 简单的逻辑联结词
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．全称量词与存在量词
(1)全称量词和存在量词的含义
量词名称
常见量词
含义
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 在指定范围内，表示整体或全部
解析：选 C.全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命 题 p：对任意的 f(x)∈A，|f(x)|∈B，得﹁p 为存在 f(x)∈A，|f(x)|∉B，故选 C.
含有逻辑联结词的命题的真假判断 (师生共研)
(2020·惠州调研)已知命题 p，q，则“﹁p 为假命题”是“p 且 q 是真命题”( )
二、教材衍化 1．命题“存在 x∈R，log2x＋2<0”的否定是________________________． 答案：对任意的 x∈R，log2x＋2≥0 2．在一次驾照考试中，甲、乙两名学员各试驾一次．设 p 是“甲试驾成功”，q 是“乙 试驾成功”，则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为________． 答案：(﹁p)或(﹁q)
【答案】 (1)D (2)B
(1)全称命题与特称命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对 量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
真
所有对象使命题为真
全称命题
假
存在一个对象使命题为假
解析：由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故①p 且 q 为假命题； ②p 或 q 为真命题；③﹁q 为真命题，则 p 且(﹁q)为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p) 或 q 为假命题． 答案：②③
3．已知命题“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”，则其否命题为________． 解析：“a＝0 或 b＝0”的否定为“a≠0 且 b≠0”． 答案：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0 4．若 p：对任意的 x∈R，ax2＋4x＋1>0 是假命题，则实数 a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]
这四个命题中，所有真命题的编号是
()
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
解析：选 A.通解：作出不等式组表示的平面区域 D 如图中阴影部 分所示，直线 2x＋y＝9 和直线 2x＋y＝12 均穿过了平面区域 D， 不等式 2x＋y≥9 表示的区域为直线 2x＋y＝9 及其右上方的区域， 所以命题 p 正确；不等式 2x＋y≤12 表示的区域为直线 2x＋y＝ 12 及其左下方的区域，所以命题 q 不正确．所以命题 p 或 q 和 p 且﹁q 正确．故选 A. 优解：在不等式组表示的平面区域 D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式 2x＋y≥9，所 以命题 p 正确；点(7，0)不满足不等式 2x＋y≤12，所以命题 q 不正确．所以命题 p 或 q 和 p 且﹁q 正确．故选 A.
【答案】 B
判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
(2019·高考全国卷Ⅲ改编)记不等式组x2＋ x－y≥y≥6， 0 表示的平面区域为 D.命 题 p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题 q：对任意的(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了
四个命题
①p 或 q ②﹁p 或 q ③p 且﹁q ④﹁p 且﹁q
由命题的真假确定参数的取值范围 (典例迁移)
已知 p：存在 x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意的 x∈R，x2＋mx＋1＞0，若 p 或 q
为假命题，求实数 m 的取值范围． 【解】 依题意知 p，q 均为假命题，当 p 是假命题时，mx2＋1＞0 恒成立，则有 m≥0； 当 q 是真命题时，则有 Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由 p，q 均为假命题得
以命题的否定是存在 x＞0，0≤x≤1，故选 B.
(2)由特称命题的否定可得﹁p 为“对任意的 m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数”． 【答案】 (1)B (2)D
角度二 全称命题、特称命题的真假判断
(1)下列命题中的假命题是
A．对任意的 x∈R，x2≥0
B．对任意的 x∈R，2x－1＞0
C．存在 x∈R，lg x＜1
答案：(－∞，－12)∪(－4，4)
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(× ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ )
二、易错纠偏 常见误区 (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误； (4)判断命题真假时忽视对参数的讨论．
1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形 2．已知命题 p：若 x＞y，则－x＜－y；命题 q：若1x＞1y，则 x＜y.在命题①p 且 q；②p 或 q；③p 且(﹁q)；④(﹁p)或 q 中，真命题是________．(填序号)
A．存在 m∈R，f(x)＝2x－mx 是减函数
B．对任意的 m∈R，f(x)＝2x－mx 是减函数
C．存在 m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数
D．对任意的 m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数
【解析】
(1)因为x－x 1＞0，所以 x＜0 或 x＞1，所以x－x 1＞0 的否定是 0≤x≤1，所
全称命题与特称命题(多维探究)
角度一 全称命题、特称命题的否定
(1)(2020·西安模拟)命题“对任意的 x＞0，x－x 1＞0”的否定是(
)
A．存在 x＜0，x－x 1≤0
B．存在 x＞0，0≤x≤1
C．对任意的 x＞0，x－x 1≤0 D．对任意的 x＜0，0≤x≤1
(2)已知命题 p：存在 m∈R，f(x)＝2x－mx 是增函数，则﹁p 为 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 充分性：若﹁p 为假命题，则 p 为真命题，由于不知道 q 的真假性，所以推 不出 p 且 q 是真命题．必要性：p 且 q 是真命题，则 p，q 均为真命题，则﹁p 为假命题．所 以“﹁p 为假命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件．
D．存在 x∈R，sin x＋cos x＝2
(2)下列命题中的假命题是
A．对任意的 x∈R，ex＞0
B．对任意的 x∈N，x2＞0
C．存在 x∈R，ln x＜1
D．存在 x∈N＋，sin π2x＝1
() ()
【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知 2x－1＞0 恒成立，所以 B 正确；当 0＜x＜10 时，lg x＜1，所以 C 正确；因为 sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4，所以－ 2≤ sin x＋cos x≤ 2，所以 D 错误． (2)对于 B.当 x＝0 时，x2＝0，因此 B 中命题是假命题．
存在一个、至少有一个、有一个、有
存在量词
在指定范围内，表示个别或一部分
些、某些等
(2)全称命题、特称命题的定义、否定形式及真假判断
命题 名称
定义
否定形式
真假判断
全称 命题
含有全 称量词 的命题
___特_就可以了，实 际上是要说明这个全称命题的 否定是正确的
命题 名称
特称 命题
定义
含有存 在量词 的命题
否定形式
真假判断
_全__称__命__题__
要说明一个特称命题“存在一些对象满 足某一性质”是错误的，就要说明所有 的对象都不满足这一性质．实际上是要 说明这个特称命题的否定是正确的
2.逻辑联结词
(1)逻辑联结词通常是指“且”“或”“非”．
(2)命题 p 且 q，p 或 q，非 p 的真假判断．
mm≥ ≤0－，2或m≥2，即 m≥2. 所以实数 m 的取值范围为[2，＋∞)．
【迁移探究 1】 (变问法)在本例条件下，若 p 且 q 为真，求实数 m 的取值范围．
解：依题意知 p，q 均为真命题，当 p 是真命题时，有 m＜0； 当 q 是真命题时，有－2＜m＜2， 由m－＜2＜0，m＜2，可得－2＜m＜0.