高一数学解三角形正余弦定理基础练习题(含答案)

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第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）
1.在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,求a+2b+c
sinA+2sinB+sinC
=()
A. √3
B. 4√3
3C. 2 D. 2√39
3
2.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足c=2acosB，则ΔABC的形状是
()
A. 等腰三角形或直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若的面积为a2+b2−c2
4
，则C=()
A. π
2B. π
3
C. π
4
D. π
6
4.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形()
A. 无解
B. 有一解
C. 有两解
D. 解的个数不确定
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB−bcosA=c，则△ABC是
()
A. 等腰或直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
6.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=√5
2
b，A=2B，则cos B等于()
A. √5
3B. √5
4
C. √5
5
D. √5
6
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）
7.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8，b<4，c=7，且满足(2a−
b)cosC=c⋅cosB，则下列结论正确的有()
A. C=60∘
B. ▵ABC的面积为6√3
C. b=2
D. ▵ABC为锐角三角形
8.已知角A,B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()
A. sin(B+C)=sinA
B. cos(A+B)=cosC
C. 若A>B，则sinA>sinB
D. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
第II卷（非选择题）
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
9.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=．
10.在△ABC中，若(a−c)(a+c)=b(b+c)，则A=．
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，
则A=．
四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
12.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且2csinC=(2b−a)sinB+
(2a−b)sinA．
(1)求角C；
(2)若c=2√3，求△ABC的周长l的取值范围．
13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足R2+
2accos B=a2+c2．
(1)求B的大小；
(2)若b=2，C=5π
，求△ABC的面积．
12
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sinA，周长为
4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．
(1)求a及cosA的值；
(2)求cos(2A−π
3
)的值．
15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosB
cosC =−b
2a+c
．
(1)求B的大小；
(2)若b=√13,a+c=4，求△ABC的面积．
16.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且asinB−√3bcosA=0．
(1)求角A；
(2)若a=√13，b=3，求△ABC的面积．
17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acos B .
(1)求角B 的大小;
(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．
18. 如图所示，在四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．
(1)求cos∠CAD 的值；
(2)若cos∠BAD =−√7
14，sin∠CBA =√21
6
，求BC 的长．
19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC−sinBsinC=1
．
2
(1)求A；
(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
先由三角形面积公式求出c，由余弦定理求出a，再由正弦定理可得．【解答】
解：∵在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,
∴√3=1
2bcsinA，即√3=1
2
c×√3
2
，解得c=4，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，∴a2=1+16−4=13，即a=√13，
∴由正弦定理得，a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R，∴2R=2√39
3
，
∴a+2b+c
sin A+2sin B+sin C =2R=2√39
3
．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查应用解三角形判定三角形的形状，基础题型．
解题关键是将已知的等式进行化简，这里用到了余弦定理，化简后得到a=b，从而得到答案．
【解答】
解：∵c=2acosB，
∴c=2a·a2+c2−b2
2ac
，
∴a2=b2，
∴a=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选D.
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．
由S△ABC=1
2absinC=a2+b2−c2
4
得sinC=a2+b2−c2
2ab
=cosC，由此能求出结果．
【解答】
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c2
4
，
∴S△ABC=1
2absinC=a2+b2−c2
4
，
∴sinC=a2+b2−c2
2ab
=cosC，
∵0<C<π，∴C=π
4
．
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理解三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正弦定理解三角形的计算，
利用正弦定理得sinB=2√2
3
，又a<b，可得三角形解的个数．
【解答】
解：因为a
sinA =b
sinB
，
所以sinB=b
a ·sinA=24
18
×sin45°=2√2
3
．
又因为a<b，所以B有两解，∴三角形有两解．
故选C．
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，属于基础题．
利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，得到A为直角，可得出三角形ABC为直角三角形．
【解答】
解：利用正弦定理，
化简已知的等式得：
即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴2cosAsinB=0，
∵0<B<π，
∴sinB≠0，
∴cosA=0，
∵0<A<π，
，
所以△ABC是直角三角形，
故选B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理和二倍角公式的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，
通过正弦定理、二倍角公式得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．
【解答】
解：∵△ABC中{a=√5
2
b
A=2B
，
∴根据正弦定理及二倍角公式得{sinA=√5
2 sinB
sinA=sin2B=2sinBcosB
，在△ABC中，，
∴cosB=√5
4
，
故选B．
7.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．利用定理逐项验证，即可求出结果．
【解答】解：∵(2a−b)cosC=c⋅cosB，
∴2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，
即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=1
2
，
∵C∈(0°,180°)，
∴C=60°，故A正确；
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosC，
即49=64+b2−8b，且b<4，
解得b=3，故C错误；
∴S△ABC=1
2absinC=1
2
×8×3×√3
2
=6√3，故B正确；
∵b2+c2−a2=49+9−64=−6<0，
∴角C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，故D错误．
故选AB．
8.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，属于基础题也是易错题．
由题意利用诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：对于A，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，故A正确；
对于B，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴cos(A+B)=−cosC，故B错；
对于C，因为A>B，所以a>b，
根据正弦定理可得sinA>sinB，C正确；
对于D，因为sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，
此三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错．
故选AC．
9.【答案】29
36
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6.再利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：sinA：sinB：sinC=3：4：6，
由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，
不妨设a=3，b=4，c=6．
由余弦定理可得：cosB=32+62−42
2×3×6=29
36
．
故答案为：29
36
．
10.【答案】120°
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理，属于基础题．
把已知等式整理后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】
解：因为(a−c)(a+c)=b(b+c)，即b2+c2−a2=−bc，
所以根据余弦定理得：
cosA=b2+c2−a2
2bc =−1
2
，
又A为三角形的内角，则A=120°．
故答案为120°．
11.【答案】30°
【解析】
【分析】
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．
利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc得到a=√7b，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】
解：利用正弦定理化简，
得到c=2√3b，
代入a2−b2=√3bc中，得：a2−b2=6b2，
即a=√7b．
由余弦定理得：cosA=b2+c2−a2
2bc =222
4√3b2
=√3
2
．
∵A为三角形的内角，
∴A=30°．
故答案为30°．
12.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2c2=(2b−a)b+(2a−b)a，即c2=b2+a2−ab，
则cos C=b2+a2−c2
2ab =1
2
，
因为0<C<π
2
，
所以C=π
3
．
(2)因为c=2√3，C=π
3
，
所以由正弦定理得a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=4，
则a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π
3
−A)，△ABC的周长
=4sinA+4sin (2π
3
−A)+2√3
=4√3sin (A+π
6
)+2√3，在锐角三角形ABC中，
{
0<A<
π
2
,
0<
2π
3
−A<
π
2
,
得π
6<A<π
2
，
所以π
3<A+π
6
<2π
3
,
所以√3
2<sin(A+π
6
)≤1，
所以6+2√3<4√3sin(A+π
6
)+2√3≤6√3，
所以△ABC的周长l∈(6+2√3,6√3]．
【解析】【试题解析】
本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理的应用及正弦型三角函数的性质，属于中档题．
(1)由条件，利用正弦定理，得到c2=b2+a2−ab，结合余弦定理，得到C=π
3
；
(2)利用正弦定理，得到a=4sin A,b=4sin B=4sin (2π
3
−A)，表示出三角形的周长，利用角的范围，根据正弦型三角函数的性质得到结果．
13.【答案】解：，
，
，，
又B为锐角，∴B=π
6
．
(2)∵b=2，C=5π
12
，
∴A=π−(π
6+5π
12
)=5π
12
，∴a=c，
由余弦定理，得，
∴a2=4(2+√3)，
．
【解析】本题主要考查了三角形面积公式、正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
(1)由知B=π
6
．
(2)由余弦定理，得求得a2=4(2+√3)，即可求得三角形的面积．
14.【答案】解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=1
2
bcsinA，
∴可得：bc=6，
∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，
∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，
∴cosA=b2+c2−a2
2bc =(b+c)2−2bc−a2
2bc
=a2−12
12
=1
3
，
(2)∵cosA=1
3
，
∴sinA=√1−cos2A=2√2
3
，
∴sin2A=2sinAcosA=4√2
9，cos2A=2cos2A−1=−7
9
，
∴cos(2A−π
3)=cos2Acosπ
3
+sin2Asinπ
3
=4√6−7
18
．
【解析】(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．
(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，
两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15.【答案】解：(1)由cosB
cosC =−b
2a+c
及正弦定理得，
即2sinAcosB+cosBsinC=−sinBcosC，
∴2sinAcosB=−(cosBsinC+sinBcosC)
=−sin(B+C)=−sinA，
∵A为三角形的内角，sinA≠0，
，
∵B为三角形的内角，
；
(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，
得b2=(a+c)2−2ac−2accosB，
∵b=√13，a+c=4，B=2
3
π，
∴13=16−2ac×(1−1
2
)，
∴ac=3，
．
【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由正弦定理得，cosB
cosC =−sinB
2sinA+sinC
，可得，结合B的范围即可求出结果；
(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，可得13=16−2ac×(1−1
2
)，解得ac=3，利用三角形面积公式即可求出答案．
16.【答案】解：，
∴由正弦定理可得：，
∵sinB≠0，
，即tanA=√3，
∵A∈(0,π)，
；
(2)∵a=√13，b=3，，
∴由余弦定理，
可得：，
，
∴解得：，(负值舍去)，
．
【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的综合运用，三角形面积公式运用，考查了学生对基本公式的运用能力和变形能力，属于基础题．
(1)已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出tanA的值，即可确定出角A的大小；
(2)由cosA，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
17.【答案】解：(1)∵bsinA=√3acosB，
由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，
又sinA≠0，
∴tanB=√3．
∵B是△ABC的内角，
∴B=π
．
3
(2)∵sinC=2sinA，
∴由正弦定理得c=2a，
∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，
，
得9=a2+4a2−2a⋅2acosπ
3
解得a=√3(负根舍去)，
∴c=2a=2√3．
【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由bsinA =√3acosB 可得sinBsinA =√3sinAcosB ，化简整理即可得出；
(2)由sinC =2sinA ，可得c =2a ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，代入计算即可得出．
18.【答案】解：AD =1，CD =2，AC =√7，
(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理， 得cos∠CAD =AC 2+AD 2−CD 2
2AC⋅AD
=
(√7)2
+12−222×√7×1
=
2√7
7
； (Ⅱ)设∠BAC =α，则α=∠BAD −∠CAD ，
，且都为三角形内角， ，
∴sinα=sin(∠BAD −∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD =
3√2114×2√77+√714×
√21
7
=
√3
2
， 在△ABC 中，由正弦定理，BC
sinα=AC
sin∠CBA ， 解得：BC =3． 即BC 的长为3．
【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题．
(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理直接求解可得cos∠CAD 的值．
(Ⅱ)由cos∠BAD =−√7
14，sin∠CBA =√21
6，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC 的长．
19.【答案】解：(1)∵cosBcosC−sinBsinC=cos(B+C)=−cosA=1
2
．
∴cosA=−1
2
，
∵A∈(0,π)，
∴A=2π
3
．
(2)∵a=2√3，A=2π
3
，b+c=4，
∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=16−bc，可得：bc=4，
∴△ABC的面积S=1
2bcsinA=1
2
×4×√3
2
=√3．
【解析】(1)由已知利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求cosA=−1
2
，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．
(2)由已知及余弦定理可求bc=4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．。