现代分离技术--2传质理论

J i = ∑ Lij d j
j =1
n
由温度梯度引起分子定向运动，从而导致浓度的变化， 由温度梯度引起分子定向运动，从而导致浓度的变化，形 成传质推动力，这一传质称为热扩散传质，其传质通量为： 成传质推动力，这一传质称为热扩散传质，其传质通量为：
d ln T d ln T J =− D = − cDAB k T cM A M B dz dz
2.3.3 稳态分子扩散 （1）气体中的等分子反向稳态扩散 ）气体中的等分子反向稳态扩散
DAB NA = ( pA1 − pA2 ) RTδ
通过停滞组分B的稳 （2）气体中组分 通过停滞组分 的稳态扩散 ）气体中组分A通过停滞组分 的稳态扩散
DAB P NA = ( pA1 − pA2 ) RTδpBm
∂ ( ρ u x ) ∂ ( ρ u y ) ∂ ( ρ u z ) ∂ρ + + =0 + ∂x ∂y ∂z ∂τ
或:
∂ρ + ∇⋅ (ρu) = 0 ∂τ
对不可压缩性流体： 对不可压缩性流体：
∇⋅u = 0
2.1.4 微分动量衡算和运动方程 对微元体作微分动量衡算， 方程： 对微元体作微分动量衡算，得Navier-Stokes方程： 方程
δ/x=4.64(Rex)-0.5 δ/x=0.376Rex-0.2 δ/x=0.1285Rex-1/7
流体在圆管内流动的入口段长度： 流体在圆管内流动的入口段长度： 层流 湍流 xl/d=0.0575Re=0.0575du0ρ/µ xl/d=1.4Re1/4 或 xl/d=50~60
2.1.5 微分热量衡算和能量方程 方法对微元应用热力学第一定律： 用Lagrange方法对微元应用热力学第一定律： 方法对微元应用热力学第一定律
2.1.6 传质微分方程 Fick第一定律 第一定律: 第一定律 传质微分方程： 传质微分方程：
dcA J A = − DAB dz
DρA ρA∇u + = DAB∇2 ρA + rA Dτ
无化学反应时得Fick第二定律: 第二定律: 无化学反应时得 第二定律 ∂cA ∂2cA ∂2cA ∂2cA = DAB( 2 + 2 + 2 ) ∂τ ∂x ∂y ∂z
热量扩散系数× 或：热量通量= -热量扩散系数×热量浓度梯度 热量通量 热量扩散系数 dρ A 费克定律为： 费克定律为： J A = − DAB
dy
质量扩散系数× 或：质量通量= -质量扩散系数×质量浓度梯度 质量通量 质量扩散系数
通常将“通量=扩散系数×浓度梯度” 通常将“通量=扩散系数×浓度梯度”形式的方程称为 唯象方程，也就是“过程速率=推动力/阻力”的形式。 唯象方程，也就是“过程速率=推动力/阻力”的形式。 涡流传递一般是仿照分子传递的现象方程处理： 涡流传递一般是仿照分子传递的现象方程处理：
2.1.2 总衡算方程
α
u
n
流过控制面的质量流量= 流过控制面的质量流量
∫∫ ρu cosαdA
A
dM d 质量累积速率： 质量累积速率： = dτ dτ
∫∫∫ ρdV
V
总质量衡算方程： 总质量衡算方程：
d ∫∫ ρu cosαdA + dτ A
∫∫∫ ρdV = 0
V
总能量衡算方程： 总能量衡算方程：
ρ 某组分在单位时间内通过单位面积的量称为通量， 某组分在单位时间内通过单位面积的量称为通量，
u= Σρ i ui = Σw i ui
Σci ui u = = Σxi ui c
M
它是一个矢量。质量通量的表示方法有： 它是一个矢量。质量通量的表示方法有： 相对于静止坐标： 相对于静止坐标： 相对于质量平均速度： 相对于质量平均速度： 相对于摩尔平均速度： 相对于摩尔平均速度： ni=ρiui ii=ρi (ui-u) ji=ρi (ui-uM)
Du 1 = Fg − ∇p +ν∇2 u ρ Dτ
Lagrange导数 ： 导数
D ∂ ∂ ∂ ∂ = + ux + uy + uz Dτ ∂τ ∂x ∂y ∂z
式中的第一项为对时间的偏导数，后三项称为随体导数。 式中的第一项为对时间的偏导数，后三项称为随体导数。
Navier-Stokes方程是流体力学中的一个基本方程， Navier-Stokes方程是流体力学中的一个基本方程， 方程是流体力学中的一个基本方程 只有在特殊条件下才能求分析解， 只有在特殊条件下才能求分析解，一般情况下只能 用数值法求解。 用数值法求解。 流体沿平壁面流动时的边界层厚度： 流体沿平壁面流动时的边界层厚度： 层流 湍流 Rex=5×105~107 × Rex>107
换算（以二元体系为例）： 换算（以二元体系为例）：
Fick定律 2.3.2 Fick定律 当混合物的密度和总浓度为常数（例如稀溶液） 当混合物的密度和总浓度为常数（例如稀溶液）时， 质量扩散通量为： 质量扩散通量为：
i A, z = − ρDAB dw A dρ = − DAB A dz dz
摩尔通量： 摩尔通量： JA,z = −cDAB dxA = −DAB dcA dz dz 相对于静止坐标的扩散通量： 相对于静止坐标的扩散通量：
这样原来含n个组分的混合物就成为含n1个组分的虚拟体系其组成为x以区别于原来的组成x总浓度也相应地从c于真实组分其在原混合物中的组成与在虚拟体系中的组成是相同的即有
2.1 总衡算方程和微分衡算方程 2.1.1 分离过程设计和优化的一般方法 两类开发方法：逐级经验放大法， 两类开发方法：逐级经验放大法，数学模型法 数学模型法常用的方程： 数学模型法常用的方程： 质量衡算、动量衡算、能量衡算、平衡方程、 质量衡算、动量衡算、能量衡算、平衡方程、速率方程 建立模型的方法： 建立模型的方法： 理论模型、量纲分析、相似类比、经验方程（黑匣子） 理论模型、量纲分析、相似类比、经验方程（黑匣子）
DU DQ DW = + Dτ Dτ Dτ
能量方程： 能量方程： ρ
DH Dp − = λ∇2t + q +φ Dτ Dτ
对不可压缩流体或固体， 对不可压缩流体或固体， 无内热源，忽略摩擦热： 无内热源，忽略摩擦热：
Dt = a∇2t Dτ
∂t ∂2t ∂2t ∂2t 对固体得Fourier第二定律： ∂τ = a(∂x2 + ∂y2 + ∂z2 ) 第二定律： 对固体得 第二定律
卡门（ 卡门（von Karman）类比式： ）类比式：
St =
f /2 f 5 1+ 5 { Pr − 1 + ln[1 + ( Pr − 1)]} 2 6
St * =
f /2 f 5 1+ 5 { Sc − 1 + ln[1 + ( Sc − 1)]} 2 6
柯尔邦（ 柯尔邦（Colburn）和契尔顿（Chilton）类比式： ）和契尔顿（ ）类比式：
摩尔通量的表示方法： 摩尔通量的表示方法： 相对于静止坐标： 相对于静止坐标： 相对于质量平均速度： 相对于质量平均速度： 相对于摩尔平均速度： 相对于摩尔平均速度： iA+iB=0 nA+nB=n=ρu nA=wA(nA+nB)+iA Ni=ciui Ii=ci (ui-u) Ji=ci (ui-uM) JA+JB=0 NA+NB=N=cuM NA=xA(NA+NB)+JA
jH = StPr
2/ 3
Nu f = = 1/ 3 RePr 2
jD = St * Sc
2/ 3
Sh f = = 1/ 3 2 ReSc
2.3 分子传递和Fick定律 分子传递和Fick定律 Fick 2.3.1 扩散速度和扩散通量 绝对速度=相对速度+ 绝对速度=相对速度+牵连速度 混合物的质量平均速度和摩尔平均速度分别为： 混合物的质量平均速度和摩尔平均速w A ( nA , z + nB , z ) − ρDAB dz
N A, z
dx A = x A ( N A , z + N B , z ) − cDAB dz
相对于静止坐标的扩散通量由两部分组成， 相对于静止坐标的扩散通量由两部分组成，第一项 是混合物整体流动所携带的对流通量， 是混合物整体流动所携带的对流通量，第二部分是 因浓度梯度所引起的扩散通量。 因浓度梯度所引起的扩散通量。 对微元控制体作微分质量衡算，得到Fick第二定律， 对微元控制体作微分质量衡算，得到Fick第二定律， Fick第二定律 常用的边界条件有： 常用的边界条件有： （1）第一类边界条件：给定表面上的浓度； 第一类边界条件：给定表面上的浓度； （2）第二类边界条件：给定表面上的扩散通量； 第二类边界条件：给定表面上的扩散通量； （3）第三类边界条件：给定表面处的对流传质系 第三类边界条件： 数和主体中的浓度。 数和主体中的浓度。
d( ρu x ) τ e = −ε dy
J Ae dρ A = −ε M dy
qe = −ε H
d( ρc p t ) dy
2.2.2 无因次传递准数 表示物性的无因次数群分别是普兰德（ 表示物性的无因次数群分别是普兰德（Prandtl） ） 数、施密特（Schmidt）数和刘易斯（Lewis）数： 施密特（ ）数和刘易斯（ ） Pr=ν/a=cpµ/λ Le=a/DAB=λ/ρcpDAB 这几个无因次数群实际上分别代表了两种传递的比。 这几个无因次数群实际上分别代表了两种传递的比。 当系统中动量和热量传递并存时，应用普兰德数 普兰德数Pr， 当系统中动量和热量传递并存时，应用普兰德数 ， 当动量和质量传递并存时，应用施密特数Sc， 当动量和质量传递并存时，应用施密特数 ，当热 量和质量传递并存时，应用刘易斯数Le。 量和质量传递并存时，应用刘易斯数 。当Pr或Sc 或 等于1时 表示其相应的两种传递是类比的， 或Le等于 时，表示其相应的两种传递是类比的，可 等于 以用一类传递过程的结果去预测另一类传递过程。 以用一类传递过程的结果去预测另一类传递过程。 Sc=ν/DAB=µ/ρDAB
2.2 传递类比 2.2.1 三种传递的相似性
d( ρu x ) 对分子传递，牛顿粘性定律为： 对分子传递，牛顿粘性定律为：τ = −ν dy
动量通量= 动量扩散系数×动量浓度梯度 或： 动量通量 - 动量扩散系数×动量浓度梯度 傅立叶定律为： 傅立叶定律为：
q = −a d( ρc p t ) dy
2.2.3 传递类比式 雷诺（ 雷诺（Renolds）类比式： ）类比式：
Nu Sh f St = = St * = = RePr ReSc 2
普兰德和泰勒（ 普兰德和泰勒（Taylor）类比式： ）类比式：
f /2 St = f 1+ 5 ( Pr − 1) 2
f /2 St * = f 1+ 5 ( Sc − 1) 2
d ∫∫ ρuE cosαdA + dτ A
∫∫∫ ρEdV = q − W
V
总动量衡算方程： 总动量衡算方程：
d ∫∫ u( ρu) cosαdA + dτ A
∫∫∫ ρ udV = Σ F
V
2.1.3 微分质量衡算和连续性方程
y dy z dz dx x
对微元体作质量衡算： 对微元体作质量衡算：
T A T A
T DA kT = 2 c M A M B DAB
ρ
ρ
由压力梯度引起的扩散称为压力扩散，其通量为： 由压力梯度引起的扩散称为压力扩散，其通量为：
J = − cDAB
p A
M A x A VA 1 dp ( − ) RT M A ρ dy
2.4 传质理论
膜理论（ 2.3.1 膜理论（Film theory ） 这一理论认为传质阻力集中于壁面附近的虚拟膜即 边界层中，而在边界层外则为主体流体，不存在传 界层中，而在边界层外则为主体流体， 质阻力。在边界层内的传质方式为分子扩散， 质阻力。在边界层内的传质方式为分子扩散，可以 用分子扩散的理论进行计算。而在两相界面上则达 用分子扩散的理论进行计算。 到平衡，没有传质阻力。 到平衡，没有传质阻力。 根据膜理论，传质系数与扩散系数的一次方成正比， 根据膜理论，传质系数与扩散系数的一次方成正比， 这一结论对于有固定相界面的设备大体正确， 这一结论对于有固定相界面的设备大体正确，而对 没有固定相界面的设备则不成立， 没有固定相界面的设备则不成立，一般情况是传质 系数正比于扩散系数的0.5～1.0次方。 系数正比于扩散系数的0.5～1.0次方。 0.5 次方
（3）液体中的等分子反向稳态扩散 ）液体中的等分子反向稳态扩散
NA =
DAB
δ
(cA1 − cA2 )
通过停滞组分B的稳 （4）液体中组分 通过停滞组分 的稳态扩散 ）液体中组分A通过停滞组分 的稳态扩散
DABC NA = (c A1 − c A2 ) δcBm
2.3.4 耦合分子扩散
浓度梯度、温度梯度、压力梯度、 浓度梯度、温度梯度、压力梯度、电位梯度等共存的扩散 称为耦合扩散，其通量为： 称为耦合扩散，其通量为：