高考数学 考点突破——函数概念：函数及其表示学案-人教版高三全册数学学案

函数及其表示
【考点梳理】
1．函数与映射的概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【考点突破】
考点一、求函数的定义域
【例1】函数f (x )＝1－2x
＋1
x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3，0]
B ．(－3，1]
C ．(－∞，－3)∪(－3，0]
D ．(－∞，－3)∪(－3，1]
[答案] A
[解析] 由题意，自变量x
应满足⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2x
≥0，x ＋3＞0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
x ＞－3，∴－3＜x ≤0，所
以函数f (x )的定义域为(－3，0]. 【类题通法】
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 【对点训练】
函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．{x |x >6} B ．{x |－3<x <6} C ．{x |x >－3} D ．{x |－3≤x <6}
[答案] D
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，
6－x >0，解得－3≤x <6，故函数的定义域为{x |－3≤x <6}.
【例2】若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）
x －1
的定义域为______. [答案] [0，1)
[解析] 因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩
⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，
x －1≠0，解
得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1). 【类题通法】
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域可由不等式
a ≤g (x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.
【对点训练】
已知函数f (2x
)的定义域为[－1，1]，则f (x )的定义域为________.
[答案] ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 [解析] ∵f (2x )的定义域为[－1，1]，∴12≤2x
≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.
考点二、求函数的解析式
【例3】(1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．
(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________． (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________．
[答案] (1) 12x 2－32x ＋2 (2) lg 2x －1(x >1) (3) 23x －x
3(x ≠0)
[解析] (1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，
f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝1，
a ＋
b ＝－1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
2，b ＝－3
2，
∴f (x )＝12x 2－3
2
x ＋2.
(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2
t －1，
∴f (t )＝lg
2t －1，即f (x )＝lg 2
x －1
(x ＞1)． (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＋2f (x )＝1x
.
联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，
解得f (x )＝23x －x
3(x ≠0)．
【类题通法】
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范
围；
(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外
一个等式，通过解方程组求出f (x )；
(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以
x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．
【对点训练】
1．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x －1
[答案] A
[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2
x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2
＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.
2．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. [答案] x 2－1(x ≥1)
[解析] (换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， 所以f (t )＝(t －1)2
＋2(t －1)＝t 2
－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
3．定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. [答案] 23lg(x ＋1)＋1
3
lg(1－x )(－1<x <1)
[解析] 当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3
lg(1－x )，x ∈(－1，1).
考点三、分段函数
【例4】(1) 设f (x )＝
⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2)若f (x )＝则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )
A ．－2
B ．－3
C ．9
D ．－9 [答案] (1) C (2) C
[解析] (1)由已知得0<a <1，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.
(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝9.
故选C.
【类题通法】
根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 【对点训练】
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1
－2，x ≤1，
－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－1
4
[答案] A
[解析] 当a ≤1时，f (a )＝2
a －1
－2＝－3，即2
a －1
＝－1，不成立，舍去；当a >1时，
f (a )＝－lo
g 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2
＝－7
4
.
2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ＞0，
2－x ，x ≤0，
则f (f (－4))＝________.
[答案] 4
[解析] ∵f (－4)＝24
＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.
【例5】(1)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1
B ．78
C ．34
D ．1
2
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是_____. [答案] (1) D (2) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞
[解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >3
2
时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝7
8
，不合题意舍去.
若52－b ≥1，即b ≤32，则5
22b -＝4，解得b ＝1
2
. (2)当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＋1，
原不等式化为2x ＋32>1，解得－1
4<x ≤0，
当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，
原不等式化为2x
＋x ＋12
>1，该式恒成立，
当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＝2x
＋1
22x -，
又x >12
时，2x
＋12
2
x -
>21
2＋20
＝1＋2>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞. 【类题通法】
已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 【对点训练】
1．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数a 为( )
A ．－54
B ．－13
C ．14
D ．5
2
[答案] D
[解析] 易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋a ＝32＋a .当32＋a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋a ＝3＋3a ，所以3＋3a ＝2，a ＝－13不满足32＋a <1，舍去.当32＋a ≥1时，即a ≥－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝
log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋a ＝2，解得a ＝52.
2．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x ，x <0，
－x 2
，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，2]
[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
f
a ＜0，
f 2
a ＋f a ≤2
或⎩
⎪⎨⎪⎧
f a
≥0，
－f 2
a ≤2，
解得f (a )≥－2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
a 2
＋a ≥－2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥0，
－a 2
≥－2，解得a ≤ 2.。