分离变量法-文档资料

B ( r )A r
A ,B 为待定系数
二.勒让德函数的基本特性
1 2 P 1 P cos P ( 3 cos 2 n 1(
P n 具有正交归一性
任一标量函数可以用

2 l 1 P (cos ) P (cos ) sin d k l kl 0 2
ds ds Q E E
s 1 1 1 s 2 2 2
2 ds R d
球壳带电Q，作分割后的闭合面有
0
1 2 E ds ds R d 1 1 1 1 R 2 2 E ds ds R d 2 2 2 R 1 2 2 2 R d R d Q 0 (4) R R s s 1 2
解: 分析题意，找出定解条件。 Q 根据题意，具有球对称性， 电势不依赖于极角 和方位角 只与半径r 有关。 ， R1 R2 R3
1.写方程
0 . 1
2 2 0 . 2
r R 3 R r R 1 2
(问题具有轴对称性) Q R1 R2 R3
2.写通解
n b n a R P (cos ) 1 n n n 1 R n 0
n s
|s 常数
1
§2.3
拉普拉斯方程，分离变量法
Laplace's equation,
method of separate variation
静电场的电势方程为非齐次的二阶微分方程

2
泊松方程
在一些实际问题中，电荷只存在一些边界区域，在电场所处 的空间区域内没有电荷存在.
1 a b R d 2 c R
3 2
（1-1） （2-1） Q (1) R1 R2 R3
S
1
n
S n
2 2
1
10
n a R 1 n
n 0

b n P (cos ) n n 1 R
n d n c R P (cos ) 2 n n n 1 R n 0
1R R 2 R R
3
2
(1)
(2) (3)
Q
R1
R2 R3
2
RR1 0
1 R0
1 2 2 2 R d R d Q 0 R R s s 1 2
由四个条件对通解定出问题的具体解
(4)
11
4.定解 此问题具有球对称性，所以势仅与r无关，即通式中只应取 n=0
( x ) d V ( P ) V 4 0 r

2
静电势/方程 边值关系
导体表面
适用于均 匀介质
适用于无自由 电荷分布 的均匀介质
介质分界面
0
2
1S 2S
2 1 2 1 nS nS
n nm
若系统的问题具有轴对称性，其绕z轴旋转状态不变,所以解与 φ无关 , 取m=0 (取此轴为极轴）
B n ( r , ) ( A r ) P (cos ) n n 1 n r n 0
n
这里 P ) 为勒让德函数， An 、 B n为待定系数 n(cos
对于球对称的问题，m=0 , n=0。且
三. 求解步骤： ①列方程。 ②根据问题的对称性写通解。
③写边界条件和边值关系。
④定出常数an ,bn。
7
四.举例说明定特解的方法
[例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。 同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1<R2)，使半径R1的导 体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。



n nm n nm

其通解为:
B nm m ( r , , ) ( A r ) P (cos )cos( m ) n 1 n r n ,m D nm m ( C r ) P (cos )cos( m ) n 1 n r n ,m
m 这里 P )为缔合勒让德（Legendre)函数 n (cos
B nm m ( r , , ) ( A r ) P (cos )cos( m ) n 1 n r n ,m
n nm
D nm m ( C r ) P (cos )cos( m ) n 1 n r n ,m
2 0 0
拉普拉斯方程
讨论的问题归结为： ①怎样求解（通解）Laplace's equation. ②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。
一.拉普拉斯方程的球坐标表示及其通解形式
2 0
球坐标系微分形式
2 1 1 1 2 2 ( r ) ( s i n ) 0 2 2 2 2 2 rr rr s i n r s i n
Pk
展开成级数形式
2 l 1 f f () P ( c o s) s i n d l l 0 2
f( ) fl P ) l (cos
l 0
类似于三维空间的任意矢量，都可表示成
A A ie i
A e i A i
母函数
n R P (cos ) R a n 1 n 1 n 0a n 2 2 a 2 Ra cos R a P (cos ) R a n n 1 n 0R
n c R 2 n
n 0

d n P (cos ) n n 1 R
3．写边界条件 球壳为等势体 内导体球接地
1R R 2 R R
3
2
(1) (2)
2
RR1
0
无穷远处电势为 （自然边界条件）
1 R0
(3) Q R1 R2 R3