导数工具在不等式证明中的应用

导数工具在不等式证明中的应用
【专题概述】
综观近几年的高考数学试题，压轴题常常以函数为背景，结合零点个数研究、不等式恒成立问题的转化、不等式证明来综合考查考生的逻辑推理能力、分析分题解决问题的能力及数学素养。

通过分析不等式的结构特征来构造函数，再借助导数工具来研究函数的单调性、最值是证明不等式的一种有效手段。

【典题剖析】
n(1，m)mn例一(2001年高考题)已知是正整数，且1??,，证明:,i,m,ni
m(1，n)(
nm(1，m)(1，n)分析:由于是正整数，要证明,，取对数后只要证明i,m,n
ln(1，m)ln(1，n),，即要证明,，由于上式两端具有同样的数学nln(1，
m)mln(1，n)mn
ln(1，x)mnmnxf(x),结构，仅有与的区别，把与都换成同一个变数，则得函数(此x时问题就转化为函数的单调性问题(于是我们得到以下证明( mnnm证明:?是正整数，且且1??,，?,?2( i,m,ni
x,ln(1，x)ln(1，x)x1，x,xxf(x),设函数(?2)，则，其中?2，?0,,1，
f(x),2x1，xx
ln(1，x),nmf(x),ln(1，x)?,1，从而f(x),0，因此函数是单调减函数，又,?2，ln3x
ln(1，m)ln(1，n)nm(1，m)(1，n),，即nln(1，m),mln(1，n)，故而有,( mn baaaee变式1:已知、为实数，且,,其中为自然对数的底，求证:,( abbb
baae证明一:?,,，?要证,，只要证,，设abbblnaalnb
ef(b),blna,alnb(,)( b
aa,,aef(b),lna,则，?,,，?,1，且,1，?f(b),0，?函数blnabb
f(b),blna,alnb在(e,，,)上是增函数，?f(b),f(a)== 0，即alna,alna
baf(b),0，亦即,0，?,，从而a,b( blna,alnbblnaalnb
lnalnblnxbaxg(x)证明二:要证a,b，只要证,，即证,，设=(,blnaalnbabx 1,lnx,exeeg(x)g(x)(e,，,))，则=,0 (?,，?,1)，?在上是减函数，又lnx2x lnalnbbaag(a)g(b),,，?,，即,，?,( abbab
点评:构造是一种重要而灵活的思维，应用好构造思想解题的关键是:一要明确构造的目的，二要弄清条件的本质特点，以便重新组合应用，从本题两种解法看，由于构造函数的不同第二种方法更简捷明了(
12xx,xln(1，x)变式2:当,0时，求证:不等式,成立( 2
分析:首先构造函数，然后由单调性证明,0( f(x)f(x)
2x112,证明:设=(x,0)，则==( f(x)ln(1，x)f(x),x，x,1，x1，x21，x
,xx当,时，,0，因此在内为增函数，于是当,0时，总有
f(x)f(x)(,1,，,)f(x),1
12x,= 0，?当,0时，不等式,成立( x,xf(0)ln(1，x)2
通过考察函数的单调性证明不等式是常用的一种方法，根据题目自身的特点，适当构造
函数关系，在建立函数关系式时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数(一般地，
,证明,，，可等价转化为证明,,0，利用f(x)g(x)x,(a,b)F(x),f(x)g(x)F(x) ,0，则函数在上是增函数，否则为减函数的方法加以证明( F(x)(a,b)
ax(1),例二(已知函数( fxx()ln,,x，1
a(?) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围; fx()(0,)，,
mnmn,，，m,(?) 设，，且，求证:( n,Rmn,lnln2mn, 1(1)(1)axax，,,'fx(),,解:(?) 2xx(1)，
22(1)2xax，,xax，,，(22)1,, ( 22xx(1)，xx(1)，因为fx()在(0,)，,上为单调增函数，
'fx()0,所以在(0,)，,上恒成立(
2xax，,，,(22)10(0,)，,即在上恒成立(
2xax，,，,(22)10x,，,(0,)当时，由，
1得( 22ax,,，x
1x,，,(0,)设，( gxx(),，x
11gxxx()22,，,,,( xx
1x,gx()所以当且仅当，即时，有最小值( 2x,1x
所以( 222a,,
所以( a,2
a(,2],,所以的取值范围是(
m (?)不妨设，则( ,1mn,,0n
mnmn,，要证,， lnln2mn,
mm,，11nn只需证， ,m2lnn
m2(1),mn即证( ln,mn，1n
m2(1),mn只需证( ln0,,mn，1n
2(1)x,设( hxx()ln,,x，1
m由(?)知hx()在(1,)，,上是单调增函数，又， ,1n m所以( hh()(1)0,,n
m2(1),mn即成立( ln0,,mn，1n
mnmn,，,所以( lnln2mn,
【题后感悟】
通过对需证不等式的条件、结论的分析，从结构特征出发去联想、发现应构造的函数，
利用所构造函数的单调性，去发现不等式关系。

通过换元赋值，可得到相应的数列不等式。

【走进高考】
b(2010湖北理科21)已知函数的图象在点(1,f(1))处的切线方程为
f(x),ax，，c(a,0)xy,x,1(
a(1)用表示出; b、c
,，a1,，,(2)若f(x),lnx在内恒成立，求的取值范围;
111n1，，，？，,ln(n，1)，(n,1)(3)证明:( 23n2(n，1)
【课后练习】
11(已知函数，，证明: fxxx()ln(1),，,1ln(1),,，,xxx,,1x，1
1x,证:函数的定义域为(,,1,, fx()(1,),，,fx()x，1x，1
,,当x?(,1，0)时，,0，当x?(0，，?)时，,0， fx()fx()
因此，当时，?，即?0? ( fx()f(0)ln(1)xx，,ln(1)xx，,x,,1
11x1,gx(),,令则,( gxx()ln(1)1,，，,22(1)x，xx，，1(1)x，1
,,)时，,0，当x?(0，，?)时，,0( ? 当x?(,1，0gx()gx()
11? 当时，gx()?g(0)，即 ?0，? ( ln(1)1x，,,ln(1)1x，，,x,,1x，1x，1 1综上可知，当时，有( 1ln(1),,，,xxx,,1x，1
a2(设f(x),ax,，g(x),lnx x
(1)若g(x，1),x，b对一切x,(,1,，,)恒成立，求的取值范围; b
a(2)若h(x),f(x),2g(x)在(0,，,)上是单调函数，求的取值范围;
2ln2ln3lnn2n,n,1，，？，,(3)证明:(其中n,N,n,2)( 2224(n，1)23n
13(已知函数，( fxax()ln,,a,Rx
ayfx,()(1,(1))fxy，,20(?)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值;
fx()(?)求函数的单调区间;
fxx(1)25,,,(?)当，且时，证明:( a,1x,2
fx()解:(?)函数的定义域为， xx|0,,,
a1,(…………………………………………………………2分 fx(),，2xx yfx,()(1,(1))fxy，,20又曲线在点处的切线与直线垂直，
,所以， fa(1)12,，,
即(………………………………………………………………………4分 a,1 ax，1,(?)由于( fx(),2x
,当时，对于，有在定义域上恒成立， x,，,(0,)fx()0,a,0
即在上是增函数( fx()(0,)，,
1,当时，由，得( fx()0,x,,,，,(0,)a,0a
1,当时，，单调递增; fx()0,fx()x,,(0,)a
1,当时，，单调递减(……………………………8分 fx()0,fx()x,,，,(,)a 1(?)当时， ( fxx(1)ln(1),,,,x,，,2，a,1，,x,1
1令( gxxx()ln(1)25,,,,，x,1
11(21)(2)xx,,'gx()2,，,,,(………………………………10分
22xxx,,,1(1)(1)
'gx()0,当时，，gx()在(2,)，,单调递减( x,2
又gx()(2,)，,g(2)0,，所以在恒为负( x,，,[2,)所以当时，gx()0,( 1即( ln(1)250xx,,,，,x,1
fxx(1)25,,,故当，且时，成立(………………………………13分 a,1x,2 2fxxbx()ln(1),，，4((2007年山东卷理)设函数,其中. b,0
1b,fx()(I)当时,判断函数在定义域上的单调性; 2
fx()(II)求函数的极值点;
111n(III)证明对任意的正整数,不等式都成立. ln(1)，,,23nnn
2fxxbx()ln(1),，，解:(I) 函数的定义域为. ,，,1,，，
2bxxb22，，fxx'()2,，,， xx，，11
11,,,,2,，,,,,1,gxxxb()22,，，令，则在上递增，在上递减，
gx(),,,,22,,,,
1111. 当时，， b,gxgb()(),,,,，gxb()0,,，,minmin2222
2'gxxxb()220,，，,？,fx()0,在上恒成立. ,，,1,，，
1即当时,函数在定义域上单调递增。

b,fx(),，,1,，，2
(II)分以下几种情形讨论:
1(1)由(I)知当时函数无极值点. b,fx()2
122()x，12(2)当时，， b,fx'(),2x，1
11,,,,''？,,,x1,x,,，,,fx()0,,fx()0,,时，时， ,,,,22,,,,
1时，函数fx()在上无极值点。

？,b,，,1,，，2
1'fx()0,(3)当b,时，解得两个不同解 2
,,,112b,，,112bx,x,，. 1222
,,,112b,，,112bx,,,1x,,,1当时，，， b,01222
？,,，,,,，,xx1,,1,,，，，，12
,，,112bx,fx()此时在上有唯一的极小值点. ,，,1,，，22
1当时， 0,,bxx,1,,,,，,，，122
''fx()fx()(,)xx在都大于0 ，在上小于0 ， ,，,1,,,xx，，，，1212 ,,,112b,，,112bx,x,fx()此时有一个极大值点和一个极小值点. 1222
,，,112bx,fx()综上可知，时，在上有唯一的极小值点; b,0,，,1,，，22
,,,112b,，,112b1x,x,时，有一个极大值点和一个极小值点;fx()0,,b12222 1时，函数在上无极值点 b,fx(),，,1,，，2
2fxxx()ln(1).,,，(III) 当时， b,,1
332hxxfxxxx()()ln(1),,,,,，，令
323(1)xx，,'hx(),则在上恒正， 0,，,，,x，1
在上单调递增，当时，恒有. ？hx()hxh()(0)0,,0,，,x,，,0,，，，,
3223xxx,，，,ln(1)0,ln(1)xxx，,,即当时，有， x,，,0,，，
1111n对任意正整数，取x,得 ln(1)，,,23nnnn
2()fxa，5((10嘉兴二模)已知a>o，f (x)=xln(x+a)，x>0，g(x)= x(I)求g(x)的单调区间
(?)当a=2时，?(O，+oo)，使f(x)=bx一1成立，求b的取值范围 00
3a1(?)正数x，y，z满足x+y+z=t，求证:f(x)+f(y)+f(z)?(ln2a+ ).t- . 22。