【大高考】2016三年模拟一年创新第二章 第四节 指数与指数函数 文

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习 第二章 第
四节 指数与指数函数 文（全国通用）
A 组 专项基础测试 三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·广东佛山调研)已知a ＝20.2
，b ＝0.40.2
，c ＝0.40.6
，则( ) A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
解析 由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2
＞0.40.6
，即b ＞c .因为a ＝20.2
＞1，b ＝0.40.2
＜1，所以a ＞b .综上a ＞b ＞c ，选A. 答案 A
2．(2015·常德市期末)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x
＋2x ＋2m (m 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
解析 ∵f (x )是奇函数，故f (0)＝20
＋m ＝0，故m ＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝－(21
＋2－1)＝－3，故选D. 答案 D
3．(2015·湖南长沙二模)设函数y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2
的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区
间为( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，4) 解析 构造函数f (x )＝x 3
－(12
)x －2.
∵f (0)＝－4＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∴x 0∈(1，2)．故选B. 答案 B
4．(2014·山东聊城模拟)化简416x 8y 4
(x ＜0，y ＜0)的结果为( ) A ．2x 2
y B ．2xy C ．4x 2
y
D ．－2x 2
y
解析
4
16x 8y 4＝424·（x 2）4y 4＝2x 2|y |＝－2x 2
y .故选D.
答案 D
5．(2014·湖南十二校联考)设函数f (x )＝a －|x |
(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )
A ．f (－2)＞f (－1)
B ．f (－1)＞f (－2)
C ．f (1)＞f (2)
D ．f (－2)＞f (2)
解析 ∵f (x )＝a
－|x |
(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2
＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－|x |＝
2|x |
，∴f (－2)＞f (－1)． 答案 A 二、解答题
6．(2013·广西柳州一模)
(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧f （x ＋2） （x <4），
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x （x ≥4），求f (1＋log 23)的值；
(2)已知g (x )＝ln[(m 2
－1)x 2
－(1－m )x ＋1]的定义域为R ，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为1＋log 23<1＋log 24＝3，
所以f (1＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 23＝18×2log 213＝18×13＝124.
(2)由题设得(m 2
－1)x 2
－(1－m )x ＋1>0(*)在x ∈R 时恒成立，若m 2
－1＝0⇒m ＝±1，当m ＝1时，(*)为1>0恒成立；当m ＝－1时，(*)为－2x ＋1>0不恒成立，∴m ＝1；
若m 2
－1≠0，则⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
－1>0，Δ＝[－（1－m ）]2－4（m 2
－1）<0 ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧m <－1或m >1，m <－5
3或m >1⇒m <－5
3或m >1. 综上，实数m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪[1，＋∞)． 一年创新演练
7．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax 2
＋1，x ≥0，
（a 2－1）e ax
，x ＜0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(1，2] B ．[－2，－1)∪[2，＋∞) C ．(1，2]
D ．[2，＋∞)
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－1＞0，1≥a 2－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2
－1＞0，1≤a 2－1，
解得1＜a ≤2或a ≤－2，故选A. 答案 A
8．已知函数f (x )＝24x
＋2，令g (n )＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1n ＋f (1)，则g (n )＝( ) A ．0
B.1
2
C.n
2
D.
n ＋1
2
解析 f (1－x )＝241－x ＋2＝4
x
4x ＋2，f (x )＋f (1－x )＝1，
故对∀x 1，x 2∈R ，x 1＋x 2＝1，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝1，
g (n )＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫n －1n ＋f (1)①
g (n )＝f (1)＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋f (0)②
①＋②：2g (n )＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝
n ＋1，
故g (n )＝n ＋1
2
.
答案 D
B 组 专项提升测试 三年模拟精选
一、选择题
9．(2015·洛阳市统考)若∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，均有9x
＜log a x (a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值
范围是( ) A ．[2－1
3
，1)
B ．(0，2－1
3
]
C ．(21
3
，3)
D ．(1，21
3
)
解析 由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a
12≥91
2，解得a ∈[2－1
3，1)． 答案 A 二、填空题
10．(2015·广东江门、佛山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x ＞1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析 若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需满足
⎩⎪⎨⎪
⎧a ＞1，1＋a
2
－2≤0，即1＜a ≤2. 答案 (1，2]
11．(2014·辽宁大连检测)对于给定的函数f (x )＝a x
－a －x
(x ∈R ，a ＞0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)． ①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0＜a ＜1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a ＞1时，函数f (|x |)的最大值是0. 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，
f (x )的图象关于原点对称，①对；
当a ＞1时，f (x )在R 上为增函数，当0＜a ＜1时，f (x )在R 上为减函数，②错；
y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③对；
当0＜a ＜1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数； ∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，④对；
当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (x )的最小值为0，⑤错，综上，真命题是①③④. 答案 ①③④ 三、解答题
12．(2013·山东聊城一模)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞0，e x ，x ≤0，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .
(1)k ＝1时，求F (x )的值域； (2)试讨论函数F (x )的单调性．
解 (1)k ＝1时，F (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x ，x ＞0，
e x ＋x ，x ≤0.
可以证明F (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增， 又f (0)＝1，f (1)＝2，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． (2)F (x )＝f (x )＋kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋kx ，x ＞0，
e x ＋kx ，x ≤0.
若k ＝0，则F (x )在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增； 若k ＞0，则F (x )在⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，
1k 上递减，在⎝
⎛⎭
⎪⎫
1k ，＋∞上递增，在(－∞，0)上递增；若k ＜0，
则F (x )在(0，＋∞)上递减．当x ≤0时，F ′(x )＝e x
＋k ，若F ′(x )＞0，即x ＞ln(－k )；若F ′(x )＜0，则x ＜ln(－k )．若k ≤－1，－k ≥1，则F (x )在(－∞，0]上递减，若－1＜k ＜0，0＜－k ＜1，则F (x )在(－∞，ln(－k ))上递减，在(ln(－k )，0)上递增．
一年创新演练
13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4
表示的区域为D .若指数函数y ＝a x
的图象上存在区域D 内的
点，则a 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．[2，4]
D ．[2，＋∞)
解析 依题意，不等式组表示的平面区域D 如图阴影部分所示，
其中点A 的坐标为(2，4)，要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 内的点，则点(2，a 2
)应在点(2，4)的上方或与其重合，故a 2
≥4，∴a ≥2或a ≤－2.又a ＞0且a ≠1，∴a ≥2，故选D. 答案 D
14．如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x
，g (x )＝x 2
，则h (3)的值等于________．
解析f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9，∵9＞8，∴h(3)＝9. 答案9。