八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题测试基础卷试卷

八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题测试基础卷试卷
一、选择题
1．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．222()-=-
B ．284⨯=
C ．2810+=
D ．222-=
2．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A ．4
B ．21x +
C ．12
D ．40.5
3．下列计算正确的是（ ）
A ．2×3=6
B ．2+3=5
C ．8=42
D ．4﹣2=2
4．若3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞3
B ．x ＞－3
C ．x≥－3
D ．x≤－3
5．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A ．（8﹣3cm 2
B ．（4﹣3cm 2
C ．（16﹣3cm 2
D ．（﹣3）cm 2
6．下列各式计算正确的是（ ） A ．6
232126()b a b a b a ---⋅= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy
C 23a a a =
D ．2x •3x 5=6x 6 7．下列运算中，正确的是( )
A 1333=3
B ．1273=-1
C 32122
D ．23363 8．化简1x -
） A x - B x C x -D x
9．下列计算正确的是（ ）
A ．333=1
B 23=5
C ．12=22
D ．322=52+10．下列计算正确的是（ ）
A ．235+=
B ．236⋅=
C ．2434÷=
D ．()233-=-
11．若a b >，则化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）
A ．a ab --
B ．-a ab
C ．a ab
D ．-a ab
12．下列各式计算正确的是（ ）
A ．()233=
B ．()255-=±
C ．523-=
D ．3223-=
二、填空题
13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．
15．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___.
16．已知：5+2
2可用含x 2=_____． 17．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得11)a b
的值也是整数，则称（a ，b ）是11)a b 的一个“理想数对”，如（1，4）使得112(a b
=3，所以（1，4）是11)a b 的一个“理想数对”．请写出11)a b 其他所有的“理想数对”： __________．
18．计算：652015·
652016＝________．
19．若a 、b 为实数，且b +4，则a+b ＝_____．
20．n 的最小值为___
三、解答题
21．先阅读材料，再回答问题：
因为)111=1
=；因为1=，所以
=1== （1
= ，= ； （2
⋅⋅⋅+的值．
【答案】（12）9
【分析】
（1）仿照例子，由1+=
的值；由
1+=1
的值；
（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案．
【详解】
解：（1）因为1-=
；
因为1=1
（2
⋅⋅⋅+
1=+⋅⋅⋅
1=
1019=-=．
【点睛】
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．
22．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个
含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)
； (2)
+；
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
=9；
（2）原式=2+=2+
（3）根据题意，
-=
=，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46.
【解析】
试题分析：
（1）把等式)2
a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案； （2）由（1）中结论可得：2231324a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩
，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；
（3）将()2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵2a n =+)，
∴223a m n +=++，
∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：2231324
a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩ ， ∵a b m n 、、、都为正整数，
∴12m n =⎧⎨=⎩ 或21
m n =⎧⎨=⎩ ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，
∴(2
131--；
（3）∵222()52a m m n +=+=++
∴225a m n =+，62mn = ，
又∵a m n 、、为正整数，
∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =，
即a 的值为：46或14.
24．计算：（1(041--；
（2⎛- ⎝
【答案】（1；（2）【解析】
试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.
试题解析：（1(041--
（2⎛- ⎝
-
0-
=
25．
【分析】
先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
26．先化简，再求值：a ，其中
【答案】2a-1，【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：1a =-∴原式=1a a --=21a -
当1a =-
∴原式=(211-
=1-【点睛】
此题主要考查化简求值，正确理解二次根式的性质是解题关键．
27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
1)1=，
1=，
1=，
1=⋯⋯
（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）．
（2
（3
【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.
【详解】
解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；
故答案为1=；
（2）原式111019==-=；
（3
-=
=，
< ∴
>．
【点睛】
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
28．先化简再求值：（a ﹣2
2ab b a -）÷22a b a
-，其中，b=1．
【答案】原式=
a b a b
-=+【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.
【详解】 原式=()()
222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a a
a b a b -+- =a b a b
-+，
当，b=1时，
原式 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
29．已知a ，b
（1）求a 2﹣b 2的值；
（2）求b a +a b
的值．
【答案】（1）；（2）10
【分析】
(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.
【详解】
(1)∵a b ，
∴a +b
a﹣b
＝
，
∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝
＝
；
(2)∵a
b
，
∴ab＝
)×
)＝3﹣2＝1，
则原式＝
22
b a
ab
+
＝
()22
a b ab
ab
+-
＝
(221
1
-⨯
＝10．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
30．
2020 (1)
-
【答案】1
【分析】
先计算乘方，再化简二次根式求解即可．
【详解】
2020
(1)
-
=1
=1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．
【详解】
A
2
=
，故原题计算错误；
B
=
，故原题计算正确；
C
=
D、2不能合并，故原题计算错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．
2．B
解析：B
【分析】
可以根据最简二次根式的定义进行判断．
【详解】
A，原根式不是最简二次根式；
B
=，原根式不是最简二次根式；
C
2
==
D、=4
故选B．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．
3．A
解析：A
【解析】
分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.
详解： , 此选项正确;
≠此选项错误;
, 此选项错误;
，此选项错误.故选A.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
4．C
解析：C
【解析】
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.
详解：根据题意得,x+3≥0,
解得x≥-3.
故选C.
点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案.
【详解】
∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，
4cm ＝cm ，
∴AB ＝4cm ，BC ＝（+4）cm ，
∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，
＝﹣12﹣16，
＝（﹣）cm 2，
故选：D .
【点睛】
此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.
6．D
解析：D
【分析】
依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．
【详解】 A. 23215
2
6()b a b a b a ---⋅=，故选项A 错误； B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；
C 错误；
D. 2x •3x 5=6x 6，正确．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
【详解】
A314
=+=，此项错误
B、2
3
==-，此项错误
C2428
===⨯=，此项错误
D、3
=，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟记二次根式的运算法则是解题关键．8．C
解析：C
【解析】
根据二次根式有意义的条件可知﹣1
x
＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
.
故选C．
9．C
解析：C
【解析】
分析：根据二次根式的四则混合运算法则，二次根式的性质与化简逐项进行分析解答即可．
详解：A．=，故本选项错误；
B．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；
C．正确；
D．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查二次根式的化简，二次根式的四则运算法则，解题的关键是正确根据相关法则逐项进行分析解答．
10．B
解析：B
【分析】
由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A A错误；
B=，故B正确；
C==C错误；
D3
=，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
11．D
解析：D
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；
【详解】
∴-a3b≥0
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0
a ab
=-，
故选：D．
【点睛】
此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．
12．A
解析：A
【分析】
根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．
【详解】
A、2
3
=此选项计算正确，符合题意；
B、5
=此选项计算错误，不符合题意；
C-不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
D、-=
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键．
二、填空题
13．a+3
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2
∵a ＞0+3.a =
a+3. 【点睛】
本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，
∴
∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|
＝
解析：-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，0c a b ＜＜＜
∴00.a c c b ＞，＜
|a ﹣c ﹣|﹣b |
＝||()||a a
c c b b =()a
a c
b
c b =a
a c
b
c b =-2a .
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有
||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号. 15．3
【分析】
先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2,
y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2,
解析：3
【分析】
先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可
得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为34<,
所以263<-<,
因为6x ,小数部分为y ,
所以x =2, y=4-,
所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 16．【解析】
∵=，
∴==
= -==﹣x3+x ，
故答案为：﹣x3+x. 解析：211166
x x -
+ 【解析】
∵
x =-
==1
23=1
46+
= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=3111
66-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116
x. 17．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）
【解析】
试题解析：当a =1，要使或12时，分
别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，
当a =412，要使+或12时，分别为3和2，
得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”，
当a =913，要使16时，=1，
得出（9，36）是的“理想数对”，
当a =1614，要使14时，=1，
得出（16，16）是的“理想数对”，
当a =3616，要使13时，=1，
得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．
故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 18．【解析】
原式=.
故答案为.
【解析】
原式=20152015=
19．5或3
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
由被开方数是非负数，得
，
解得a ＝1，或a ＝﹣
解析：5或3
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】
由被开方数是非负数，得
221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩
， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，
当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，
当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，
故答案为5或3．
【点睛】
本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
20．5
【分析】
因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【详解】
∵，且是整数，
∴是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为5．
【点睛】
主要考查了
解析：5
【分析】
，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【详解】
∴是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为5．
【点睛】
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无27．无28．无29．无30．无。