经济数学6-5
经济数学基础及参考答案
作业（一）（一）填空题3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 21. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（ ）答案：D ，可能是cA ．),1()1,(+∞⋃-∞B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.1lim=→xx x B.1l i m=+→xxxC.11sinlim 0=→xx x D.1si n l i m=∞→xx x3. 设y x =lg 2，则d y =（ ）．答案：B A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C A ．x 2 B ．xx sinC ．)1ln(x +D ．x cos(三)解答题问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；1lim ()lim (sin)x x f x x b b x--→→=+=，0sin lim ()lim 1x x x f x x++→→==，有极限存在，lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→===（2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
《经济数学》第2版习题答案完整版人大版
())1(32.150.1450),50(25.05015.0500,15.0.13100),100(541001000,.1230)3(3120)2(360)1.(111000,200908001001000800),800(90801008000,100.10,.939539.8.7.62,ln ,,.5sin ,,.4222)5.0(,2)0(,2)3(.3)111(1)(.2),1()1,)(2(]1,00,1-)[1.(1222122212≥+-=≤--==⎩⎨⎧>-+⨯≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤⋅==-=-=⎪⎩⎪⎨⎧>⨯+⨯≤<-+⨯≤≤=≤≤+==========-==++=+∞⋃--∞⋃-x x x y x xy y x x x x y x x a a x x a P Q Q Q R P Q Q Q Q Q Q R bq a q c c c x w w v v u u y x v v u e y f f f xx x f u 略偶函数（）1、1191.016万元.2、561.256元.3、约2884年.4、7.18%.5、631.934元.6、收益的现值是61.977万元，租赁设备的方案更好.7、美国、中国、日本的年均增长率分别为6.83%，15.85%，12.65%.8、（1）14；（2）0；（3）13；（4）12；（5）2.9、（1）0；（2）0；（3）0；（4）极限不存在.10、（1）-16；（2）32；（3）0；（4）13；(5) 2x；.11、（1）w；（2）14；（3）2；（4）8；(5)12e；(6) e；(7) 2e；(8)53e.12、（1）0；（2）1；（3）0；（4）1.习题三答案1(1) 26sec x x - (2) 2ln 22x x + (3) 2732x x +(4) 2661x x -+ (5) 2cot csc sec tan x x x x x -+ (6) 1[ln ln 5]xe x x ++ (7)22(1)x + (8) 1cos 1x - (9) 222sec (1tan )xx - (10) 32(1) 2614(1)x x - (2)(3) 210x e -- (4) 22sec tan x x (5) 222sin 2cos 2cos sin x x x x x -- (6) 2(cos35sin 3)xe x x --(7) 1ln ln ln x x x (8) 13cot x x + (9) 243(21)x x + (10) 2 3(1) (62)x dx + (2) 322[2(3)(2)3(3)(2)]x x x x dx +-++- (3) 2(ln 2ln )x x dx + (4) (sin 2cos sin )x x x x dx -+(5) 33224(1)x dx x -+ (6) 2sin ln(12)12x dx x+-+ 4(1) (100)2200C =元 (100)22C =元/吨；(2) (100)9.5C '=元 5 (10)125C =， (10)5C '= 6 ()C Q'=， 25R ()(1)Q Q '=+， 25()(1)L Q Q '=+ 7 5060050pp η=- 1(1)111η=<； (6)1η=； (8)2η= 8(1) 214x- (2) 214x e - (3) 2sin cos x x x -- (4) 2cos te t --9(1) yy x - (2) x y x ye y x e++--10(1) 3(1)2t + (2) 2211t t +-11(1) (,)23x f x y x y '=+；(,)32y f x y x y '=+ (2) (,)2sin 2x f x y x y '=；2(,)2cos2y f x y x y '=百件。
【经济数学基础】答案(完整版)
一、填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：02.设⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案1 3.曲线x y =+1在)1,1(的切线方程是. 答案:y=1/2X+3/24.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案:2π-二、单项选择题 1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） D ．xxsin 2. 下列极限计算正确的是（ B ） B.1lim0=+→xx x3. 设y x =l g 2，则d y =（ B ）． B ．1d x x ln104. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠5.若x x f =)1(，则=')(x f （ B ）. B ．21x-三、解答题（1）123lim 221-+-→x x x x 解：原式=)1)(1()2)(1(lim 1-+--→x x x x x =12lim 1+-→x x x =211121-=+-\（2）8665lim 222+-+-→x x x x x 解：原式=)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x =21423243lim2=--=--→x x x （3）x x x 11lim--→解：原式=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x =)11(11lim 0+---→x x x x =111lim 0+--→x x =21-（4）423532lim 22+++-∞→x x x x x 解：原式=32003002423532lim22=+++-=+++-∞→xx x x x（5）x x x 5sin 3sin lim 0→解：原式=53115355sin lim 33sin lim535355sin 33sin lim000=⨯=⨯=⨯→→→xx x xx x x x x x x（6）)2sin(4lim 22--→x x x 解：原式=414)2sin(2lim )2(lim )2sin()2)(2(lim222=⨯=--⨯+=--+→→→x x x x x x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ， 问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.（3）解：（1）因为)(x f 在0=x 处有极限存在，则有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=又 b b x x x f x x =+=--→→)1sin (lim )(lim 001sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x即 1=b所以当a 为实数、1=b时，)(x f 在0=x 处极限存在.（2）因为)(x f 在0=x 处连续，则有 )0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→又 a f =)0(，结合（1）可知1==b a 所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续.3．计算下列函数的导数或微分： （1）2222log 2-++=x x y x ，求y '解：2ln 12ln 22x x y x ++='（2）d cx b ax y ++=，求y '解：2)())(()()(d cx d cx b ax d cx b ax y +'++-+'+='=2)()()(d cx c b ax d cx a ++-+ =2)(d cx bcad +-（3）531-=x y ，求y '解：2312121)53(23)53()53(21])53[(------='---='-='x x x x y（4）xx x y e -=，求y '解：xx xxe e x xe x y --='-'='-212121)()(（5）bx y ax sin e =，求y d解：)(cos sin )()(sin sin )('-'='-'='bx bx e bx ax e bx e bx e y ax ax ax ax =bx be bx ae ax ax cos sin - dx bx be bx ae dx y dy ax ax )cos sin (-='=（6）x x y x+=1e ，求y d解：212112312312323)1()()(x x e x x e x e y xxx+-=+'='+'='-dx x xe dx y y x)23(d 2121+-='=（7）2ecos x x y --=，求y d解：222e 22sin )(e )(sin )e ()(cos 2xx x x xx x x x x y ---+-='--'-='-'='（8）nx x y n sin sin +=，求y '解：)(cos )(sin )(sin )(sin ])[(sin 1'+'='+'='-nx nx x x n nx x y n n nx n x x n n cos cos )(sin 1+=-（9）)1ln(2x x y ++=，求y '解：)))1((1(11)1(11212222'++++='++++='x xx x x xx y=222212122111111)2)1(211(11x x x x x x x x x x +=+++⨯++=⨯++++-（10）xxx y x212321cot-++=，求y '解：)2()()()2(61211sin'-'+'+'='-x x y x06121)1(sin 2ln 265231sin -+-'=--x x x x65231sin 6121)1)(cos 1(2ln 2--+-'=x xx x x652321sin6121cos 2ln 2--+-=x x x x x4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d（1）1322=+-+x xy y x ，求y d 解：方程两边同时对x 求导得： )1()3()()()(22'='+'-'+'x xy y x0322=+'--'+y x y y y x xy x y y ---='232dx xy x y dx y y ---='=232d（2）x e y x xy 4)sin(=++，求y '解：方程两边同时对x 求导得：4)()()cos(='⨯+'+⨯+xy e y x y x xy 4)()1()cos(='+⨯+'+⨯+y x y e y y x xyxyxyye y x xe y x y -+-=++')cos(4))(cos(xyxyxe y x ye y x y ++-+-=')cos()cos(45．求下列函数的二阶导数： （1）)1ln(2x y +=，求y ''解：22212)1(11x x x x y +='++='2222222)1(22)1()20(2)1(2)12(x x x x x x x x y +-=++-+='+=''（2）xx y -=1，求y ''及)1(y ''解：212321212121)()()1(-----='-'='-='x x x x xx y2325232521234143)21(21)23(21)2121(------+=-⨯--⨯-='--=''x x x x x x y =1（一）填空题 1.若c x x x f x++=⎰22d )(，则22ln 2)(+=x x f .2.⎰'x x d )sin (c x +sin . 3.若c x F x x f +=⎰)(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2c x F +--)1(212 4.设函数0d )1ln(d d e 12=+⎰x x x5.若t tx P xd 11)(02⎰+=，则211)(xx P +-='.（二）单项选择题1. 下列函数中，（D ）是x sin x 2的原函数． D ．-21cos x 22. 下列等式成立的是（ C ）． C ．)d(22ln 1d 2x xx = 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． C ．⎰x x x d 2sin4. 下列定积分中积分值为0的是（D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）． B ．⎰∞+12d 1x x(三)解答题1.计算下列不定积分（1）⎰x x x d e 3 （2）⎰+x x x d )1(2解：原式 c e x x +-==⎰)3(13ln 1d )e 3(x 解：原式⎰++=x xx x d 212cx x x x +++=++=⎰252321232121-52342)d x 2x (x（3）⎰+-x x x d 242 （4）⎰-x x d 211 解：原式c x x x x x x +-=+-+=⎰221d 2)2)(2(2解：原式⎰--=)2-d(121121x x c x +--=21ln 21（5）⎰+x x x d 22（6）⎰x xx d sin解：原式⎰++=)d(222122x x 解：原式 ⎰=x d x sin 2 c x ++=232)2(31c x +-=cos 2 （7）⎰x xx d 2sin（8）⎰+x x 1)d ln(解：原式⎰-=2cos2x xd 解：原式⎰+-+=x x x d 1x x )1ln( cxx xd x x x ++-=+-=⎰2sin 42cos 2)2(2cos 42cos 2c x x x x dx x x x +++-+=+--+=⎰)1ln()1ln()111()1ln(2.计算下列定积分（1）xx d 121⎰-- （2）x xxd e2121⎰解：原式⎰⎰-+-=-2111)1(d )1(dx x x x 解：原式)1d(211xe x⎰-=25212)1(21)1(21212112=+=-+--=-x x 21211ee ex -=-=（3）x xx d ln 113e 1⎰+ （4）x x x d 2cos 20⎰π解：原式)1d(ln ln 12123e 1++=⎰x x解：原式x x dsin22120⎰=π224ln 1231=-=+=e x 212cos 41)2(2sin 412sin 21202020-==-=⎰πππx x xd x x（5）x x x d ln e1⎰（6）x x x d )e 1(4⎰-+解：原式2e 1d ln 21x x ⎰=解：原式xe x dx -⎰⎰-=d 4040 )1(4141412121ln 21222112+=+-=-=⎰e e e xdx x x e e444404055144)(4------=+--=---=⎰e e e x d e xe x x （一）填空题1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则TAB 2-=________. 答案：72-3.设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是.答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X .答案：A B I 1)(--5.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1=-A .答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-31000210001（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ C ）． C ．对角矩阵是对称矩阵2. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵T ACB 有意义，则TC 为（ A ）矩阵． A ．42⨯3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ）． `C ．BA AB =4. 下列矩阵可逆的是（A ）． A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3003203215. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=444333222A 的秩是（ B ）． B ．1 三、解答题 1．计算（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01103512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5321（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000 （3）[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]0 2．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---142301112155 3．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110211321B 110111132，A ，求AB 。
经济数学课件完整版
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
《 经济数学》应用题及参考答案
《经济数学》应用题1．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为． 2．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =．3．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？4．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？5．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.6．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.7．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？8．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？9．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.10．a 已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？11．b 生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？12．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.13．c 设生产某产品的总成本函数为x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？参考答案1. 3.62. 45q – 0.25q 23．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.4．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 q p =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．5．解 C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）． 6．解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R-=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，且最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 7. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q 令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 8．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去）， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．9．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元） 又x c x x C x C x ⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x . x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.10．解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.11. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.12．解：因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=18322+-x x又平均成本函数为 xx x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='xx A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 13．解：(1) 因为边际成本为1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.。
2023-2024经济数学(2)复习题答案详解
增．
填空题
1．
1
1 4x
2
dx
（
） d arctan2x ．
解：d arctan2x 2 dx ，所以， 1 dx 1 d arctan2x ．
1 4x2
1 4x2
2
2．
x
f
ln x f ln x
dx
解：
x
f
ln x f ln x
dx
f
ln x f ln x
d
ln
x
．
f
1
ln
x
df
(ln
x)
2
解：f xy，x y x2 y 2 xy (x y)2 xy ．令 xy s ，x y t ，则 f s，t t 2 s ，
故， f x，y y 2 x ．
填空题
15．若 z 2x2 3xy y2 ，则 2 z
．
xy
解： z 4x 3y ， 2 z 3．
x
xf
xdx
5
0
xdf
x
xf
5 (x)
0
5
0
f
xdx
5
f
(5)
3
7
．
填空题
5．
1
x
1 x2
2dx
1
．
偶倍奇零
1
解： x
1 x2 2dx
1 x2 2x 1 x2 1 x2 dx
1
2x
1 x2
1 dx
1
1
1
1
1dx 2 ． 1
6．
x2
1 dx 2x 2
xd
ln
x
ln
经济数学不定积分习题答案
P81 习作题5.11.求下列不定积分()()22311+3=3x dx dx x dx x x C +=++⎰⎰⎰()121322231122=33ln 23x x dx xdx x dx dx x x x C x x ⎛⎫++=++=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()()()21c o s1113s i n 1c o s c o s s i n 22222x x dx dx x dx dx xdx x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰（4）解法1：()222cot csc 1csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰ 22222cos sin 1sin sin 1sin cot xdxx xdx x dx dxx x x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰P86习作题5.21. ()()()()()5561112+1=2+12+1=21212x dx x d x x C ++⎰⎰()()222112222x x x e dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰()111213x x x e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰()()()()22314ln ln ln ln 3dxx x d x x C x ==+⎰⎰()sin sin sin 5cos sin x x x e xdx e d x e C ==+⎰⎰()()3222236cos cos cos cos sin =1sin sin sin sin sin 1sin sin 3xdxx xdxxd xx d x d x xd xx x C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()1171ln 1111x x x x x x x e dx de d e e C e e e ==+=+++++⎰⎰⎰ ()()()21cos 6111118sin 31cos 6cos 66sin 622212212x xdx dx x dx dx xd x x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰P86—2—(1)：⎰则21x t =-，2dx tdt =原式=()2221t t dt -⎰ =()422t t dt -⎰ =()422t dt t dt -⎰⎰ =532253t t C -+ =()()5322221153x x C +-++ P86—2—(2)：23,,2t t x dx tdt +== 原式=1t dt t +⎰=111t dt t +-+⎰ =11dt dt t -+⎰⎰ =()111t d t t -++⎰ =()ln 1t t C -++)ln1C -+ P86—3—(1)：解法1:()()()()()22222223222ln 11ln 121ln 1ln 121ln 1221xxdx x dx x x x d x x x x dx x +=+⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()32221ln 1221x x x x x dx x ⎡⎤+-=+-⎢⎥+⎣⎦⎰ ()()()()222222211ln 1212111ln 12x x xdx d x x x x x C ⎡⎤=+-++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰解法2:()2ln 1x xdx +⎰ ()221ln 12x dx =+⎰ ()()221ln 112x d x =++⎰ ()()()()()()()()22222222211ln 11ln 1211ln 12211ln 12x x x d x x x xdx x x x C ⎡⎤=++-++⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰ P86—3—(2)：()()22222ln 1ln 21ln ln 21ln 211ln 22x xdxxdx x x x d x x x xdx x x C ==-=-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ P86—3—(3)：()22ln 1ln 11ln ln 11ln 1ln 1x dxx xd xx d x x x x dx x xx C x=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-+=-++⎰⎰⎰⎰ P86—3—(4)：()222222x xx x x x x e dxx de x e e dx x e xe dx------=-=--=-+⎰⎰⎰⎰()()2222222222x xx x x x x x x x e xde x e xe e dxx e xe e Cx x e C---------=--=---=---+=-+++⎰⎰ P86—3—(6)：()()()()()22222cos 11cos 221cos 221sin 241sin 2sin 2411sin 2sin 224211sin 2cos 242x xdx x x dx xdx x xdx x xd x x x x xdx x x x xd x x x x x C =+=+=+=+-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ P105—1—(1)：22222122x dx x xdx x dx x C x-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=-+⎰⎰⎰P105—1—(2)：523223x dxx C --==-+⎰⎰P105—1—(3)： ()()2cos 21cos 21cos 21sin 2x dxx dx dx xdx x x C +==+=++⎰⎰⎰⎰ P105—1—(4)：解法1:2cot xdx ⎰()2csc 1x dx =-⎰2csc cot xdx dxx x C=-=--+⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰22222cos sin 1sin sin 1sin cot x dx xx dx xdx dx xx x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰ P105—1—(5)：解法1：333x x x e dxe e dx e C---==+⎰⎰解法2：()3-333x x x e dxe d x e C--=-=+⎰⎰ P105—1—(6)：()()2222222211111111arctan dx x x x x dx x x dx dx x x x C x ++-=+=-+=--+⎰⎰⎰⎰P1053.(1) 解法1:t =，则323,3x t dx t dt =-=- 原式2233=32t dt tdt t C t -=-=-+⎰⎰ =233(3)2x C --+ 解法2:233(3)2x C =-=--+ (2)sin 21sin 2tan 2(2)cos 22cos 2x x xdx dx d x x x==⎰⎰⎰ 12=-1(cos 2)cos 2d x x ⎰1ln cos 22x C =-+ (3)222211()22x x x xe dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰ (5)ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰ 5.(1)法一：t =，则322,3x t dx t dt =-=原式424333=3(2)44t t dt t C x C ⋅=+=++⎰法二：433(2)(2)4x x C =+=++(2) 解法1:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()()()1611161111t dt dttt d t d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()2161ln12t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦))2316ln1C=++解法2:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()16111611t dt dtttdt dt d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰()216ln12t t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦)6ln1C=+(3)t=，则21,2x t dx tdt=-=原式21=2211t t ttdt dtt t--=++⎰⎰2=211t t dt dt t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭⎰⎰ ()()()()()()()()))2221111=2111111214ln 1214ln 111121*********t t dt dt t t t t dt dt dt t t t dt dt t t t t t t d t d t t CC t ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭+-+⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++-++-+=-⎢⎥+⎣⎦=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6（1）sin cos (cos cos )x xdx xd x x x xdx =-=--⎰⎰⎰sin cos x x x C =-+(2)233311ln ln (ln ln )33x xdx xdx x x x d x ==-⎰⎰⎰ 3331111(ln )(ln )333x x x dx x x C x =-⋅=-+⎰ （4）arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ 22211arctan arctan 121x x x dx x x dx x x=-=-++⎰⎰ 2211arctan (1)21x x d x x=-++⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++ （5t =，则2,2x t dx tdt ==原式=22t t e tdt tde =⎰⎰2()t t te e dt =-⎰()()2121t e t C C =-+=-+。
经济数学基础 微积分 第六章习题解答
2
2 1
8
(8) 2 (1 x)5 dx 0
1(1 x)5dx 2 (x 1)5dx
0
1
1(1 x)5d(1 x) 2 (x 1)5d(x 1)
0
1
(1 x)6 1 (x 1)6 2
6
6
0
1
1 3
16
(9)
1
dx
0 x9 x
2
5
1 ln 21 2 20
(4) 2 (ex x)dx 0 (ex 1 x2 ) 2 20 e2 3
b
(5) a xdx (a b)
解：b a 0, 原式
b
xdx
1 x2 b 1 (b2 a2 )
a
2 a2
b 0 a,
原式
f (2) e4 0 极小值点 x 2
5、利用牛—莱公式计算下列积分：
4
21
(1) 1 (1 x )
dx x
4
2
21 (1 x) d x
4
2
2 (1 x) d(1 x)
1
2 (1
4
x )3
3
1
2
3
(2) 2 1 x3 dx
1 x2 x3
1 16
9 0 ( x 9 x)dx
1 16
1 16
9 0 x 9d(x 9) 9 0 xdx
1
2
(x
3
9) 2
16
1
2
3
x2
16
93
2020国家开放大学《经济数学基础12》形考作业1-4参考答案
国家开放大学（电大）《经济数学12》形考作业1-4参考答案形考任务 11、函数的定义域为（）.函数的定义域为（）.函数的定义域为（）.2、下列函数在指定区间上单调增加的是（）.下列函数在指定区间上单调增加的是（）.下列函数在指定区间上单调减少的是（）.3、4、5、7、8、9、10、12、13、14、15、16、17、18、19、21、22、23、24、形考任务2 1、2、3、4、6、7、8、9、10、0 11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、形考任务3 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、形考任务4一、计算题（每题6分，共60分）1、解：y′=(e−x2)′+(cos2x)′=(−x2)′·e−x2-2sin2x=-2 xe−x2-2sin2x2、解：方程两边关于x求导：2 x+2 yy′- y- xy+3=0(2 y- x) y′= y-2 x-3dy=y−3−2x2 y−xdx3、解：原式=∫√2+x2d（12 x2）=12∫√2+x2d（2+x2）=13（2+x2）32+c4、解：原式=2∫xd(−cos x2)= −2xcos x2+2∫cos x2dx=-2x cos x2+4sin x2+c5、解：原式=∫e 1 x2 1d(-1x)=- e1x∣12=- e12+ e6、解：∫ln xd(12x2)e 1=12x2 lnx∣1e-∫12x2e1(lnx)′dx=12e2-14x2∣1e=14e2+147、解：I+A=013 105 1−20(I+A，I)= 0131051−20100010001→1050131−20010100001→1050130−2−50101000−11→105013001010100211→100010001−106−5−53−32−11(I+A)-1= −106−5−53−3 2−118、解：(A I)=12−332−42−10100010001→12−30−450−56100−310−201→12−301−10−56100−11−1−201→12−301−1001100−11−1−754→100010001−43−2−86−5−75−4A-1=−43−2−86−5−75−4X=B A-1= 1−30027−43−2−86−5−75−4=20−1513−6547−389、解：A=10−112−12−1−325−3→10010−12−1−111−1→1001002−1−1100所以，方程的一般解为x1=−2x3+x4x2=x3−x4(其中x1，x2是自由未知量)10、解：将方程组的增广矩阵化为阶梯型1−12−13−242−113λ→1−1010142−9−3−9λ−6→100100−5−1−9−30λ−3由此可知当λ≠3时，方程组无解。
经济数学考试卷答案(全)
1 1 dx d ( ) x2 x
19、设F ( x )=f ( x ), 则 f (cos x )sin xdx B ） （ A. f (cos x ) C C. F (cos x ) C ; ; B. F (cos x ) C D. f (cos x ) C ;
一、单项选择题
1、下列函数中（ A ）不是偶函数。 A. x 2 cos( x 1) C. x cos x
2
;
B. sin x 2 1 D. e
x2
;
;
奇偶函数四则运算性质： 奇×奇＝偶 奇×偶＝奇 奇＋奇＝奇 偶×偶＝偶 奇÷偶＝奇 偶＋偶＝偶
奇＋偶＝通常为非奇非偶
奇偶函数复合性质： 奇（奇）=奇； 偶（奇）=偶；奇（偶）=偶；偶（偶）=偶
e
px
0
p 0, 发散; dx p 0, 收敛.
p 0, 发散; 3. e dx p 0, 收敛.
0 px
1 1 18、设函数f ( x )的原函数为F ( x ), 则 2 f ( )dx A ） （ x x 1 A. F ( ) C ; B. F ( x ) C ; x 1 1 C. F ( ) C ; D. f ( ) C x x
Amn，则ATm n
;
C. BA可行
Ams Bsn ( AB)mn
23、设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是（ A ） A. ( AB )T BT AT C. ; ; B. ( A+B )2 A2 +2 AB B 2 D. 若A O , B O , 则AB O ;
经济数学微积分-6-8名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
dx
dx
又
d2L dx 2
6
0,
5
最大利润为：Lmax
(30 6x)dx
0
30
x
3
x
2
5 0
150 75 75.
二、已知某产品生产x个单位时总收益R旳变化率为
R( x) 200 x ( x 0) 100
试求(1)生产100个单位时旳总收益； (2)再继续生产100个单位，增长旳总收益。
即R' (x) = C '(x)，60-2x =30+4x x = 5
最大利润为： Lmax
5
R( x)dx
0
5
C( x)dx
0
5
0
R(
x)
C
(
x)dx
5(60 2x) (30 4 x)dx 上页
0
下页
5
(30
0
6 x )dx
30 x
3
x
2
5返回 0
150 75 75.
另解：成本函数为 C( x)
0.1x2
300
200
10000.
例5 在某地域消费者个人收入为x元时消费支出W旳
变化率为W'(x)= 15 .当个人收入由900增长到1600时， 消费支出会增长多x少？
解： W
1600
W ( x)dx
1600 15 dx
900
900 x
30
x
1600
900
300(元).
三、收益流旳现值和 经 济 数 学 将来值 货币资金将来旳价值，即一定量旳资金在将来
0
r
即收入的资本价值为 b (1 e rT ) a。
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第6章 矩阵与线性方程组
0
=
2 × 1 + 3 × (−1) + (−1) × 1 2 × (−1) + 3 × 1 + (−1) × 1
−2
2
;
0
1 × 1 + (−1) × 2 1 × 2 + (−1) × 3 1 × 1 + (−1) × (−1)
−1 −1
= (−1) × 1 + 1 × 2 (−1) × 2 + 1 × 3 (−1) × 1 + 1 × (−1) = 1
1. 矩阵的加法和减法
定义 3 设 =
×
, =
×
, 则矩阵的减法 − 规是为
− = + (−) = −
×
.
例如, 若
=
1
2 −3
−2 2 −1
, =
,
−6 −5 4
−3 1 −5
则
−=
1 − (−2)
(−6) − (−3)
1 × 矩阵
= 1 , 2 , ⋯ ,
称为行矩阵 (也称为 维行向量) ; × 1 矩阵
=
1
2
⋮
称为列矩阵 (也称为 维列向量). 行向量与列向量统称为向量.
第六章 矩阵与线性方程组
6.1 矩阵的概念与运算
二、几类特殊矩阵
5.上(下)三角形矩阵与对角形矩阵
对于 阶方阵,若主对角线一侧所有元素都为零, 则称为三角形矩阵. 三角形矩阵分为上三角形矩阵
1
0 0
0
0
1
第六章 矩阵与线性方程组
经济数学课件PPT课件
T(月)
1
2
3
4
5
6
Q(吨) 11 10 12 11 12 12
精品ppt
13
(3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y
之间的关系.
例3 需求函数与供给函 数. Q f,(P) Q (P)
如图.P表示商品价格,Q
Q
S
Q=φ(P) E
表示需求量,供给量,E点
Q=f(P) S
为需求和供给平衡点．
域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组
成的数集.
例4
求函数
y x1 x3
的定义域
设δ＞0，集合{x|0＜|x-x。|＜δ}称为以x。 为心的去心δ邻域 。
注意：集合和关系是不同的两个概念。
精品ppt
11
1.1 函 数
1.1.1 函数的概念
定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任
取一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作
精品ppt
2
2、集合的表示法
(1)列举法
把集合中所有元素列在一个大括
号内。
例 A={1,3,5,7,9}；
B={1,2,3,4，5，6，7,8，9，
10}。
(2)描述法
用集合中元素所满足的条件P(a)来
描述集合。
精品ppt
3
例 A={x|x=2n,n为整数}； B={x|3≤x≤4}； C={x|x²-5x+6=0}。 集合C也可以用列举法来
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
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导数，则 f ( x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充 要 条 件 是 f ( x ) 的 泰 勒 公 式 中 的 余 项 Rn ( x ) 当
n 时的极限为零，即
n
lim Rn ( x ) 0
例9 写出函数f(x)=ex的马克劳林公式. 解
f (0) 1, f (0) f (0) f ( n ) (0) 1
2 n x x x e ex 1 x x n1 ,(0 1) 2! n ! ( n+1)!
无穷级数
Taylor公式在近似计算中的应用
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
, Pn( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 )
a0 f ( x0 ), 1 a1 f ( x0 ), 2! a2 f ( x0 ), 3! a2 f ( x0 )
a0 f ( x0 ), a1 f ( x0 ), a2 f ( x0 ) / 2!, a2 f ( x0 ) / 3!
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n! ( n1) f ( ) n 1 R ( x ) ( x x ) , ξ介于x与x0之间 其中 n 0 ( n 1)! ——拉格朗日余项 (( x x0 )n ) 另一余项形式： ——皮亚诺余项
x3 x5 x7 y x 3! 5! 7!
o
x x y x 3! 5!
3 5
y sin x
x3 y x 3!
无穷级数
Taylor公式在近似计算中的应用
x 3 x 5 x 7 x 9 x 11 y x 3! 5! 7! 9! 11!
o
y sin x
经济数学——微积分
6.5
函数的幂级数展开
一、函数的泰勒公式、泰勒级数 二、将函数展开成泰勒级数 三、小结
无穷级数
一、泰勒公式与泰勒级数
对于一些较复杂的函数，为了研究的方便， 往往希望用一些简单的函数来近似表达，而在初 等函数中，最简单的函数就是多项式函数，因此 常用多项式来近似表达复杂的函数. 1、泰勒公式 设函数f(x)在含有x0的开区间具有直到(n+1) 阶导数，试找出一个关于(x-x0)的n次多项式来 近似表示f(x)要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n的 高阶无穷小，并给出 Pn ( x )-f ( x ) 的具体表达式.
称为 f ( x )在 x x0 处的泰勒级数 若当 x 在某范围内变化时，总有
n
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
lim Pn ( x ) f ( x )
无穷级数
则称 f ( x ) 在 x x0 处可以展开成上述泰勒级数
定理 设 f ( x )在点 x0 的某一邻域U ( x0 )内具有各阶
无穷级数
2 n P ( x ) a a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 设 n 0 1 0 2 0 n 0
Pn(x)与f(x)在x0的函数值及在x0点直到n阶导数均相等
Pn ( x0 ) f ( x0 ), Pn ( x0 ) f ( x0 ), Pn ( x0 ) f ( x0 ),
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
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无穷级数
Taylor公式的数学思想——局部逼近
无穷级数
2.f(x)在x0处的泰勒级数及展开的条件
若 f ( x ) 在x0 处的某邻域U ( x0 ) 内存在任意阶导数， 则当 x U ( x0 ) 时，级数
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 0
无穷级数
取 x0=0，就得到马克劳林公式：
f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x Rn ( x ) 2! n!
f ( n1) ( x ) n1 Rn ( x ) x ,(0 1) ( n 1)!
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 3 2! 3! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n ——泰勒多项式 n!
无穷级数
定理 （泰勒中值定理，泰勒公式） 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内 具有直到(n+1)阶导数，则当x∈(a,b)时，有
y xy sin xFra bibliotek无穷级数
Taylor公式在近似计算中的应用
y x
y sin x
x3 y x 3!
无穷级数
o
Taylor公式在近似计算中的应用
y x
y sin x
x3 y x 3!
无穷级数
o
x3 x5 y x 3! 5!
Taylor公式在近似计算中的应用
y x