经济数学基础--函数

4
一. 函数概念
函数是微积分学的关键概念，没有 函数，就没有微积分学。 【例如】 复利问题 at k0 1 2% , t 1, 2 , 3 ,
t
圆的面积
S πr 2 ,
5
1、量的概念
• 量的分类： 常量：始终取固定值，如π、3等； 变量：可以取不同值，如x、y等。 • 量的表示法：表示数的范围有多种方法，主要 有区间、不等式、集合和绝对值等 • 相对性 • 常量：数轴上定点 变量：数轴上动点，变量的变动区间
y x
则f (2) 2 2 ＝
f (2) 2. ＝
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注意 1．分段函数的定义域是其各段定义域的 并集；
【例8.1】 x e , 5 x 0 的定义域。 求函数 f ( x ) 2 x 1,0 x 2
【解】定义域D= 5,0 0,2
18
（1）单调性
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（2）奇偶性
奇函数
f ( x) f x ；
偶函数
f ( x) f x ；
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常见的奇函数有：x, x , x ,, sin x 常见的偶函数有：c, x 2 , x 4 ,, cos x
3 5
要注意：所有函数可以分为 奇函数、偶函数和非奇非偶函数。 通过图像可以看出： •奇函数的图像是关于原点对称的， •偶函数的图像是关于y轴对称的。
(a>0)
ln e 1
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(5)三角函数
35
36
37
8.复合函数
直观地说就是两个函数，一个函数里套一个 函数，就是复合。 不是任何两个函数都可以复合成为复 合函数，只有前者的值域被包含在后 者的定义域之中才可以
38
例
求f u x .
设f ( x) log 2 x, u x 3 1,
x 1 0 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 即：x 1 x 1 或 x 1
写成区间： , ) (1
公共部分
11
【练习2】
1 求函数 f ( x) 3 x 的定义域 . ln( x 3)
y x x
3 2
1 2 2 3
y x x
28
归纳幂函数的性质：
1
x x x
n m
nm
如：x x x
3 5
8
1 xn 2 n x
n
n m
1 3 如： 3 ＝x x
x nm 3 x x m x x
x 1 3 如： 5 ＝ 3 x x x
29
x 3
分解为基本初等函数的复合运算或 四则运算。
解：
1y e
u
uv
1 2
v x3
2
2y log2 u
u 1 x
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9. 分段函数
有些函数在它的定义域的不同部分,其表 达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类 函数称为分段函数. 例 8.1:绝对值函数
当x 0, x, y x x, 当x 0
x
解： 用u ( x)替换 f ( x)中的 x即可
f u x log 2 3 1 .
x


反过来看： y log 2 3 1
x


就是由 y log 2 u，u 3 1复合而成。
x
其中u称为中间变量.
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由此可见，简单函数经过复合运算， 会变成复杂函数。更重要的是，我们可以 研究：复杂函数是由哪些简单函数通过复 合运算得来的？即复合函数的分解。
即若： y n
则要求
( x) （n为偶数）
( x) 0.
y log a ( x)
(3) 对数函数中的真数表达式大于零。 即若： 则要求
( x) 0.
9
复合函数的定义域
10
【练习1】
求函数 f ( x) log 2 ( x 1) 1 x 1
2
的定义域 .
【解】 要使 f ( x ) 有意义，必须有
所以选择C.
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5. 判断两函数相同
函数的两个要素:
定义域 D( f ) 和对应法则f .
函数 f 的表达式为
y f ( x ) , x D( f )
判断两个函数相同的方法： 定义域和对应法则都相等．
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6. 函数的几何性质
单调性、奇偶性、有界性、周期性 重点：是奇偶性，这里主要讨论函 数奇偶性的判别
其中以10为底的对数函数称为常 用对数，
简记为y lg x ( log 10 x)
32
归纳对数函数的性质:（其中M,N>0）
1 log a MN log a M log a N
如： 2 3 log 2 5 log 2 15 log
M 2 log a log a M log a N N
3 如： 2 3 log 2 5 log 2 log 5
注意：对数一定要“同底数”才能相加减
33
3 log a M
k
k log a M
1 2
1 如： x ln x ln x ln 2 ln x 4 e x
5 loga 1 0
ln 1 0
log a a 1
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通过定义，我们可以证明得到下面的结论：
•奇＋奇＝奇， •偶＋偶＝偶， •奇×奇＝偶， •偶×偶＝偶， •奇×偶＝奇， •奇＋偶＝非奇非偶函数， • f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数。 提示：有点类似正数(偶)和负数(奇)的关系。
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【例 】 判断下列函数的奇偶性：
【解】 要使 f ( x ) 有意义，必须有
(因为ln 1 0)
x 3 0 ln( x 3) 0 3 x 0
x 3 x 3 1 x3
x 3 x 2 x3
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x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式 x3
x
－3 －2
3
得到定义域： D (3,2) (2,3]
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4. 计算函数的值
就是将自变量的值代入函数的表达式 中，计算出因变量(函数)的值来。
(1) f x0 表示函数 f x 在x x0处的值 ; ( 2) 自变量可以取一个数值 ，还可以取 一个表达式。
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关键是对函数记号 f x 的理解 :
例如：函数
y2
ln( x 3 1)
可以看作是： y 2u , u ln v, v x 3 1 三个函数复合而成。
y2
ln( x 1)
3
y 2 , u ln v, 复合 3
分解
u
v x 1
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例 将初等函数
1 y e 2 2y log 2 1 x
2 3,10, , 3, 3
6
2、函数的定义
函数y＝f (x) 是两个变量之间的关系， 其中x是自变量，y是因变量，f 是对应规则。 记作：y＝f (x) ，并称 y 是 x 的函数， 其中x是自变量，y是因变量，f是对应规则。 定 义 域

x0 x1
f
对应法则
y0 y1
y f x

5,2
２．分段函数在其整个定义域上是一个函 数，而不是几个函数.
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3．求分段函数的函数值，先要确定x取 值所对应的表达式，然后再代入求值。
2 x 1 【例 8.2】给定函数 f ( x) 2 x 1 试计算f f 0
1 x 0 0 x2
解： f (0) 2 0 1 1
2
4
m
x x
n n m
n m
如：y x x
5 3
3 5
5 x

x
nm
Hale Waihona Puke Baidu
如：y x

2 3
x
6
要学会将这些函数转化为幂函数的形式
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（三）指数函数
例如： y e
x
ya
x
0, a 1
exp(x)
e 2.71828
3 3
2
x0 x0
f (0) 0 1 1
x
1 2
y

x 32
x
指数函数的运算性质可依据幂函数 的运算性质(1)--(5)。
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（四）对数函数 y log a x
其中a为底数，x为真数
a 0, a 1
例如： y log 3 x 就称为以3为底的对数函数
其中以e为底的对数函数称为自 然对数，
简记为y ln x ( log e x)
2
2
即，相应的用 0, x , 1 x 去替换 f x
2
中的 x.
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【练习】
1 ). 设 f x , 则 f f x ( x 1 1 A B 2 C x D x 2 x x 1 1 x. 解： f f x f x 1 x
a a 1y 2
x x
;
2y x sin x.
x
解：
(1) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x
a
x
a 2

a
x
a f x 2
x
由定义,知f(x)是偶函数。
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(2) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x x sin x x sin x x sin x f x
f f (0) f 1 1 1 0
2
关键是要注意自变量所在的范围，不同的范 围用不同的公式计算函数值。
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x 1 【练习】给定函数 f ( x) x 3 试计算f 1, f 0, f 1. 【解】 f (1) 1 3 4
值 域
y0 f x0 y1 f x1

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3、求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。 确定函数定义域的三条基本要求：
1 (1) 分式的分母不能为零。即若 y ( x)
则要求 ( x) 0.
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(2) 偶次方根下的表达式非负。
（一）常数函数
yc
c为常数
定义域是 x R, 并且是偶函数。
它的图形是一条过点 0, c 且平行于 x轴的直线。
【例如】 函数y 1
它和函数 y sin x cos x是相同函数。
2 2
27
（二）幂函数
例如：
yx

为实数
y x, y x ,
3
1 2 y 2 x x
经 济 数 学 基 础
1
经济数学基础 教学内容
微分学 （3章）
一元函数积分学 （2章）
线性代数 （1章）
极限与连续及概率论初步
2
第一学期学习内容
第一章 第二章 第三章 第四章 极限与连续 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分
3
1.函数
教学内容： 函数的概念 函数的特性 基本初等函数（不含反三角函数）和 初等函数 建立函数关系式 极限的概念 数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的四则运算法 两个重要极限 函数的连续性和间断点 经济分析中的几个常见函数
例 3.1：给定函数f x x x 2, 试计算
2
f 0, f ( x ), f 1 x .
2
解： f (0) 0 0 2 2
2
f (x ) (x ) (x ) 2 x x 2
2 2 2 2 4 2
f (1 x) 1 x 1 x 2 x 3x
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（3）有界性
• 一般地，若函数在定义域内函数值不超过某 一界限，即 | f ( x) | M , 则称函数有界， 否则称为无界。
（4）周期性
•一般地，对于函数 f (x) ， f ( x T ) f ( x) ,(其中T为正数)，则称 f (x) 是周期函数， 其周期为T
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7 . 基本初等函数
由定义,知
y x sin是偶函数。 x
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【练习】 判断下列函数的奇偶性：
y x cosx.
【解】 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x x cos x x cos x f x 即：f ( x) f x
由定义,知 y x cos x 是奇函数。