奥赛天天练(填三阶幻方)

《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。

概念：如果一个n×n 矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到 n×n 的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方。

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题。

本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是n=3时的幻方。

三阶幻方的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

三阶幻方的构造方法：我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。

他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图)，
并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。

但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。

杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l 下9两数对调（如下图二），左7右3两数对调（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。

1 9 9
4 2 4 2 4 2 4 9 2
7 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7
8 6 8 6 8 6 8 1 6
9 1 1
图一图二图三图四
三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。

例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。

三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。

从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。

在1到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+ 1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。

因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。

仔细分析九宫格，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。

同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。

先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。

在教学时，可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；理解并掌握幻方中的两个公式：幻和＝中心数×3；幻和＝总数÷3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和，以便继续求出其它的数；让孩子初步了解幻方的构造原理，这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。

《奥赛天天练》第25讲，模仿训练，练习2
【题目】：
将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。

【解析】：
解法一：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3号为“6”，4、5、6号为“8”，7、8、9号为“10”。

按口诀：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

对号入座，如下图可以填好表格。

解法二：这个三阶幻方的幻和为：10+8+6=24；中心数为：24÷3=8。

如上图：首先可以填好中心数8。

因为幻和为24，任意行列如果有2个6，3个数的和必定小于24，所以任意行列不可能有2个6，根据这点，第二步可以确定3个6的位置，保证任意2个6不同行不同列，不在同一条对角线上。

第三步根据已填好的四个数，及幻和为24，可以完成余下的填空。

《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题1
【题目】：
将9个连续自然数填入3×3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。

【解析】：
由已知条件可知，这个幻方，幻和为60，中心数为：60÷3=20。

所以这9
个连续的自然数为：16、17、18、19、20、21、22、23、24。

把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。

如下图：
《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题2
【题目】：
下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A，B，C，D，E，F，G应各是多少？
【解析】：
由题意可知，幻和为27，中心数为：27÷3=9，所以C等于9。

填好中心数后，根据幻和，可以用蚕食的方法依次求出其它方格里的数：D=27-6-9=12；G= 27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。

答案图略。

《奥赛天天练》第25讲，拓展提高，习题1
【题目】：
在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它8个空格内填上适当的数，使得9个方格内是9个连续自然数。

【解析】：
由已知条件可知，这个幻方的中心数为12。

所以这9个连续的自然数为：8、9、10、11、12、13、14、15、16。

把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。

如下图：
《奥赛天天练》第25讲，拓展提高，习题2
【题目】：
在下面两个图形中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于30。

【解析】：
由题意可知，幻和为30，中心数为：30÷3=10。

如下图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。

因为中心数是10，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于10，一个小于10，所以两个方格图中剩下6个数中有3个数大于10且不大于15。

题目左图中，大于10的数可能是11、13、14、15，数字14如果和8同行列，14+8+8=30，8重复出现与题意不符；如果数字14与12同行列，14+12+4=3 0，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。

所以，左图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图一。

同理，题目右图中大于10的数可能是11、12、13、15，数字12如果和6
同行列，12+6+12=30，12重复出现与题意不符；如果数字12与14同行列，12+ 14+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。

所以，右图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图二。

3阶幻方的基本性质：
1、3阶幻方的性质之一：幻和值N=3×中心格数。

证明方法：两条对角线和中间行的3组数之和=3N，变式为：1、3列之和+3×中心格数=3N，即，2N+3×中心格数=3N，得：N=3×中心格数。

证明方法：1（或3）行和一条对角线这2组数之和=2、32、3阶幻方的性质之二：2×角格数=非相邻的2个边格之和。

列（或1、2列）2组数之和，消去相同项，即可。

等式左边是：1（或3）行和一条对角线这2组数，相交点为角格数；
等式右边是：不包括等式左边角格数的2列。

3、3阶幻方的性之三：以中心对称的2个数相加的和相等，这2个数的和值=2×中心格数。

（性质三其实是由性质一推理而来。

）
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