高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》真题汇编含解析

【高中数学】高中数学《不等式选讲》期末考知识点
一、14
1．“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
设:31p a -<<，1:,|||2x R x a x q ∃∈-++<，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】
设:31p a -<<，||:|1|2q x a x -++<，
当31a -<<时，|||1|1x a x a -++≥+总成立，而12a +<， 故|||1|2x a x -++<在R 上有解，故,|||1|2x R x a x ∃∈-++<， 所以“若p 则q ”为真命题.
若,|||1|2x R x a x ∃∈-++<，则()
min
21
x a x >-++，
由绝对值不等式可知11x a x a -++≥+，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立， 所以1x a x -++的最小值为1a +，
故21a >-即31a -<<，所以“若q 则p ”为真命题.
综上，“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则
p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不
充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值
【答案】C 【解析】
因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪
=--<<⎨⎪≤-⎩
，所以最小值是－4，最大值是4，选C.
点睛：分段函数的最值
由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】
注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，
下面用数学归纳法证明该式对于*
,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设(
)*
3,n k k k N
=≥∈时不等式成立，即23
k
k >,
则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()(
)2
2
2
*
31221k k k k k N
-+=--∈，
结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，
故当*
3,k k N ≥∈时，()()2
2
22310,31k k k k -+>>+.
综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．若函数()(0)1
a
f x ax a x =
+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.
A ．2
B ．6
C ．4
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】
当1x >，0a >时，()()111
=
+=+-+--a a f x ax a x a x x
≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当
()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.
故选：C 【点睛】
本题主要考查基本不等式：)0,0a b a
b +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝
对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.
5．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小
【答案】B 【解析】
选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.
6．已知集合{}
|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫
=-≥⎨⎬⎩⎭
，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0
x x x x x x -≥--
≥⇒≥⇒≠，解得
0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.
7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】D 【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…
；②a b a b -<+；③
2(0)b a
ab a b
+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1
log 10lg lg 2(1)lg x x x x x
+=
+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③
，a b =时等号成立.正确
④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】
本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.
9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。

【详解】
解：由绝对值不等式的性质可得，
||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=…，
即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。

【点睛】
本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。

10．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B
，则不等式
()2f x ≥的解集为（ ）
A ．[]0,3
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(][),03,-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式. 【详解】
不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤-
Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，
()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤
∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.
故选：D 【点睛】
本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.
11．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
12．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.求函数
()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）
代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】
解:解法一:（换元法）
设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.
令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2
||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）
当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .
当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A.
故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.
13．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r
，O 为坐标原点，则
OB 的最大值是（ ）
A 1- B
C 1 D
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得2
2
1x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放
. 【详解】
设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，
()
2
22251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+
=+
取等号条件：ay cx =；
令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.
故选：C. 【点睛】
本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.
14．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：
①2
2
2
13a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③222
1b c a a b c
++≥；≥.
则正确的结论个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式及柯西不等式计算可得； 【详解】
解：①：Q 2222
22222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩
………，222a b c ab bc ac ∴++++…
2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++…．
2221
3
a b c ∴++…，故①不正确．
②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++…，1
3
ab bc ca ∴++…，故②正确．
③：Q 2
22
222b a b a c b c b a c c c
⎧+⎪⎪
⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩………
，∴222
1b c a
a b c a b c ++++=… ∴222
1b c a a b c
++…，故③正确． ④
：由柯西不等式得2()(111)a b c ++++，
∴≤．则④错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．
15．不等式33log log x x x x +<+的解集（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()0,1
C ．()1,+∞
D ．()0,∞+
【答案】B 【解析】 【分析】
依题意知,0x >,32log 0x x <,原不等式等价于3log 0x <,解不等式即可. 【详解】
根据对数的意义可知,0x >, 因为33log log x x x x +<+,
两边同时平方可得,332log 2log x x x x <, 即32log 0x x <,因为0x >, 所以原不等式等价于3log 0x <,
所以原不等式的解集为}{
01x x <<, 故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法;熟练掌握对数函数的定义域和单调性是求解本题的关键;属于中档题.
16．已知()12?f x x x =-++,若关于x 的不等式()2
2f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成
立,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-1,3) B ．(1,1) C ．(1,3) D ．(-3,1)
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得()f x 的最小值，然后将原问题转化为求解二次不等式的问题即可. 【详解】
因为()()12123x x x x -++≥--+=,所以函数()f x 的最小值为3. 要使不等式()2
2f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成立,
只需223a a -<,即()()130a a +-<,解得13a -<<. 故a 的取值范围为(1,3)-. 本题选择A 选项. 【点睛】
对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .
17．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足()1
log 01n n a
n
a b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11
log 2
n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥ B ．n n T M >
C ．n n T M <
D ．n n T M ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出2462log ()13521
n a n
T n =⨯⨯⨯-L
，log n a M =
，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈即得解.
【详解】
因为2
n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.
所以2log 21
n a n
b n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521
n a
a a a a n n T n n =+++=⨯⨯⨯--L
111
log =log (21)log 22
n a n a a M a n +=+=
下面利用数学归纳法证明不等式*1321)
242n n N n -⨯⨯⋯⨯
∈ （1）当1n =时，左边1
2=
，右边=<右边，不等式成立，
（2）22414n n -<Q ，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即
212221
n n
n n -<+，
∴<
，
∴
< 假设当n k =时，原式成立，即1121
232k k -⨯⨯⋯⨯<，
那么当1n k =+时，即11212121
2322(1)2(1)k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++g ，
即1n k =+时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以
2462
13521
n
n ⨯⨯⨯>-L
因为0＜a ＜1，所以246
2log ()log 13521
a a n
n ⨯⨯⨯<-L 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}12
B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
19．已知函数()222,2log 1,2
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，设12116n x x x ≤<<<≤L ，若()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤L ，则M 的最小值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象，由已知分段函数求得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =，等价于12231max [|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-，再求出不等式右边的最大值即可得M 的最小值．
【详解】
由222,2()log 1,2
x x x f x x x ⎧-+=⎨->⎩…，得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =． 12116n x x x <<⋯<Q 剟，
12231|()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x -∴-+-+⋯+-…
12231max
[|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-12231|()()||()()||()()||(1)(2)||(2)(16)=|10||30|4
n n f x f x f x f x f x f x f f f f --+-+⋯+-≤-+--+-=
∴4M ≥．
则M 的最小值为4．
故选：B ．
【点睛】
本题考查分段函数及其应用，考查三角绝对值不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≤
B ．554a -≤≤
C ．574a -≤≤
D ．7a ≤
【答案】A
【解析】
【分析】 原不等式等价于210x x a ---<，设()2
1f x x x a =---，则由题意得()()
350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】 不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的
解集是区间()3,3-的子集，所以()()
350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.。