2018-2019学年湖北省襄州一中、曾都一中四校高二(上)期中数学试卷(理科)(附答案详解)

2018-2019学年湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高二（上）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1.两个整数153和238的最大公约数是()
A. 153
B. 119
C. 34
D. 17
2.已知直线l1：ax+3y+1=0和l2：x+ay+2=0互相垂直，且l2与圆：x2+y2=b
相切，则b的值为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个
体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是()
78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481．
A. 08
B. 07
C. 02
D. 01
4.若样本数据x1，x2，…，x10均值为4，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的均
值为()
A. 7
B. 8
C. 4
D. 16
5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为()
A. 3
B. 1
C. 0
D. −1
6.已知点(1,0)和(√3,0)在直线l：ax+y−1=0的两侧，则直线l的倾斜角的范围为
()
A. (π6,π
4) B. (3π4,5π
6) C. (0,3π
4)∪(π6,π
4)
D. (−π4,π
6)
7. 已知圆方程为(x −2)2+y 2=8，直线l 过P(3,2)，被圆截得的线段长为2√7，则直
线l 方程为( )
A. 3x −4y −1=0
B. x =3
C. x =3或3x −4y −1=0
D. x =3或3x +4y −1=0
8. 在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标
准差为1.1，；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有( )
①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队技术水平更稳定；③一队有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9. 直线x +y +2=0分别与x 轴，
y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆x 2+y 2−4x +2=0上，则△ABP 面积的最大值是( )
A. 242
B. 6
C. 2
D. 342
10. 从区间[0,2]随机抽取4n 个数x 1，x 2，x 3，…，x 2n ，y 1，y 2，y 3，…，y 2n 构成2n 个
数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x 2n ,y 2n )，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. m
2n
B.
2m
n C. m
4n
D. m
16n
11. 圆(x −1)2+(y +1)2=r 2上有且仅有四个点到直线4x +3y −11=0的距离等于
32
，则半径r 的取值范围为( )
A. r >7
2 B. r <7
2
C. r >1
2
D. 12<r <7
2
12. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则
称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线l 1：3x +ay +6=0，l 2：(a +1)x +2y +6=0与圆C ：x 2+y 2−2y =b 2−1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )
A. (0,2√2)∪(√2
2,2√2) B. (0,2√2)
C. (0,√22
) D. (√2
2
,2√2)∪(2√2,+∞)
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 过点P(3,1)，并且在两轴上的截距相等的直线方程是______．
14. 在[0,10]上随机的取一个数m ，
则事件“圆x 2+y 2=9与圆(x −5)2+y 2=m 2相交”发生的概率为______．
15. 已知{1≤x +y ≤3
−1≤x −y ≤1，则3x +2y 的取值范围为______．
16. 过点P(−5,0)作直线(1+2m)x −(m +1)y −4m −3=0(m ∈R)的垂线，垂足为M ，
已知点N(3,11)，则|MN|的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17. 下表提供了某厂生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤
)的几组对照数据：
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (2)根据(1)中求出的线性回归方程，预测生产20吨该产品的生产能耗是多少吨标准煤？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑x i n
i=1y i −nxy ∑x i 2
n i=1−nx
2，a ̂=y −b ̂x ．
18. 已知直线l 过点P(−1,1)．
(1)当直线l 与点B(−5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l 的方程； (2)当直线l 过点O(1,2)时，求直线l 关于直线y =x +1对称的直线方程．
19.设关于x的一元二次方程x2−ax+b2=0．
(1)若a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,10]上任取的一个数，b是从区间[0,4]上任取的一个数，求上述方
程有实根的概率．
20.已知圆C1：x2+(y+2)2=4，点A为圆C1上任意一点，点B(4,0)，线段ab的中点
为M，点M的轨迹为曲线C2．
(1)求点M的轨迹C2的方程；
(2)直线l：mx−y+m−1=0(m∈R)与圆C1相交于C，D两点，求CD的最小值及
此时直线L的方程；
(3)求曲线q=C2的公共弦长．
21.2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随
机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表．
组号分组频数频率
1[0,5)50.05
2[5,10)a0.35
3[10,15)30b
[15,20)200.20
5[20,25)100.10合计1001
(Ⅰ)求a，b的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
(Ⅱ)假设每组数据组间是平均分布的，试估计该组数据的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅲ)现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．
22.圆C：x2−(1+a)x+y2−ay+a=0．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧).过点M任作一条与x
轴不重合的直线与圆O：x2+y2=9相交于两点A，B.是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：238=153×1+85，153=85×1+68，85=68×1+17，68=17×4，∴两个数1053和238的最大公约数是17．
故选：D．
用两个数中较大的数除以较小的得到商和余数，依次相除，直到余数为0，即可得到两数的最大公约数．
本题考查了辗转相除法的应用，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵直线l1：ax+3y+1=0和l2：x+ay+2=0互相垂直，
∴a+3a=0，
解得a=0；
∴直线l2：x+2=0；
又l2与圆x2+y2=b相切，
∴圆心(0,0)到直线l2的距离是d=r，
即2=√b，
∴b=4．
故选：D．
由直线l1和l2互相垂直，求出a的值，再由直线l2与圆相切，圆心到直线l2的距离d=r，求出b的值．
本题考查了两条直线互相垂直以及直线与圆相切的应用问题，解题时应根据垂直求出a 的值，再由相切求出b的值；是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，.其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，
则第5个个体的编号为01．
故选：D．
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】A
【解析】解：∵样本数据x1，x2，…，x10均值为4，
数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的均值为：
2×4−1=7．
故选：A．
利用均值的性质直接求解．
本题考查均值的运算，考查均值的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C
【解析】解：经过第一次循环得到s=3，i=2，不满足i>4，
执行第二次循环得到s=4，i=3，不满足i>4，
执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足i>4，
经过第四次循环得到s=0，i=5，满足判断框的条件
执行“是”输出S=0．
故选：C．
结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出s结束循环，得到所求．
本题主要考查了循环结构，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为点(1,0)和(√3,0)在直钱l：ax+y−1=0的两侧，
所以(a+0−1)(√3a+0−1)<0，
，
解得−1<−a<−√3
3
设直线l倾斜角为θ，
所以tanθ=−a，所以−1<tanθ<−√3
3
，
所以3π
4<θ<5π
6
，
故选：B．
因为点(1,0)和(√3,0)在直代l：ax+y−1=0的两侧，那么把这两个点代入ax+y−1后那它们的符号相反，即是乘积小于0，求出a的范围，设出倾斜角θ，所以tanθ=−a，由正切函数的图像与性质求出倾斜角的范围即可．
本题主要考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，属于中档题，7.【答案】C
【解析】解：由圆(x−2)2+y2=8，可得圆心C(2,0)，半径r=2√2，
设圆心C到直线l的距离为d，
则2√r2−d2=2√7，解得d=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−3)，即kx−y+2−3k=0，
所以
√k2+1=1，解得k=3
4
，
此时直线l的方程为3x−4y−1=0．
综上所述，直线l的方程为x=3或3x−4y−1=0．
故选：C．
先求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在两种情况，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查了圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用以及待定系数法求解直线方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：在①中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故①正确；
在②中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故②正确；
在③中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；
在④中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴二队经常失球，故④错误．
故选：C．
一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数少，说明一队的技术比二队的防守技术好；一队全年的比赛失球个数的标准差较大，说明一队的表现时好时坏，起伏较大；二队的平均失球数多，全年比赛失球个数的标准差很小，说明二队的表现较稳定，经常失球．
本题主要考查对平均数和标准差的概念的理解．平均数反映了一组数据的平均水平，而方差则反映了一组数据的波动性的大小．
9.【答案】B
【解析】解：由x+y+2=0，取y=0，得x=−2，取x=0，得y=−2.∴A(−2,0)，B(0,−2)，
又点P在圆x2+y2−4x+2=0上，即在圆(x−2)2+y2=2上，圆心C(2,0)，半径r=√2，
=2√2，
圆心C(2,0)到直线x+y+2=0的距离d=|2+0+2|
√2
则圆上的点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为d+r=2√2+√2=3√2，
又|AB|=2√2，
×2√2×3√2=6．
∴△ABP面积的最大值为1
2
故选：B．
求出A、B的坐标，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点P到直线距离的最大值，求出|AB|，代入三角形面积公式求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
10.【答案】B
【解析】解：由题意，从区间[0,2]上随机抽取的2n个数
对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x2n,y2n)，
落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区
域为半径为2的圆内，
满足条件的区域面积为1
4π⋅22=π， 由几何概型可知，π
4=m 2n ， 则π=
2m n
．
故选：B ．
根据随机模拟试验的性质以及几何概型的概率公式，列式求解即可．
本题考查了数学文化以及几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】解：圆心(1,−1)到直线4x +3y −11=0的距离等于
√16+9
=2，
因为圆(x −1)2+(y +1)2=r 2上有且仅有四个点到直线4x +3y −11=0的距离等于
32
，
所以|r −2|>3
2，得r >7
2， 故选：A ．
先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|r −2|>3
2，解此不等式求得半径r 的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：圆C ：x 2+y 2−2y =b 2−1(b >0)的标准方程为x 2+(y −1)2=b 2， 由两直线平行可得3×2=a(a +1)解得a =2或a =−3，当a =2时直线l 1与l 2重合，舍去，当a =−3时，l 1：x −y +2=0，l 2：x −y −3=0， 由l 1：x −y +2=0与圆相切，得b =√2=
√2
2
， 由l 2：x −y −3=0与圆相切，得b =
√2
=2√2，
当圆与直线l 1，l 2都相离时：{b <√
2=√2
2
b <√
2=2√2
，则b <√22
，
所以当圆与直线l 1，l 2“平行相交”时b 满足：{b ≥√2
2
b ≠√2
2
,b ≠2√2
，
所以实数b 的取值范围为(√2
2,2√2)⋃(2√2,+∞)．
故选：D ．
先写出圆的标准方程，再根据两直线平行求出a 的值，从而求出直线方程，再根据“平行相交”的定义进行求解即可．
本题主要考查直线与直线，直线与圆的位置关系，属于中等题．
13.【答案】x −3y =0或x +y −4=0
【解析】解：当横截距为0时，纵截距为0， 此时直线过P(3,1)，(0,0)，
直线方程为y
x =1
3，整理得x −3y =0， 当横截距为a(a ≠0)时，纵截距为a ， 直线方程为x
a +y a =1，
把P(3,1)代入，得3
a +1
a =1，解得a =4， ∴直线方程为x
4+y 4=1，即x +y −4=0． ∴所求直线方程为x −3y =0或x +y −4=0． 故答案为：x −3y =0或x +y −4=0．
当横截距为0时，纵截距为0，此时直线过P(3,1)，(0,0)，直线方程为y
x =1
3；当横截距为a(a ≠0)时，纵截距为a ，直线方程为x
a +y
a =1，由此能求出所求直线方程． 本题考查直线方程的求法，考查两点式方程、截距式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】3
5
【解析】解：圆x 2+y 2=9与圆(x −5)2+y 2=m 2相交， 则|m −3|<√(5−0)2+(0−0)2<|m +3|， 解得2<m <8，
所以所求概率为8−210−0=3
5． 故答案为：3
5．
利用圆与圆相交，列出不等式求出m 的值，然后由几何概型的概率公式求解即可． 本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】[2,8]
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，B(0,1)，联立方程组解得A(2,1)， 令z =3x +2y ，化为y =−3
2x +z
2，
由图可知，当直线y =−3
2x +z 2过B 时，z 有最小值为2，过A 时，z 有最大值为8． ∴3x +2y 的取值范围为[2,8]． 故答案为：[2,8]．
由约束条件作出可行域，令z =3x +2y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
16.【答案】[13−√10,13+√10]
【解析】解：根据题意，直线(1+2m)x −(m +1)y −4m −3=0，变形可得m(2x −y −4)+(x −y −3)=0，
令{2x −y −4=0x −y −3=0
，解得{x =1
y =−2，所以直线过定点Q(1,−2)，
因为M 为垂足，所以△PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，
由点P(−5,0)可知以PQ 为直径的圆圆心为C(−2,−1)，半径为r =√(−5−1)2+(0+2)2
2
=√10，
则|MN|的取值范围|CN|−r ≤|MN|≤|CN|+r ，又因为|CN|=√(3+2)2+(11+1)2=13，
所以|MN|的取值范围是[13−√10,13+√10]．
故答案为：[13−√10,13+√10]．
先将直线化为m(2x−y−4)+(x−y−3)=0，可知直线过定点Q(1,−2)，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据表中数据，计算
x=1
5
×(2+4+6+8+10)=6，
y=1
5
×(4+5+7+9+10)=7，
∴b̂=∑x i
5
i=1
y i−5·xy ∑x i2
5
i=1
−5·x2
=2×4+4×5+6×7+8×9+10×10−5×6×7 22+42+62+82+102−5×62
=0.8，
â=y−b̂x=7−0.8×6=2.2；
∴y关于x的线性回归方程为ŷ=0.8x+2.2；
(2)根据(1)中线性回归方程，计算
当x=20时，ŷ=0.8×20+2.2=18.2；
∴预测生产20吨该产品的生产能耗是18.2吨标准煤．
【解析】本题考查了线性回归方程的计算问题，是基础题．
(1)根据表中数据计算x、y，求出回归系数，写出线性回归方程；
(2)根据(1)中线性回归方程，计算x=20时y^的值．
18.【答案】解：(1)当直线l的斜率不存在时，其方程为x=−1，
当直线l的斜率存在时，设其方程为y−1=k(x+1)，即kx−y+k+1=0，因为点B和点C到直线l的距离相等，
所以
√k2+1=
√k2+1
，即−4k−3=4k−1，解得k=−1
4
，
所以直线l的方程x+4y−3=0，
综上，直线l的方程为x=−1或x+4y−3=0．(2)设P(−1,1)关于直线y=x+1的对称点为E(m,n)，
则{n+12=
m−1
2
+1
n−1
m+1
⋅1=−1
，解得{m =0
n =0，
因为点O(1,2)在直线y =x +1上， 所以E(0,0)，O(1,2)在对称直线上， 所以对称直线的方程为y =2x ．
【解析】(1)分两类讨论：①直线l 的斜率不存在；②直线l 的斜率存在，设其方程为y −1=k(x +1)，再由点到直线的距离公式求得k 的值，得解；
(2)设P(−1,1)关于直线y =x +1的对称点为E(m,n)，结合中点坐标公式和两条直线的垂直关系，可得关于m 和n 的方程组，求得E 的坐标后，再由E 和O 两点坐标，即可得解． 本题考查直线的方程，直线中的对称问题，点到直线的距离公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.
【答案】解：(1)设事件A 为“方程x 2−ax +b 2=0有实数根”，
因为方程x 2−ax +b 2=0有实数根， 则a 2−4b 2≥0，即|a|≥2|b|，即a ≥2b ， 因为基本事件共有36个，
其中(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，
(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)为所求事件A 所包含的9个基本事件， 所以事件A 发生的概率为P(A)=936=1
4；
(2)实验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a ≤10，0≤b ≤4}， 设所求事件为B ，则B 的区域为{(a,b)|0≤a ≤10，0≤b ≤4，a ≥2b}， 作出平面区域
故所求事件的概率为P(B)=
(10+2)
2
×440
=3
5．
【解析】(1)求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；
(2)利用几何概型的概率公式，将问题转化为求解面积之比，即可得到答案． 本题考查了古典概型概率公式的应用，几何概型问题的求解，几何概型问题一般会转化
为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，M(x,y)，
∵M 为AB 中点，∴{x =x 0+4
2
y =y
2
得x 0=2x −4，y 0=2y ， ∵点A 在圆C 1上，∴x 02+(y 0+2)2=4，
∴(2x −4)²+(2y +2)²=4，化简得(x −2)²+(y +1)²=1， ∴点M 的轨迹C 2的方程为(x −2)²+(y +1)²=1； (2)直线l 过定点P(−1,−1)，P 在圆C 1内，C 1(0,−2)，
当直线l ⊥C 1P 时，|CD|最小，|C 1P|=√1+1=√2，k C 1P =1
−1=−1，∴|CD|min =2√2， 此时直线l 的斜率为1，l 的方程为x −y =0； (3)∵|C 1C 2|=√5且1<√5<3，∴两圆相交， x²+y²+4y =0①，x²+y²−4x +2y +4=0②，
①−②得4x +2y −4=0，即2x +y −2=0，即公共弦所在的直线方程为2x +y −2=0，
圆心C 1(0,−2)，到直线2x +y −2=0的距离为√5， 则公共弦长度为2√4−
165
=2√4
5
=
4√5
5
．
【解析】(1)设点A(x 0,y 0)，M(x,y)，由中点坐标公式，A 点坐标可以用点B 和M 表示出来，点A 的坐标满足C 1方程，代入方程即可求出点M 的轨迹方程； (2)由题得到当直线l ⊥C 1P 时，|CD|最小，即可求解；
(3)两圆相交，方程相减即可求得公共弦方程，进而可求公共弦长． 本题考查直线与圆的综合问题，属于中等题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由频数分布表得：a =100−5−30−20−10=35，
b =30
100=0.3．
作出频率分布直方图如下：
(Ⅱ)估计该组数据的平均数：
x−=2.5×0.05+7.5×0.35+12.5×0.3+17.5×0.2+22.5×0.1=12.25．
(Ⅲ)从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，
则从该6人中选拔2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种，
其中来自不同的组别的基本事件有AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DF，EF共11种，
所以这2人来自不同组别的概率为p=11
15
．
【解析】(Ⅰ)由频数分布表列方程能求出a，b.由此能作出频率分布直方图．
(Ⅱ)利用频率分布直方图能估计该组数据的平均数．
(Ⅲ)从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，从该6人中选拔2人，利用列举法能求出这2人来自不同组别的概率．
本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：(1)由圆C与y轴相切，可知圆心的横坐标的绝对值与半径与相等，
故先将圆C的方程化成标准方程为：
(x−1+a
2)2+(y−a
2
)2=(1+a
2
)2+a2
4
−a=2a2−2a+1
4
，
∵2a2−2a+1>0恒成立，∴|1+a
2|=1
2
√2a2−2a+1，求得a=0或a=4，
即可得到所求圆C的方程为：x2−x+y2=0或x2+y2−5x−4y+4=0；(2)令y=0，得x2−1(1+a)x+a=0，即(x−1)(x−a)=0
∴M(1,0)，N(a,0)．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x−1)，
代入x2+y2=9得，(1+k2)x2−2k2x+k2−9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)从而x1+x2=2k2
1+k2，x1x2=k2−9
1+k2
，
∵∠ANM=∠BNM，∴y1
x1−a +y2
x2−a
=0，
∵y1
x1−a +y2
x2−a
=k[(x1−1)(x2−a)+(x2−1)(x1−a)]
(x1−a)(x2−a)
，
而(x1−1)(x2−a)+(x2−1)(x1−a)=2x1x2−(a+1)(x1+x2)+2a
=2k2−9
1+k2−(a+1)2k2
1+k2
+2a=2a−18
1+k2
，
即2a−18
1+k2
=0，得a=9；
当直线AB与x轴垂直时，也成立．
故存在a=9，使得∠ANM=∠BNM．
【解析】(1)化圆的方程为标准方程，由题意可得关于a的方程，求解a值，即可得到圆的方程；
(2)在圆C：x2−(1+a)x+y2−ay+a=0中，取y=0可得M、N的坐标，假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x−1)，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率和为0求解a值，验证斜率不存在时成立即可．
本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．。