河南省西平县高级中学2019-2020学年高二上学期第四次月考(12月)理数试题Word版含答案

河南省西平县高级中学2019-2020学年高二上学期第四次月考
（12月）理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 1.抛物线2
14
y x =-的准线方程为（ ） A ．116
x =
B ．1y =
C ．1x =
D ．116
y =
2.命题“若2
2
0a b +=，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0a b ≠≠，则2
2
0a b +≠ B ．若0a b =≠，则22
0a b +≠
C ．若0a ≠或0b ≠，则2
2
0a b +≠
D ．若0a ≠且0b ≠，则2
2
0a b +≠
3.不等式2
2530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x <或2x >
B ．0x ≥或2x ≤-
C ．1x <-或4x >
D ．1
2
x ≤-
或3x ≥ 4.设等差数列{}n a 的公差0d ≠，12a d =，若k a 是1a 与21k a +的等比中项，则k =（ ） A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
5.双曲线
22
12524
x y -=上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（ ） A ．1或21
B ．14或36
C ．2
D ．21
6.平行六面体''''ABCD A B C D -中，若'23'AC x AB yBC zCC =+-，则x y z ++=（ ） A ．
76
B ．1
C ．
56
D ．
23
7.已知A ，B ，C ，D 是抛物线2
8y x =上的点，F 是抛物线的焦点，且0FA FB FC FD +++=，则
||||||||FA FB FC FD +++的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
8.在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A ∠=∠，AC 的取值范围为（ ）
A ．(
B ．
C ．
D ．(
9.如图，已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=的左、右焦点，若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的
左、右支于A ，B 两点，使得221BAF BF F ∠=∠，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．(3,)+∞
B ．(1,2+
C ．(3,2+
D ．(1,3)
10.若实数x ，y 满足2
2
2210x y x y +--+=，则4
2
y x --的取值范围为（ ） A ．40,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4
[,)3
+∞
C ．4(,]3
-∞-
D ．4[,0)3
-
11.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>，双曲线22
1x y -=的渐进线与椭圆C 有四个交
点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
182x y += B ．
221126x y += C ．22
1164x y += D ．
22
1205
x y += 12.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点，
P 为AC 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经
过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“x R ∀∈，2
230ax ax -+>恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
14.等比数列{}n a 的前n 项和3n
n S t =+，则3t a +的值为 ．
15.不等式2
2
220x axy y -+≥对任意[]1,2x ∈及任意[]1,4y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
16.双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，B 为其左支上一点，线段BF 与双曲线的一条渐
进线相交于A ，且()0OF OB OA -⋅=，2OA OB OF =+（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列{}n a 首项是1，公差不为0，n S 为其前n 项和，且2
214S S S =⋅．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且2sin a B =． （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．
19.命题p ：关于x 的不等式2
2
(1)0x a x a +-+<的解集是空集；命题q ：已知二次函数
2()2f x x mx =-+满足33
()()22
f x f x +=-，且当[]0,x a ∈时，最大值是2．若命题“p 且q ”是假，
“p 或q ”是真，求实数a 的取值范围．
20.如图，圆柱的高为２，底面半径为3，AE ，DF 是圆柱的两条母线，B 、C 是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD 是正方形． （1）求证：BC BE ⊥；
（2）求几何体AEB DFC -的体积；
（3）求平面DFC 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．
21.已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22
221x y a b
-=的两条渐进线为1l 、2l ，且1l 与x 轴
所成的夹角为30︒，且双曲线的焦距为 （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，l 与椭圆C 相交于A 、B ，与圆O ：2
2
2
x y a +=相交于D 、E 两点，当OAB ∆的面积最大时，求弦DE 的长．
22.已知(2,2)E 是抛物线C ：2
2y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（不同于点E ），直线EA ，EB 分别交直线2x =-于点M ，N ． （1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）求证：以MN 为直径的圆恰好经过原点．
河南省西平县高级中学2019-2020学年高二上学期第四次月考
（12月）理数试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
C
A
B
D
A
D
B
C
B
D
A
二、填空题
13.03a ≤<
14.17 15.a ≤
三、解答题
17.解：（1）数列{}n a 的通项公式21n a n =-． （2）数列{}n b 的前n 项和21
n n
T n =
+．
由已知得二次函数2
()2f x x mx =-+的对称轴为32x =
，即322
m --=，∴3m =，2()32f x x x =-+， 当[]0,x a ∈时，最大值是2，由对称性知q ：03a <≤． 当p 真q 假时，11303
a a a a ⎧
≤-≥⎪⎨⎪≤>⎩或或，∴13a a ≤->或，
当p 假q 真时，113
03a a ⎧-<<⎪⎨⎪<≤⎩
，∴103a <<， 综上可得，1
(,1](0,)(3,)3
a ∈-∞-+∞． 20.（略） 21.（略）
22.解（1）将()2,2E 代入22y px =得1p =所以抛物线方程为2
2y x =，焦点坐标为1(,0)2
（2）设211(,)2
y A y ，2
22(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，
法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-
与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2
240ky y k --=
则由韦达定理得：12122
4,y y y y k
=-+=
直线AE 的方程为：()121
2222
2y y x y --=--，即()12
222y x y =-++，
令2x =-，得1124
2M y y y -=
+，同理可得：22
242N y y y -=+，
又 4
(2,),(2,
)m m
OM y ON y -=-=-， 所以12122424
4422
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)
444(44)k k
--
+=+
-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2
． 法二：设直线l 方程为2x my =+
与抛物线方程联立得到 222x my y x
=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2
240y my --=
则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= 直线AE 的方程为：()12
1
2
2222
y y x y --=
--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得1124
2M y y y -=
+ 同理可得：22
242N y y y -=+
又 4(2,),(2,)m m
OM y ON y -=-=-，
12124(2)(2)44(2)(2)
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
++ 121212124[2()4]4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++4(424)
44(424)m m --+=+-++0=
所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2
…………12分。