高考数学 高频考点揭秘与仿真测试 专题23 三角函数 三角恒等变换 文(含解析)-人教版高三全册数学

专题23 三角函数三角恒等变换
【考点讲解】1.两角和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）
一、具本目标：1. 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.
2. 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.
3. 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
4. 逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
5. 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.
二、知识概述：
知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦公式：，
.
两角和与差的余弦公式：，
.
两角和与差的正切公式：，
.
【特别提醒】公式的条件：
1.两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.
2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：
知识点二公式的变用
1.两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：
（其中φ角所在的象限
由a,b的符号确定，φ的值由tan
b
a
ϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用.
2.变形为
，
变形为
.
变形为
，
变形为
来使用.
条件为：
知识点三二倍角公式：
1.
2.常见变形：（1），
（2），
；
（3），
.
3.半角公式：，
，
，
.
【真题分析】
1．【17新课标III 文】已知
，则=α2sin （ ）
A ．97-
B ．9
2
-C ．92 D ．97
【答案】A
2．【17新课标III 文】函数的最
大值为（ ）
A ．
56B ．1 C ．53D ．5
1
【解析】将
化简，利用两角和、差的正
余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值. 由
，
因为，所以函数的最大值为
5
6. 【答案】A
3．【2016年某某期中】已知向量a =（sin θ，2-），b =（1，cos θ），且a ⊥b ，则sin 2θ+cos 2
θ的值
为（ ） A ．1 B ．2
C ．
1
2
D ．3
【答案】A
4.【2017某某二模】已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2
θ=（ ） A ．
125B ．15±C ．15D ．1
5
- 【解析】∵cos θ=－7
25，θ∈（－π，0），
∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0），
∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2
θ
＞0，
∵（sin
2θ+cos 2
θ）2=1+sin θ=149
1625-=125，
∴sin
2θ+cos 2θ=1
5
-．故选D ． 【答案】D
等于（ ）
A ．－sin α
B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α 【解析】本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值.
原式===cos
α．故选D.
【答案】D
6．【2018全国二卷15】已知，，则
sin()αβ+=__________．
【解析】本题考点：同角三角函数的平方和、两角和的正弦公式. 将已知两式平方
与
，
将平方后的两式相加整理得：
， ，也就是
.
【答案】2
1
-
7.【2015高考某某】
.
【答案】
6 2
.
8.【2016高考某某卷】在锐角三角形ABC中，若，则
的最小值是.
【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC中恒有
，
，因此
即最小值为8.
【答案】8.
9．【2015某某期中】若cos （α+β）=
45，cos （α−β）=−4
5
，，
，
则sin 2β=．
【解析】cos （α+β）=
45， cos （α−β）=−4
5
，，
，
∴sin（α+β）=−35，sin （α−β）=35
， ∴sin 2β=sin[α+β−（α−β）]=
sin （α+β）cos （α−β）−cos （α+β）∙sin （α−β）=3
()5-×4()5-−45×
3
5
=0. 【答案】0
10..已知sin α+sin β=
2165，cos α+cos β=2765
，则=.
所以=
=
cos
2sin
2
αβ
αβ++=97． 【答案】97
11.【2018某某卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3
α=
，．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
【解】（1）因为4tan 3α=
，sin tan cos α
αα
=，所以．
因为
，所以29
cos 25
α=
， 因此，．
【答案】D
6.设α为锐角，若，则（）
A ．
210 B ．2
10- C ．45 D ．45
-
【答案】A
7.若，则（）
A.1
B.
21 C.31D.4
1
【解析】
，故选B. 【答案】B 8.下列各式中，值为3的是（）
A ．
B ．
C ．1tan151tan15+︒-︒
D ．
【解析】
，，1tan151tan15+︒
-︒
，cos15=︒，故选C ．
【答案】C
9.已知tan （π
4+α）=1
2，则的值为________．
【答案】2 3
10.【2018某某卷18】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P
（
34
55
-，-）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
5
13
，求cosβ的值．
解：.（Ⅰ）由角α的终边过点
34
(,)
55
P--得
4
sin
5
α=-，
所以.
（Ⅱ）由角α的终边过点
34
(,)
55
P--得
3
cos
5
α=-，
由得.
由得
，所以或.。