湖北省钟祥市2019届高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)

湖北省钟祥市2019届高三数学第一次模拟考试试题 理（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知为i 虚数单位，则1i
i
+的实部与虚部之积等于（ ） A. 14
-
B. 14
C. 14
i
D. 1
4
i -
【答案】A 【解析】 因为i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以的实部与虚部之积为111224
⨯=；故选B.
2.已知集合M={x|-3＜x ＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤-3或x≥1}=（ ） A. M N ⋂
B. M N ⋃
C. ()M M N ⋂ð
D.
()M M N ⋃ð
【答案】C 【解析】 【分析】
由题，先求出M∩N 和M∪N，再求得∁M （M∩N)和∁M （M∪N)可得答案. 【详解】因为集合M={x|-3＜x ＜1}，N={x|x≤3}， 所以M∩N={x|-3＜x ＜1}， M∪N={x|x≤3}，
则∁M （M∩N）={x|x≤-3或x≥1}， ∁M （M∪N）={x|x ＞3}， 故选：C ．
【点睛】本题考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.
3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A. 623
B. 328
C. 253
D. 007
【答案】A 【解析】 【分析】
从表中第5行第6列开始向右读取数据，求得前6个编号，由此得到结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，623， 则得到的第6个样本编号是623． 故选：A ．
【点睛】本题考查了随机数表的知识，明确随机数表的含义是关键，在读取数据的过程中，需要把超出范围的数据和重复的数据都去掉，属于基础题.
4.在等差数列{}n a 中，10110,0a a ，且1110a a >,则使{}n a 的前n 项和Sn 0<成立的中最大的自然数为( ) A. 11 B. 10
C. 19
D. 20
【答案】C 【解析】
∵{}n a 为等差数列，10110,0a a ，∴0d >，又∵1110a a >，∴1110a a >-即10110a a +>，由()120201*********a a S a a +=
⨯=+>，1191910191902
a a
S a +=⨯=<，故可得使{}n a 的前n 项和0n S <成立的中最大的自然数为19，故选C.
5.已知函数()cos x x
f x e
=，则()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为( ) A. 10x y ++=
B. 10x y +-=
C. 10x y -+=
D.
10x y --=
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果.
【详解】∵f（x）=cos
x
x
e
，
∴f′（x）=
sin cos
x
x x
e
--
，
∴f′（0）=-1，f（0）=1，
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，
即x+y-1=0．
故选：B．
【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题.
6.某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数.
【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，
∵P（95≤ξ≤105）=0.32，
∴P（ξ≥115）=1
2
（1-0.64）=0.18，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9
故选：B．
【点睛】本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. 8012π+
B. 8013.5π+
C. 5913.5π+
D. 5912π+
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图可知，该几何体的直观图，根据公式运算，即可求解。

【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，
所以其表面积为2(1 5.516 5.56) 1.56⨯⨯+⨯+⨯-⨯233 1.58013.5πππ+⨯+⨯⨯=+， 故选B 。

【点睛】本题考查三视图，及组合体的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的三视图得到几何体的直观图，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查空间想象能力与运算求解能力.
8.点(2,1)A 到抛物线2y ax =准线的距离为1，则a 的值为（ ） A. 14-
或12
1- B.
14或1
12
C. 4-或12-
D. 4或12
【答案】C 【解析】
因为抛物线的标准方程为2
y ax =，若0a >，则准线方程为4a x =-，由题设可得214
a
+=，则4a =-，不合题意，舍去；若0a <，则准线方程为4
a
x =-，由题设可得214a +=，解
之得4a =-或12a =-，应选答案C 。

9.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =
+.
曲线{}
|cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{}
|0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若
C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )
A. 13r R <<<
B. 13r R <<≤
C. 13r R ≤<<
D.
13r R <<<
【答案】A 【解析】
试题分析：设(1,0),(0,1)a b ==，则(2,OQ =，(cos ,sin )OP x x =，区域Ω表示的
是平面上的点到点Q 的距离从r 到R 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使C ⋂Ω为两段分离的曲线，则13r R <<<，故选A.
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.
10.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. 316
B. 38
C. 14
D.
18
【答案】A 【解析】
设2AB =，则1BC CD DE EF ====.
∴11
2224
BCI S ∆=
⨯⨯=，112242BCI EFGH
S S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为
11
3422216
P +
==
⨯ 故选A.
11.设12,F F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
1260F PF ∠=，3OP b =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A.
4
3
C.
76
【答案】D 【解析】
设12,PF m PF n ==，则由余弦定理可得2224m n mn c +-=，-------------（1）
2221||2cos m c OP c OP POF =+-∠，2221||2cos()n c OP c OP POF π=+--∠，即2221
||2c o s
n c O P c O P P O F =++∠，
以上两式可得2222229m n c b +=+⨯，即222218m n c b
+=+，----------（2）又由双曲线的定义可得2m n a -=，即
22224m n mn a +-=--------------（3）由（1）（3）可得222284m n c a +=-代入（2）可得222932b c a =-，即2267c a =
，故离心率6e =
=，应选答案D 。

点睛：解答本题的关键是构建关于参数,,a b c 的方程。

求解时先运用余弦定理建立三个方程：
2224m n mn c +-=，2222229m n c b +=+⨯，22224m n mn a +-=，通过消元得到222932b c a =-
，进而求得双曲线的离心率6e =
=，使得问题巧妙获解。

12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当BC AP λ=时，()()[)[)
12
log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，
则关于x 的函数()y f x a =-，（10a -<<）的所有零点之和为（ ） A. 21a - B. 21a --
C. 12a --
D. 12a -
【答案】B 【解析】 【分析】
作函数()f x 与y a
=的
图象，从而可得函数()()F x f x a =-有5个零点，设5个零点分别为b c d e f <<<<，从而结合图象解得．
【详解】解：作函数()f x 与y a =的图象如下，
结合图象可知，
函数()f x 与y a =的图象共有5个交点， 故函数()()F x f x a =-有5个零点， 设5个零点分别为b c d e f <<<<， ∴()236b c +=⨯-=-，236e f +=⨯=，
()12
log 1x a +=，
故12a x -=-+，即12a d -=-+， 故12a
b c d e f -++++=-+，
故选：B ．
【点睛】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于常考题型.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知实数,x y 满足30
{2600
x y x y x --≥+-≤>，则
y
x
的
最大值是__________．
【答案】
14
【解析】
由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点(4,1)A ,则当过原点的直线过点A 时，斜率
0104y k x -=
=-最大，即y
x 的最大值为14
.
14.对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =
1
2（a n n
1a +），n∈N*，
其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121
111
S S S ++⋯+]=______． 【答案】20 【解析】 【分析】
先由数列,n n a S 的关系求出n S ，再利用放缩法和裂项相消求得前n 项和S 的值，可得答案.
【详解】由题可知0n S >，当1n >时，11
11[()]2n n n n n S S S S S --=-+-化简可得2211n n S S --=，当22
111,1n S a ===
所以数列2
{}n S 是以首项和公差都是1
的等差数列，即2
n n S n S =∴=又1n >
时，2
2n
S =
<<=
记12121
11
1S S S S =
+
+
一方面21]1)20S >
-=
>
另一方面1(21)]11)21S <+++-=+=
所以2021S << 即[]20S = 故答案为20
【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列2
{}n S 以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.
15.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这
3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：33
164C 4C 56016544-=-=.
考点：排列与组合
16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB⊥BC，AD∥BC，1
AB BC AD 12
==
=，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF 的体积的取值范围为______．
【答案】（0，1
3
） 【解析】 【分析】
先由题易证PF⊥平面ABCEF ，设(01)DF x
x =<<，然后利用体积公式求得五棱锥P ABCEF -的体积，再利用导函数的应用求得范围.
【详解】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF 交EF 与点F ，所以PF⊥平面ABCEF 设(01)DF x x =<<,则,2EF x AF x ==-
22111
(12)1(3)222
ABCEF ABCD DEF S S S x x =-=+⨯-=-
所以五棱锥P ABCEF -的体积为23
111()(3)(3)326
V x x x x x =⨯-⋅=-
21
()(1)012
V x x x '=-=∴=或1x =-（舍）
当01,()0,()x V x V x '<<>递增， 故(0)()(1)V V x V <<
1(0)0,(1)3
V V ==
所以()V x 的取值范围是（0，13
） 故答案为（0，
13
） 【点睛】本题考查了立体几何的体积求法以及利用导函数求范围的应用，属于小综合题，属于较难题.
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.如图，在ABC ∆中，2AB =，1
cos 3
B =
，点D 在线段BC 上．
(Ⅰ) 若34
ADC π
∠=
，求AD 的长；
（Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为
3
，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．
【答案】(1) 8
3
.
(2) 【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B 的值，然后利用正弦定理即可求得AD 的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得ABC S ∆，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得
sin sin BAD
CAD
∠∠的值．
试题解析：（I ）在三角形中，∵1cos 3B =
，∴sin 3
B =．………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B
=∠，
又2AB =，4
ADB π
∠=
，sin 3
B =
．∴83AD =．………………5分
（II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，
，
又ADC S ∆=
ABC S ∆=分 ∵1
·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1
·sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD AC
CAD AB
∠=∠，………………9分
在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．
∴AC =
sin 2?sin BAD AC
CAD AB
∠==∠．………………12分
考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．
18.如图，在五棱锥P-ABCDE 中，△ABE 是等边三角形，四边形BCDE 是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G 是CD
的
中点，点P 在底面的射影落在线段AG 上．
（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG ；
（Ⅱ）已知AB=2，，侧棱PA 与底面ABCDE 所成角为45°，S △PBE ，点M 在侧棱PC 上，CM=2MP ，求二面角M-AB-D 的余弦值． 【答案】（I ）见解析； （II ）3
5
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题易证BE⊥PO，BE⊥AG，可得BE⊥平面PAG ，既而证得平面PBE⊥平面APG ； （II ）建立空间直角坐标系，分别求出平面MAB 和平面ABD 的法向量，再根据二面角的公式求得二面角M-AB-D 的余弦值即可.
【详解】（Ⅰ）取BE 中点F ，连接AF ，GF ，由题意得A ，F ，G 三点共线， 过点P 作PO⊥AG 于O ，则PO⊥底面ABCDE ∵BE ⊂平面ABCDE ，∴BE⊥PO，
∵△ABE
是等边三角形，∴BE⊥AG∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面APG．（II）连接PF，∵PBE1S BE PF
PF AF
2
=
⋅===
又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，
∴PF⊥底面ABCDE．
∴O点与F点重合．
如图，以O为原点，分别以OB OG OP
，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
底面ABCDE的一个法向量()
v001
=，，
∵()()()(
A0B 100C P00
，，，，，，∴(
PC
=，
设平面ABM的法向量()
u x y z
，，
=，
∵()2
AB130BM BP PM
3
⎛
==+=-
⎝⎭
，，，，
∴u AB u BM
⊥⊥
，，∴u AB 0u BM0
⋅=⋅=
，，
∴
2
3
x
x y z
⎧+=
⎪
⎨
-=
⎪
⎩
，取x=
3
y1z
2
=-=
，，
∴
3
u31
2
⎛⎫
=-
⎪
⎭
，，，
∵二面角法向量u n
，分别指向二面角的内外，＜u n
，＞即为二面角的平面角，
∴cos＜u n
，＞
u n
u n
⋅
⋅=
3
=
3
5
．
∴二面角M-AB-D的余弦值为
3
5
．
）
【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和利用空间向量求二面角的方法，熟悉平面垂直的判断方法和建系求法向量是解题的关键，属于较为基础题.
19.已知圆O ；x 2+y 2=4，F 1（-1，0），F 2（1，0），点D 圆O 上一动点，22F D =2F E ，点C 在直线EF 1上，且2CD EF ⋅=0，记点C 的轨迹为曲线W ． （1）求曲线W 的方程；
（2）已知N （4，0），过点N 作直线l 与曲线W 交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l'，线段AB 的中点为Q 点，记P 与y 轴的交点为M ，求|MQ|的取值范围．
【答案】（1）22x y 143
+=； （2）[0，5）.
【解析】 【分析】
（1）由题，易知点D 是2F E 的中点，可得CE=CF 2即CF 1+CF 2=4为定值，可得C 的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆；
（2）由题，设直线l 的方程，联立椭圆，求得点N 的坐标（注意考虑判别式），再得出l'的直线方程，再求得点M 的坐标，即可求得MQ 的长度，求出其范围即可. 【详解】（1）圆O ：x 2+y 2=4，圆心为（0，0），半径r=4， F 1（-1，0），F 2（1，0），点D 是圆O 上一动点， 由22F D =2F E ，可得D 为EF 2的中点，
点C 在直线EF 1上，且2CD EF ⋅=0，可得CD⊥EF 2， 连接CF 2，可得CE=CF 2，
且CF 1+CF 2=CF 1+CE=EF 1=2OD=4，
由椭圆的定义可得，C 的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆， 可得c=1，a=2，
，
则曲线W 的方程为22x y 143
+=；
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，
设l ：y=k （x-4），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0）， 联立直线与椭圆方程3x 2
+4y 2
=12，消去y 得： （3+4k 2
）x 2
-32k 2
x+64k 2-12=0，
x 1+x 2=2232k 34k +，x 1x 2=22
64k 12
34k -+，
又△=（-32k 2
）2
-4（3+4k 2
）（64k 2
-12）＞0，解得-12＜k ＜1
2
， x 0=12x x 2+=22
16k 34k +，y 0=k （x 0-4）=-212k
34k +， ∴Q（2
2
16k 34k
+，-212k 34k +）， ∴l'：y-y 0=-1k （x-x 0），即y+212k 34k +=-1k （x-2
2
16k 34k +）， 化简得y=-
1k x+2
4k 34k +， 令x=0，得m=24k 34k +，即M （0，2
4k
34k
+）， |MQ|=（22
16k 34k
+）2+（216k 34k +）2
=256•4222k k (34k )++， 令t=3+4k 2
，则t∈[3，4），
∴|MQ|=256•22
(t 3)t 3
164t --+
=16•22
t 2t 3t
--=16[-3（1t ）2-2t +1]=16[-3（11t 3+）2+43]． ∴|MQ|∈[0，5）
．
【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合，轨迹方程的求法，以及范围的求法，熟悉直线与圆锥曲线相交的解题步骤是解题的关键，属于难题. 直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算.
20.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养，若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.
【答案】（1）1
4
；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据条件，列出各项指标的表格，根据条件概率列出各种情况，由古典概率求解。

（2）根据（1），列出X 的分布列，根据数学期望的公式求得数学期望。

【详解】
（1）由题可知:建模能力一级的学生是9A ；建模能力二级的学生是45710,,,A A A A ；建模能力三级的学生是12368,,,,A A A A A .
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B .
则 ()
()22
32224541(|)164
P AB C C P B A P A C C +=
===+ (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: 123568,,,,,A A A A A A ，非一级的学生为余下4人 X ∴的所有可能取值为0,1，2，3.
()()()()0312646433101021316464
33
101013
0,13010
11
2,326
C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ======
==
====
∴随机变量X 的分布列为：
∴ 1301
23010EX =⨯
+⨯+⨯ 11
3 1.826
+⨯= 【点睛】本题考查了条件概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求解，根据题意列出表格是关键，属于基础题。

21.已知函数f （x ）=
12
ax 2
+lnx ，g （x ）=-bx ，其中a ，b∈R，设h （x ）=f （x ）-g （x ）， （1）若f （x ）在处取得极值，且f′（1）=g （-1）-2．求函数h （x ）的单调区间；
（2）若a=0时，函数h （x ）有两个不同的零点x 1，x 2 ①求b 的取值范围；
②求证：
12
2
x
x e ＞1．
【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）①（1
e
-
，0）②详见解析 【解析】
试题分析：（1）先确定参数：由(1)(1)2f g -'=-可得a=b-3. 由函数极值定义知
0f '=+=所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当0a =时，()ln h x x bx =+，原题转化为函数ln ()x
x x
ϕ=-
与直线y b =有两个交点，先研究函数ln ()x x x ϕ=-图像，再确定b 的取值范围是（1
e
-，0）.
②2
12121221ln 2x x x x e x x e
>⇔>⇔>，由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以
12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，因此须证2121212()ln ln x x x x x x -->+，构造函数2(1)()ln 1
t F t t t -=-+，
即可证明
试题解析：（1）因为1
()f x ax x
=+'，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g -'=-可得a=b-3.
又因为()f x
在2
x =
处取得极值，
所以022
f a '==， 所以a=" -2,b=1" . 所以2
()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+
）
2121(21)(1)
()21=x x x x h x x x x x
-++-+-'=-++=
令()0h x '=得121
,12
x x =-=， 当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+
）()<0h x '，
所以函数h （x ）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+）.
①由()0h x =得ln -x
b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2
ln 1()x x x ϕ-'=, 所以ln ()x
x x
ϕ=-
在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1
e
-.
又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<, 所以b 的取值范围是（1e
-，0）. ②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,
所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,
所以1212
2121
ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x1<x2,
要证2
12x x e >, 只需要证12
122121
ln (ln ln )2x x x x x x x x +=
->-.
即证212121
2()
ln ln x x x x x x -->+，设
21(1)x t t x =>, 则2(1)4
()ln ln 211
t F t t t t t -=-
=+-++, 所以2
22
14(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-
=>++, 所以函数()F t 在（1，+）上单调增，而(1)0F =，
所以()0F t >即2(1)
ln 1
t t t ->
+, 所以2
12x x e >.
考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式
22.在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)P 的直线l
的参数方程为2(x t y t
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数)，圆C 的方程为2
2
9x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值． 【答案】（1
）20,3x ρ+-== ； （2）5 . 【解析】 【分析】
（1）先求出直线的普通方程，再根据cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
得到相应的极坐标方程．
（2
）设直线的参数方程为2212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，利用t 的几何意义可计算PA PB ． 【详解】(1)直线l
普通方程为20x +-=，
将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入得，cos sin 20ρθθ+-=，
整理得直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭
. 圆C 的极坐标方程为3ρ=. (2)直线l
的参数方程为2212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）将其代入229x y +=
得250t --=，所以125PA PB t t ==.
【点睛】（1）直角坐标转化为极坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，而极坐标转化为直角坐标，关键是222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
．
（2）若直线的参数为00cos sin x x t x y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 参数，α为直线的倾斜角），则t 是()()000,,,P x y P x y 之间的距离，
我们常利用这个几何意义计算线段的乘积、线段的和或线段的差等．
23.函数()f x x a =-，0a ＜
（Ⅰ）若2a =-求不等式()()22f x f x +＞的解集
（Ⅱ）若不等式()()122f x f x +＜的解集非空，求a 的取值范围
【答案】（Ⅰ）（﹣∞，﹣2）∪（﹣
23，+∞）（Ⅱ）（﹣1，0）． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）若a ＝﹣2，分类讨论，即可求不等式f （x ）+f （2x ）＞2的解集；（Ⅱ）求出函数f （x ）的值域为[﹣2a ，+∞），利用不等式f （x ）+f （2x ）＜12
的解集非空，求a 的取值范围 【详解】（Ⅰ）当a ＝﹣2时，f （x ）＝|x +2|，
f （x ）+f （2x ）＝|x +2|+|2x +2|＞2，
不等式可化为22222x x x ≤-⎧⎨---->⎩或212222x x x -<<-⎧⎨+-->⎩或12222x x x ≥-⎧⎨+++>⎩
， 解得x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣23
，+∞）； （Ⅱ）f （x ）+f （2x ）＝|x ﹣a |+|2x ﹣a |，
当x ≤a 时，f （x ）＝a ﹣x +a ﹣2x ＝2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；
当a ＜x ＜
2a 时，f （x ）＝x ﹣a +a ﹣2x ＝﹣x ，则﹣2
a ＜f （x ）＜﹣a ； 当x ≥2a 时，f （x ）＝x ﹣a +2x ﹣a ＝3x ﹣2a ，则x ≥﹣2
a ， 所以函数f （x ）的值域为[﹣2
a ，+∞）， 因为不等式f （x ）+f （2x ）＜12
的解集非空， 即为12＞﹣2a ， 解得a ＞﹣1，
由于a ＜0，
则a 的取值范围为（﹣1，0）．
【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立,有解问题联系起来，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。