抛物线的几何性质123

p +x0 2 p -x0 2 p +y0 2 -y 0 p 2
2.过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则:
y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圆心到直线的距离与半径的大小.
2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1, M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的 定义可知|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,
1 |MM1|= (|AA1|+|BB1|)= 1 (|AF|+|BF|)=1 |AB|, 2 2 2
AB 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 8
2
所以，线段 AB的长是 8 。
ห้องสมุดไป่ตู้
解法二:由题意可知,
p p 2, 1, 准线l : x 1. 2
A’
O
y
A F B
x
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
的焦半径。 焦半径公式： |PF|=x0+p/2
(2)抛物线的焦半径公式:
抛物线y2=2px(p>0) 抛物线y2=-2px(p>0) 抛物线x2=2py(p>0) 抛物线x2=-2py(p>0)
|PF|=|x0+ |PF|=|x0|PF|=|y0+ |PF|=|y0-
p |= 2 p |= 2 p |= 2 |= p 2
抛物线的几何性质
胶州实验中学高二数学组
一、知识回顾
定义：在平面内, 与一个定点F和一 条定直线l(l不经 过点F)的距离相 等的点的轨迹叫 抛物线.
图
l
抛物线的定义及标准方程
y
O
形
F
l
O
标准方程
x
焦点坐标
准线方程
y
F
y2=2px (p>0)
p ( ,0 ) 2
p ( ,0 ) 2
p x 2
p x 2
x
y
O
F
l l
x
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
p (0 ，) 2 p (0 ， ) 2
p y 2 p y 2
y
O F
x
二、探索新知 2 如何研究抛物线y =2px（p>0）的几何性质? 1、范围 由抛物线y2 =2px（p>0） 2 有 2 px y 0
1 A.( 2 ,1)
) B.(0,0) D.(1,4)
C.(1,2)
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.
【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的
解题思路一般有哪些? 2.以原点为一个顶点的三角形的“四心”在抛物线的对称轴上,另 两个顶点的位置关系如何? 探究提示: 1.一般有三种方法:(1)构造函数法.(2)数形结合法.(3)转化法. 2.根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称.
抛物线中的证明问题 【例题5】
1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
2.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
求证:(1)x1x2为定值.
1 1 (2) FA FB 为定值.
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断
1 y x p, 2 2 2 p 由 2 消去y,得x -3px+ =0, y 2px, 4
∴x1+x2=3p. 将其代入①,得p=2. ∴所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
【例3】
1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离 最短,则该点的坐标是(
∵|OF|= p ,
∴AB的方程应为 x p p 3 p.
2 4 4 2
例4、正三角形的一个顶点 位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线 y 正三角形的边长 .
2
2 px（p 0 ）上，求这个
y A
O
B
x
解：如图，设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上，且坐标分别为（ x1 ，y1 ）、（x2，y 2 ），则 y
由此可得 | y1 || y 2 | ，即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB，且AOx 3 0 ，所以
o
y1 o t an3 0 x1 y x1 ， 2p y1 2 3 p. | AB | 2 y1 4
2 1
3 . 3
3 p.
练习：等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O为 抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2
y
o
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这 说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
所以抛物线的范围为 x 0
x0
p 0
p F ( ,0 ) 2
x
2、对称性
( x, y)
关于x轴 对称
y
( x, y )
= 2px，
o
p F ( ,0 ) 2
若点(x,y)在抛物线上, 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上,
y
p y 2
p 2
x∈ R
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义） y 通过焦点且垂直对称轴的直线，
P
F
( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。 通径的长度：2P P越大,开口越开阔
O
x
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物 线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线
4、离心率
y
抛物线上的点与焦点 的距离和它到准线的距离 p o 之比，叫做抛物线的离心 F ( ,0 ) 2 率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0) 的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的 几何性质。
x
归纳：抛物线的几何性质
图 形
l
方程
y2 = 2px x （p>0）
【解析】若抛物线开口向右,如图. 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
1 则直线方程为y=-x+ p. 2
设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
p 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ p , 2 2
即x1+x2+p=8.
①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
2、已知点A（-2，3）与抛物线
的焦点的距离是5，则P=
y
2
2 px( p 0)
4
。
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点, 求线段 AB 的长.
2
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求 ,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1,
B’
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾 斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程. 【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方 程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.
2
则AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,
y0 2=x (x - p ), ( ) 1, 即 ∴ y 0 0 0 p x 0 x0 2 2 又y02=2px0,∴x0=2p+ p = 5p. 2 2 因此直线AB的方程为x= 5p . 2 y0
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质,
【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2), 其中x∈R,由点到直线的距离公式得
1 2 4(x ) 4 4x 4x 2 5 2 d 17 4 2 12
1 ∴当x= 1 时,d最小.这时点的坐标为( 2 ,1). 2
方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m,
=
2 p p x x p 1 2 2
x1 x 2 p
(定值).
例6.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴 . y
焦点
p F ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2
准线
p x 2
p x 2
范围
x≥0
y∈ R
顶点
对称 轴
x轴
e
y
O F
y
F O
l
y2 = -2px F x （p>0）
x≤0
y∈ R y≥0 x∈ R y≤0
(0,0) y轴
1
y F
O
y
O F
x2 = 2py F (0, p ) 2 （ p >0 ） x l 2 = -2py x l p F (0, ) 2 x （p>0）
2 1 2 1
2 p x1 ，
y
2 2
2 p x2 .
2 1 2 1
又 | OA || OB | ，所以：x y 即：x x 2 p x1 2 p x2 0 ，
2 2
x y ，
2 2 2 2

（x1 x2 ）（x1 x2 2 p） 0. x1 0 ，x2 0 ，2 p 0 ， x1 x2 .
y 4x m, 2-4x-m=0. 2 由 得 4x y 4x
再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1. 这时切点为( 1 ,1),切点( 1 ,1)到y=4x-5的距离最小.
2 2
2.如图所示.设A(x0,y0),
由题意可知B(x0,-y0),
又F( p ,0)是△AOB的垂心,
k 2 p 2 =0. 4 4
由根与系数的关系得x1x2= p 2 (定值).
2 p p 当AB⊥x轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 2 4
(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+
又由(1)得x1x2=
p2 4,
p ,|FB|=x2+ 2
p . 2
1 1 1 1 p p FA FB 所以 x1 x2 2 2 x1 x 2 p x1 x 2 p 2 p p p p2 x1 x 2 = 2 x1 x 2 x1 x 2 4 2 2
故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( p ,0),当AB不垂直于x轴时,
2
设直线AB的方程为y=k(x- p )(k≠0).
p y k(x ), 2 2 由 消去 y, y 2px ,
2
得k2x2-p(k2+2)x+
|AB|=y1+y2+p |AB|=p-(y1+y2)
三、典例精析 例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 2 2 点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
练习一：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y12=0上，那么抛物线通径长是 16 .
法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
解法一:由已知得抛物线的焦点为 F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
2 2
A’
O
y
A F B
x
代入方程y 4 x, 得( x 1) 4 x, 化简得 x 2 6 x 1 0. x1 x2 6 x1 x2 1 B’
即满足y2
x
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、顶点 定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线 的顶点。 y2 = 2px (p>0)中， 令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
y
o
p F ( ,0 ) 2
x
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。