【全国市级联考】江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考数学(解析版)

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ． 【答案】[－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝[－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 ▲ ． 【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域
3.命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
【答案】()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥ 【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.
4.设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】
32
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义
5.计算1
21
(lg lg 25)1004
--÷= ▲ ．
【答案】－20
考点：对数式运算
6.函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】
1ln 2
【解析】 试题分析：
()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．
【答案】2- 【解析】
试题分析：(4)()T 4f x f x +=⇒=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 考点：利用函数性质求值
8.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ． 【答案】[]2,4-
考点：利用函数性质解不等式
9.对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数” 的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 10.已知1a b >>，若10
log log 3
a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ．
【答案】 【解析】
试题分析：因为1a b >>，所以log 1b a >，又101101log log log log 33log 33
a b b b b b a a a a +=
⇒+=⇒=或（舍），
因此3a b =，因为b a a b =，所以3
333,1b b b b b b b b a =⇒=>⇒==，a b +=
考点：指对数式运算
11.已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则b
a
的值为 ▲ ． 【答案】1
2
-
考点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
12.定义在R 上的可导函数()f x ，已知()
f x y
e
=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
【答案】（﹣∞，2） 【解析】 试题分析：由()
21()0f x x
e
f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x
x e f x '><⇒<′时，所以()
y f x =的增区间是（﹣∞，2） 考点：函数单调区间
13.若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()2
2
a c
b d -+-的最小值为 ▲ ．
【答案】5
考点：利用导数求最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
14.已知函数()()31
,ln 4
f x x mx
g x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数
()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
【答案】()
53
,44--
【解析】
试题分析：()2
3f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足
()10,0,0f f m ><<，解得51534244
m m >->⇒-<<- 考点：函数零点
【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.(本小题满分14分)
设集合12432x A x -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
≤≤，{}
()222300B x x mx m m =+-<>.
(1) 若2m =，求A B ⋂;
(2) 若B A ⊇，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) {}22x x -<≤ (2) 2
03
m <≤
(2) ()3,B m m =-，,要使A B ⊆
只要322
5
3m m m --⎧⇒⎨
⎩≤≤≥， ……………………………………………………12分 所以2
03
m <≤
综上，知m 的取值范围是：2
03
m <≤……………………………………………14分
考点：集合运算
【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
16.(本小题满分14分)
已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈
(1) 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论； (2) 若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) 偶函数(2) 27λ-≤
(2) 由于()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x
x
λ
+≤， 令[]()31,9x
t t =∈，
原不等式等价于6t t
λ+≤在[]1,9t ∈上恒成立，………………………………………8分 亦即26t t λ-+≤在[]1,9t ∈上恒成立 ………………………………………10分
令()2
6g t t t =-+，[]1,9t ∈
当9t =时，()()min 927g t g ==-， ………………………………………12分 所以27λ-≤ ………………………………………14分 考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 17.(本小题满分14分) 已知函数()1
ln ,f x a x a R x
=
+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；
(2) 当1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．
【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
．(2) 2ln 2a =
则()f x 的单调递减区间为()0,+∞， ………………………………………4分 0a >时，令()0f x <′得：1
0x a
<<
， 则()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
． ………………………………………6分
①1a ≤时，()f x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
min ()(1)10f x f ==≠，无解 ………………………………………8分 ②2a ≥时， ()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()min 112ln 022f x f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，
解得：2
2ln 2
a =
≥，适合题意； ………………………………………12分 ③12a <<时，()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()min 11ln 0f x f a a a a ⎛⎫
∴==+= ⎪⎝⎭，解得：a e =，舍去； 综上：2
ln 2
a =
． ………………………………………14分 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值 【思路点睛】导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论
思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 18.(本小题满分16分)
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. (1) 求()h x 的表达式；
(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格
x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．
（保留1位小数） 【答案】(1) ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）(2) 13 4.33
x =≈
试题解析：(1) 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，， 则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 (2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 19.(本小题满分16分)
已知函数()133x x a
f x b
+-+=+．
(1) 当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值； (2) 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈，不等式()()
2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x x
f x
g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈,不等式 (2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞，②6 【解析】
试题分析：(1)根据+1333x x =⋅ ，可将方程()3x
f x =转化为一元二次方程：()2
332310x x ⋅+⋅-=，再根据指
数函数范围可得1
33
x
=
，解得1x =- (2) ①先根据函数奇偶性确定a b ，值：1,3a b ==，再利用单调性定义确定其单调性：在R 上递减．最后根据单调性转化不等式()()
22
22f t t f t k -<-为2222t t t k ->-即
(2) 因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x
x x a a
b b -++-+-++=++
化简并变形得：()()333260x x a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且
解得：1
133a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨==-⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
3a b =-⎧⎨=-⎩舍去
所以1,3a b ==， 所以()131
33x x f x +-+=+ ………………………………………6分
①()131
12133331x x x f x +-+⎛
⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()211212121222333331313131x x x x x x f x f x ⎛
⎫
-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减． ………………………………………8分
因为()()2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在R t ∈时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-，
所以k 的取值范围为()1,-+∞ ………………………………………10分
②因为()()()12333x x f x g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，所以()()3323x x
g x f x --=-
即()33x x g x -=+ ………………………………………12分
令()9h t t t =+，()291h t t
=-′， ()2,3t ∈时，()0h t <′，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()0h t >′，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6 ………………………………………16分
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

20.(本小题满分16分)
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求a 的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．
【解析】
试题分析：(1) 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证(2) ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()2
41
x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：(1) ()2a f x x x
=-′ 由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意
所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)()1222221x m x x x x +=--==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分
32
41-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分
考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性
【思路点睛】
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
：。