江苏省南京市2010届期末市统测模拟试题-2010.1

江苏省南京市2010届期末市统测模拟试题-2010.1
江苏省南京市2010届期末市统测模拟试题 2010.1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.x ab
=是a x b ，，成等比数列的 条
件。

2. 函数⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅+=2
tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 3. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 4. 已知椭圆
19
82
2=++y a x 的离心率2
1=e ，则a 的值等于 ． 5. 二次函数2
()f x ax bx c
=--（a 、b 、c R ∈），若a 、b 、c
成等比数列且
(0)1
f =，则函数()
f x 的最大值
为 .
6. 在区间[,]22
ππ
-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2
1之间的概率为 7. 已知命题：“在等差数列{}n
a 中，若24
4()102
=++a a a
，
则11
S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的
数模糊不清，可推得括号内的数为_________． 8. 正数a 、b 满足
1,
a b ab ++=则
32a b
+的最小值
是 .
9. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)
4
-对称，且满足3()()2
f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++
+=
．
10. 已知x 、y 满足
y x z k y x x y x 420,
30
5+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-且的最小值为－
6，则常数k= 11. 已知
1cos21
sin cos α
αα
-=，
1tan()3
βα-=-
，
则
tan(2)
βα-等
于 ．
12. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
13. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
14. 已知以4T =
为周期的函数
(1,1]()12,(1,3]
x f x x x ⎧∈-⎪=⎨
--∈⎪⎩，其
中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 15. （本小题满分14分） 设函数2
()sin()2cos
1
46
8
x x
f x πππ=--+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线
1
x =对称，求当4[0,]3
x ∈时()y g x =的最大值．
16. （本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD-A 1
B 1
C 1
D 1
中，底面
ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2,
AA 1
=2, E 、E 1
分别是棱AD 、AA 1
的中点. （Ⅰ）设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1
//平
面FCC 1
；
（Ⅱ）证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
E A B C
F E A B C D D
17. （本小题满分14分） 设函数2
()(0)
f x ax
bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线
()
y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．
（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()()
x
e g x
f x =
，讨论()g x 的单调性．
18. （本小题满分16分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率21=e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C
于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当7
24=PQ 时，求直线PQ 的方程； （Ⅲ）判断ABC ∆能否成为等边三角形，并说明理由．
19. （本小题满分16分）
设数列{}n
a 的通项公式为(,0)
n
a
pn q n N P *=+∈>. 数列{}
n
b 定义如下：对于正整数m ，m
b 是使得不等式n
a m
≥成
立的所有n 中的最小值.
（Ⅰ）若11,23
p q ==-，求3
b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m
b 的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()
m
b m m N *=+∈？如果
存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说
明理由.
20. （本小题满分16分）
已知函数22()(3)3f x x a x a a =+-+-（a 为常数）.
（Ⅰ）如果对任意2
[1,2],()x f x a ∈>恒成立，求实
数a 的取值范围；
（Ⅱ）设实数,,p q r 满足：,,p q r 中的某一个数恰
好等于a ，且另两个恰为方程()0f x = 的两实根，判断①p q r ++，②2
22
p
q r ++，③3
33
p
q r ++是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数()g a ，并求()g a 的最小值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g a ，设1()[()27]6
H a g a =--，数列{}n
a 满足1
()
n n a
H a +=
*()
n N ∈，且1
(0,1)a ∈，试
判断1n a +与
n a 的大小，并证明.
江苏省南京市2010届期末市统测模拟试题 2010.1
参考答案
1、既不充分也不必要 2.、π2 3、 -20 4、 445或- 5、 54 6.、31
7、18 8、
543+ 9、 1 10、0 11、-1 12 、7 13、6 14、15
(7) 15. 解：（Ⅰ）()f x =sin cos cos sin cos 46464
x x x πππππ
-- =33cos 2424
x x ππ
-
=3sin()
43
x ππ
-
故
()
f x 的最小正周期为T =
24
π
π
=8………………6分 (Ⅱ)解法一：
在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于
1
x =的对称点(2,())x g x - .
由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，
从而
()(2)sin[(2)]
43
g x f x x ππ
=-=--
3sin[]
243
x π
π
π
--
3)
43
x ππ
+………………10分
当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤
，因此()y g x =在区间4
[0,]3
上的最大值为
max 3
33
2
g π
==
………………14分
解法二：
因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2
[,2]3
，且()y g x =与()y f x =的图象关于
x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3
上的最大值为()
y f x =在2[,2]3
上的最大值 由（Ⅰ）知()f x ＝
3sin()
43
x ππ
-
当223x ≤≤时，6436
ππππ
-≤-≤ 因此()y g x =在4
[0,]3
上的最大值为
max 6
2
g π
==
.
16. 证明:（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A 1
B 1
C 1
D 1
中，
取A 1B 1的中点F 1，
连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD=//A 1F 1，A 1F 1
CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， ………………4分
又因为E 、E 1
分别是棱AD 、AA 1
的中点，所以
EE 1//A 1D ，
所以CF 1//EE 1，又因为1
EE ⊄平面FCC 1，1
CF ⊂平面
FCC 1
，
所以直线EE 1
//平面FCC 1
.………………7分
（Ⅱ）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,
所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形， ………………10分
60BCF ∠=︒
,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒
E A B C
F E A B C
D D F
E A B C
F E A B C D D
所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C,
所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面
D 1AC
⊥平面
BB 1C 1C. ………………14分
17. 解（Ⅰ）因2
()(0),()2f x ax
bx k k f x ax b
'=++>=+故 又
()
f x 在x=0处取得极限值，故
()0,
f x '=从而
b =………………3分
由曲线y=()f x 在（1，f （1））处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知 该
切
线
斜
率
为
2
，
即
(1)2,f '=有2a=2,从而a=1
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2()(0)
x
e g x k x k
=>+ 222
(2)
()(0)()
x e x x k g x k x k -+'=>+
令2
()0,20
g x x
x k '=-+=有……………8分
（1）当440,k '∆=-<即当k>1时，g (x)>0在R 上恒成立，
故函数g(x)在R 上为增函数
………………10分
（2）当
440,k ∆=-=即当k=1时，
2
22
(1)()0(0)()x e x g x x x k -'=>≠+
K=1时，g （x ）在R 上为增函数 (12)
分
（3）440,k ∆=->即当0<k<1时，方程2
20
x x k -+=有两个不相等
实根
1211,11x k x k
=-=-当(,11)()0,(),11)x k g x g x k '∈-∞->-∞-是故在（上为增
函数
当11,11x k k ∈
--+-（）时，()0,g x '<故()11,11g x k k -
-+-在（）
上
为减函数
11x k ∈+-∞（，+）
时，()0,g x '>故()11g x k +
-∞在（，+）
上为增函
数………………14分 18. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为
12
2
22=+b y a x (a >b >0) ，
由已知 ,2
1,2==
=a c e a
∴2
221,3,
c b a c ==-= (3)
分 ∴
椭
圆
方
程
为
13
42
2=+y x ． ………………4分
（Ⅱ）解法一
椭圆右焦点()0,1F ． 设直线
P Q
方程为
1
x my =+（
m
∈
R ）． ………………5分
-
由
22
1,1,43
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 得()0
964322
=-++my y m
．①
显然，方程①的0>∆． 设
()()
2211,,,y x Q y x P ，则有
4
39
,43622
1221+-=+-
=+m y y m m y y ． -
()()(
)
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
++=
-+=
433643*********
2
212
m m m m y y m
PQ
()()
4
3112431
12
2
22
2
2
2++⨯=++=m m m
m
．………………8分
∵724=PQ ， ∴
7
24
4311222=
++⨯m m ．
解得1±=m ． ∴直线PQ 方程为
1
+±=y x ，即
1=-+y x 或
1=--y x ． ………………10分 解法二： 椭圆右焦点()0,1F ．
当直线的斜率不存在时，3
=PQ ，不合题
意．………………5分
设直线P Q 方程为)1(-=x k y ，
由
()⎩⎨⎧=+-=,
1243,12
2y x x k y 得()0
124843222
2
=-+-+k x k x
k ． ①
显然，方程①的0>∆．
设()()2
2
1
1
,,,y x Q y x P ，
则
2
2212
2214312
4,438k k x x k k x x +-=⋅+=+．
()()
[]2
12
2
1
2
41x x x x k PQ ⋅-++=
(
)⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=
222
222
4312444381k k k k k
=()()
3
411234112
2
22
2
22
++=++k k k k ．………………8分
∵724=PQ ， ∴
7
24
3411222=++k k ，解得1±=k ．
∴直线
PQ
的方程为()
1-±=x y ，即
1=-+y x 或
1=--y x ．………………10分
（Ⅲ）APQ ∆不可能是等边三角形．
如果APQ ∆是等边三角形，必有AQ AP =， ∴()
()2
2
2
2212
1
22y x y x ++=++，
∴()()()()0
42121212
1
=-++-++y y y y x x x
x ，
∴()[]()()()062
1
2
1
2
1
2
1
=-++-++y y y y y y m y y m ， ∵2
1
y y
≠，
∴()
()0
61212
=+++m y y m ，
∴()064
361
2
2
=++-+m m m m
，
∴0=m ，或1
4
31
22=++m m （无解）． (14)
分
而当0=m 时，353,PQ AP AQ ===，不能构成等边三角形．
∴APQ ∆不可能是等边三角形．………………16分
19. 解（Ⅰ）由题意，得11
23n
a
n =
-，解11323n -≥，得20
3
n ≥
. ∴11
323
n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37
b =.………………4分
（Ⅱ）由题意，得21
n
a n =-，
对于正整数，由n
a
m
≥，得1
2m n +≥.
根据m
b 的定义可知 当21m k =-时，()
*m
b k k N =∈；当2m k =时，()
*1m
b
k k N =+∈.
∴()()
1
2
21321242m m m b b b b b b b b b -++
+=+++++++
()()1232341m m =+++
+++++
++⎡⎤⎣⎦
()()
213222
m m m m m m
++=+=+.………………8分
（Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m
+≥及0p >得m q
n p -≥.
∵32()
m
b
m m N *=+∈,根据m
b 的定义可知，对于任意的正
整数m 都有
3132m q
m m p
-+<
≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整
数m 都成立.
当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231
p q
m p +≤--）， 这与上述结论矛盾！………………13分
当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得21
33
q -≤<-. ∴ 存在p 和q ，使得32()
m
b
m m N *=+∈；
p 和q 的取值范围分别是
1
3
p =
，
2133
q -≤<-..………………16分
20. 解：（Ⅰ）
22()(3)30
f x a x a x a >∴+-->
(3)()0
x x a ∴-+>对[1,2]x ∈恒成立，
又
30
x -<恒成立，0x a ∴+<对[1,2]x ∈恒成立，
,
a x ∴<-又[2,1]x -∈--， 2.
a ∴<-………………5分
（Ⅱ）由2
2(3)4(3)0
a a a ∆=---≥得：13a -≤≤，
不妨设a p =，则q ，r 恰为方程两根，由韦达定
理得： ①2
3,3,
p q r qr a
a ++==-
∴
②2
2222222()2(3)2(3)9
p
q r a q r pr a a a a ++=++-=+---=
③而3
33333()
p
q r a q r ++=++………………8分
3
2
2
()[]a q r q qr r =++-+ 32
3927.a a =-+
设32()3927g a a a =-+，求导得：2
()9189(2)
g a a
a a a =-=-
当[2,3]a ∈时，()0,()g a g a >递增；当[0,2]a ∈时，()0,()g a g a <递减；
当[1,0]a ∈-时，()0,()g a g a >递增，
()
g a ∴在
[1,3]
-上的最小值为
min{(1),(2)}min{15,15}15
g g -==………………10分
（Ⅲ）32
11()[()27](39),66
H a g a a a =--=-- 如果(0,1)a ∈，则231
()33(1)022
H a a a a a '=-=-> ()
H a ∴在(0,1)为递增函数，
3211
()((0),(1))(0,1),()(39)6
n n n n H a H H a H a a a +∴∈===--
12(0,1)(0,1)(0,1)n a a a ∴∈⇒∈⇒
⇒∈⇒
又321131
(2)(1)0
222
n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=---<
1.n n a a +∴<………………16分。