江苏省上冈高级中学11-12学年高二数学下学期期中考试试题 理

高二年级期中考试数学试卷（理科）
时间：120分钟 总分：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数32z i =-的虚部为 .
2.曲线y=2x 3－3x 2
共有 个极值.
3在数学归纳法证明“1
2
11(1)1n n
a a a a a n a
+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式
的左边为
.
4．已知复数lg (lg )i z m n =+，其中i 是虚数单位．若复数z 在复平面内对应的点在直线
y x =-上，则mn 的值等于
.
5．若关于x 的方程2(12i)(31)i 0x x m ++--=有实根，则纯虚数m 等于 .
6．*11
1()1()23f n n n =+
+++∈N ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2
f >，(16)3f >，7
(32)2f >
．由此推测，当2n >时，有 ． 7．已知i
1i a z -=-，其中0a >，i 为虚数单位．复数(i)z z ω=+的虚部减去它的实部所得
的差为3
2，则a = ．
8．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，
上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 ．
9.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“ ”.
10．已知三次函数3221
()(41)(1527)23
f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，
∞∞上是增函数，则m 的取值范围为 ． 11．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=
．
12．已知2
()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，
上是增函数，则a 的取值范围是 ．
13．已知函数32()39f x x x x m =-+++在区间[22]-，
上的最大值是20，则实数m 的值等于 ．
14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：
请问：数字100所代表的图形有 个小方格．
班级_ 姓名_ 准考证号_ 座位号_
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题14分）已知复数2(1i)3(1i)
2i
z ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b
+的值．
16（本小题14分）已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．
17．（本小题15分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
18．（本小题15分）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =⋅；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中p q ，均为常数，且1q >）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数的定义域是[05]，）．其中0x =表示4月1日，1x =表示5月1日，…，依此类推；
（3）为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌．
19．（本小题16分）已知函数2
1()ln 2
f x x x =
+． （1）求函数()f x 在区间[1
e]，上的最大、最小值； （2）求证：在区间(1
)+∞，上，函数()f x 的图象在函数3
2()3
g x x =的图象的下方．
20．（本小题16分）已知函数3
()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是
()f x 的导函数．
（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；
（2）设2
a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．
高二年级期中考试数学试卷（理科）答题纸Array时间：120分钟总分：160分命题人：许卫兵
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在横线上．
1．______________________； 2．______________________；
3．______________________； 4．______________________；
5．______________________； 6．______________________；
7．______________________； 8．______________________；
9．______________________； 10．______________________；
11______________________； 12．______________________；
13．______________________； 14．______________________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
高二数学期中考试答案
1. -2
2. .两_个极值
3. 1a +
4. 1
5.
1i 12
6. 2
(2)2
n
n f +>
7.2 8. 57 9. 夹在两个平行平面间的平行线段相等； 10. 42≤≤m 11. 3 12. 12a <≤ 13. 2- 14. 20201 15. 解：2i 33i 3i
1i 2i 2i
z +--=
==-++，
2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，
()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=．
16. 解：由于2y x bx c =++，所以2y x b '=+，所以抛物线在点(1
2)，）处的切线的斜率为2k b =+，因为切线与直线20x y ++=垂直，所以21b +=，即1b =-，又因为点(12)，在抛
物线上，所以12b c ++=，得2c =．因为22y x x =-+，于是函数没有最值，当1
2
x =时，有最小值
74
． 17. 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯，3111234a ==⨯，411
2045
a ==⨯； （2）猜想：1
(1)
n a n n =
+．
证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*
()n k k =∈N 时，猜想成立，
即1
(1)
k a k k =
+．
那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11
k k k
S ka k =-=+， 所以
111(1)1
k k k
a k a k +++=-++， 从而111
(1)(2)(1)[(1)1]
k a k k k k +=
=+++++．
即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．
18. 解：（1）应选2()()f x x x q p =-+．
因为①()x f x p q =中单调函数；②2()1f x px qx =++的图象不具有选升再降后升特征；
③2()()f x x x q p =-+中，22()34f x x qx q '=-+，令()0f x '=，得x q =，3
q
x =
，()f x '有两个零点．
出现两个递增区间和一个递减区间，符合价格走势；
（2）由(0)4f =，(2)6f =，得2
462(2)p q p =⎧⎨=-+⎩，
，
解得43.
p q =⎧⎨
=⎩，
（其中1q =舍去）
2()(3)4f x x x ∴=-+，即32()694(05)f x x x x x =-++≤≤；
（3）由()0f x '<，解得13x <<，
所以函数32
()694f x x x x =-++在区间(1
3)，上单调递减，故这种水果在5月，6月份价格下跌．
19. （1）解：由已知1()f x x x
'=+
， 当[1
e]x ∈，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在区间[1
e]，上单调递增，
所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2
e (e)12
f =+，1(1)2f =，
所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2
e 12
+，最小值为12；
（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则22
1(1)(12)()2x x x F x x x x x
-++'=+-=．
因为1x >，所以()0F x '<，
所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，
又1(1)06F =-
<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312
ln 23
x x x +<， 所以在区间(1
)+∞，上函数()f x 的图象在函数32
()3
g x x =图象的下方． 20. 解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．
对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，
(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨
-<⎩，，即2
232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，
，
解得2
13
x -
<<． 故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <； （2）2
2
()33f x x m '=-，
①当0m =时，3
()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点；
0m ≠
3
2()()()311f x f m m m m ∴==--<-极小，
又
()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，
∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．
当x m <-时，恒有()()f x f m -≤， 由题意，得()3f m -<，
即3
2
21213m m m -=-<，
解得3
((02)m ∈，．
综上，m 的取值范围是(．。