河南省新乡市高一数学下学期期中试题 文

河南省新乡市2016-2017学年高一数学下学期期中试题文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则3+2=（）
A．（7，2）B．（7，﹣14）C．（7，﹣4）D．（7，﹣8）
2．已知，则cos（π﹣2α）=（）
A．B．C．D．
3．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，
4．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）
A．B．C． D．
6．函数函数y=sin（3x+）cos（x﹣）+cos（3x+）sin（x﹣）的图象的一条对称轴的方程是（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
7．求值=（）
A．1 B．2 C．D．
8．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值可以是（）
A． B． C．D．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）
A．3 B．C．D．3
10．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3，•=2，则•的值是（）
A．8 B．12 C．22 D．24
12．已知△ABC为等腰直角三角形，且CA=CB=3，M，N两点在线段AB上运动，且MN=2，
则•的取值范围为（）
A．[12，24] B．[8，12] C．[8，24] D．[8，17]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ的值为．
14．已知，，则cosα= ．
15．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是．
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，求c的值．
18．设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x），x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积
为，求c的值．
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
20．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；
（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．
21．已知函数，其最小正周期为．（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间
上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
22．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求•+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．
2016-2017学年河南省新乡一中高一（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则3+2=（）
A．（7，2）B．（7，﹣14）C．（7，﹣4）D．（7，﹣8）
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】通过向量平行的坐标表示求出m的值，然后直接计算3+2的值．
【解答】解：因为平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，
所以1×m﹣（﹣2）×2=0，
解得m=﹣4，
所以=（2，﹣4），
所以3+2=3（1，﹣2）+2（2，﹣4）=（7，﹣14）．
故选：B．
2．已知，则cos（π﹣2α）=（）
A．B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式化简得，然后利用二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1就可求得结果．
【解答】解：∵∴
∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，
故选A
3．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，2）确定φ，推出选项．
【解答】解：由图象可知： T==，∴T=π，
∴ω==2；
∵（，2）在图象上，
所以 2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．
∵﹣＜φ＜，
∴k=0，
∴φ=．
故选：A．
4．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最
大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）
A．B．C． D．
【考点】HS：余弦定理的应用．
【分析】由已知中△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，根据余弦定理，我们可以求出C角的余弦值，进而根据C为三角形内角，解三角方程可以求出C角．
【解答】解：∵，
∴cosC==﹣
又∵C为三角形内角
∴C=
故选D
6．函数函数y=sin（3x+）cos（x﹣）+cos（3x+）sin（x﹣）的图象的一条对称轴的方程是（）
A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】将三角函数进行化简，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】解：y=sin（3x+）cos（x﹣）+cos（3x+）sin（x﹣）=sin（3x++x
﹣）=sin（4x+），
由4x+=kπ+，得x=，k∈Z，
当k=0时，x=，
故选：C．
7．求值=（）
A．1 B．2 C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】需利用公式1﹣sin2α=（sinα﹣cosα）2、cos2α=cos2α﹣sin2α、cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）解决．
【解答】解：原式
====
===．
故选C．
8．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值可以是（）
A． B． C．D．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得θ的值，可得φ的值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，
若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则sinθ=，∴θ=，
再根据sin（﹣2φ+θ）=sin（﹣2φ+）=，
则φ的值可以是，
故选：B．
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2=（a ﹣b ）2+6，C=，则
△ABC 的面积（ ）
A ．3
B ．
C ．
D ．3
【考点】HR ：余弦定理．
【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：∵c 2
=（a ﹣b ）2
+6， ∴c 2=a 2﹣2ab+b 2+6， 即a 2
+b 2
﹣c 2
=2ab ﹣6，
∵C=，
∴cos
=
=
=，
解得ab=6，
则三角形的面积S=absinC==
，
故选：C
10．已知△ABC 和点M 满足．若存在实数m 使得
成立，则m=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【考点】98：向量的加法及其几何意义．
【分析】解题时应注意到，则M 为△ABC 的重心．
【解答】解：由知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，
则=
=
，
所以有，故m=3，
故选：B ．
11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5， =3
，
•
=2，则
•
的
值是（ ）
A．8 B．12 C．22 D．24
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算的定义，用、表示出、，
代入•=2，即可求出•的值．
【解答】解：如图所示，
平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5， =3，
∴=+=+，
=+=﹣，
∴•=（+）•（﹣）
=﹣•﹣
=52﹣•﹣×82=2，
∴•=22．
故选：C．
12．已知△ABC为等腰直角三角形，且CA=CB=3，M，N两点在线段AB上运动，且MN=2，
则•的取值范围为（）
A．[12，24] B．[8，12] C．[8，24] D．[8，17]
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】如图所示，设M（x，y），N（x+，y﹣），0≤x≤2．直线AB的方程为：x+y=3．可
得•=+8，再利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，
设M（x，y），N（x+，y﹣），0≤x≤2．
直线AB的方程为：x+y=3．
则•=+y
=+
=2x 2
﹣4x+12
=+8，
∵0≤x ≤2．
∴当x=时，
•
有最小值8．
当x=2或0时，
•
有最大值12．
∴
•
的取值范围为[8，12]．
故选：B ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（ +λ）⊥，则λ
的值为 ﹣
．
【考点】9R ：平面向量数量积的运算． 【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ． 【解答】解： +λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ
）•=0，即3（1+λ）
+8λ=0，解得λ=﹣．
故答案为﹣．
14．已知
，
，则cos α=
．
【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．
【分析】先确定α+
的范围，求得cos （α+
）的值，进而利用余弦的两角和公式求得
答案．
【解答】解：∵，，
∴∈（﹣，），
∴cos（）==，
∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）
sin==．
故答案为：．
15．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣3﹣m）若∠ABC为锐角，则实
数m的取值范围是（﹣，）∪（，+∞）．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】若∥，求得 m=．求出和的坐标，由•=3+3m+m＞0，可得m＞
﹣．由此可得当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围．
【解答】解：∵=（3，1）=（2﹣m，1﹣m），若∥，则有3（1﹣m）=2﹣m，解得
m=．
由题设知， =（﹣3，﹣1），=（﹣1﹣m，﹣m），
∵∠ABC为锐角，∴•=3+3m+m＞0，可得m＞﹣．
由题意知，当m=时，∥．
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是（﹣，）∪（，+∞），
故答案为（﹣，）∪（，+∞）．
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是[1，2] ．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值
求解，可得答案．
【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤
可得A（1，0），B（﹣，），
由若=x（1，0）+y（﹣，）得，
x﹣y=cosθ， y=sinθ，
∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），
∵0≤θ≤，
∴≤θ+≤，
∴1≤2sin（θ+）≤2
∴x+y的范围为[1，2]，
故答案为：[1，2]
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，求c的值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosA的值代入得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：∵在△ABC中，a=，b=3，A=30°，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
即3=9+c2﹣3c，
整理得：（c﹣）（c﹣2）=0，
解得：c=或2．
18．设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x），x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积
为，求c的值．
【考点】GR：两角和与差的正切函数；9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由已知向量的坐标利用平面向量的数量积运算得到f（x），再由辅助角公式化积，结合复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；
（2）由f（A）=2求得角A，再由结合三角形的面积求得c值．
【解答】解：（1）f（x）==cos2x+=+1，
令，
解得：．
故f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；
（2）由，得．
而A∈（0，π），∴（），
∴2A+，得A=．
又，
∴c=．
19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，
b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac 的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
20．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；
（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同
角三角函数基本关系式化简可得tanB=，从而可求cosB，利用余弦定理即可解得c的值．（2）由降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，两角差的正弦函数公式化简等式可得2sin
（2A﹣）﹣1=0，及，可得A的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵a=bcosC+csinB，
∴sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∴tanB=，
∴∠B=．
∵b2=a2+c2﹣2accosB，
∴c2﹣2c﹣3=0，
∴c=3．
（2）∵B=．
∴sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）
=sin（2A﹣）﹣1+cos（2C﹣）
=sin（2A﹣）+cos（﹣2A﹣）﹣1
=sin（2A﹣）﹣cos（2A﹣）﹣1
=2sin（2A﹣）﹣1，
∴由2sin（2A﹣）﹣1=0，及，可得A=．
21．已知函数，其最小正周期为．（I）求f（x）的表达式；
（II）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间
上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦；GT：二倍角的余弦；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的表达式为2sin（2ωx+），再根
据它的最小正周期为，求得ω=2，从而求得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得，由题意可得函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数k 的取值范围．
【解答】解：（I）
=
．…
由题意知f（x）的最小正周期，，所以ω=2…
所以，…
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以…
因为0≤x≤，所以．
g（x）+k=0 在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=k在区间[0，]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象可知，或k=﹣1，
所以，或k=﹣1．…
22．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求•+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GD：单位圆与周期性．
【分析】（1）求出A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），然后求解•，以及平行四边形OAQP的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可．（2）利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值．
【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP 是平行四边形，
所以=+=（1+cosθ，sinθ）．
所以•=1+cosθ．
又平行四边形OAQP的面积为
S=|•|sin θ=sin θ，
所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．
又0＜θ＜π，
所以当θ=时，•+S的最大值为+1．
（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），
因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．
又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，
解得sin θ=，cos θ=，
所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．
所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．。