湖北省宜昌一中08-09学年上学期高一数学期中考试

某某市一中2008年秋季学期高一期中考试数 学 试 题
命题教师：吴海涛 审题教师：肖华 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷，，第I 卷将正确的选项涂在答题卡的相应的位置上， 第II 卷直接做在答案卷上．
第I 卷 (选择题 50分)
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，每题有且仅有一个答案正确） 1．设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}, B={2, 3}，则A ∩C U B=（ ）
A ．{4，5}
B ．{2，3}
C ．{1}
D ．{2}
2.函数24x y -=
的定义域是（ ）
A ．(]2,-∞-
B ．[)+∞,2
C ．)22(，-
D ．[]22，
- 3．下列函数中,在区间(0,)+∞上是增函数的是（ ）
A ．42
+-=x y B ．x y -=3C ．x
y 1
=
D ．x y = 4．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是( ) A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥
5．“2
560x x -+<”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. 23x <<
B. 13x <<
C. 1x <
D. 3x >
6．定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)2(=f ，且在区间]0,(-∞上单调递减，则不等式
0)(<x f 的解集为（ ）
A ．]2,2[-
B ．)0,2(-
C ．),2(+∞
D ．)2,2(-
7．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x
y 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为（ ）
A. 2
2+=x y B. 2
2+-=x y C. 2
2--=x y D. 2
2－x y =
8．关于x 的方程|x 2
－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 ( ) A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-
9．关于x 的不等式0>-b ax 的解集为(1, +∞)，则关于x 的不等式02
>-+x b
ax 的解集为（ ）
A ．)2,1(-
B ．),2()1,(+∞⋃--∞
C ．)
2,1(
D ．),1()2,(+∞⋃--∞
10．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={B A x B A x x ⋂∉⋃∈且 }，已知A={22x x y x -= },
B={0,1
22>-=x y y x x }，则A ×B 等于（ ）
A ．[0, 1]∪(2, +∞)
B ．[0, 1)∪(2, +∞)
C ．[0, 1]
D ．[0, 2]
第Ⅱ卷 (非选择题 100分)
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共 25分)
11．点(x,y )在映射f 下的象是(2x-y ,2x+y ),点(4,6)在映射f 下的原象为.
12．若x x x f 2)1(2
+=+，则)(x f ＝_______________.
13
．已知函数1()1,1x f x x x
≤=⎨>⎪⎩，则=)]4([f f .
14．已知函数),21(1244≤≤-+⋅-=x y x
x
则函数的值域为.
15．设定义域为R 的函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=2)(x 0 2)(x |2x |1
)(x f ，若关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f
有3个不同的实数解321x x x 、、，则2
321)(x x x ++ =____________．
三、解答题（本大题共6小题，共计75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本大题满分12分)
已知全集U ＝R, 集合A ＝12x x ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
-<，集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>=12
5＋x x
B ,求A ∩B .
17．(本大题满分12分)
已知命题:p m 的值使得x
m x f )32()(-=在R 上单调递增；命题:q 方程
244(2)10x m x +-+=无实根.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假.某某数m 的取值X 围.
18．(本大题满分12分)
已知点)0,1(在函数)10()(2≤≤-+=x x bx c x f 的图象上,点)0,3( 在其反函数的
图象上.
（1）求c b ,的值； （2）求)(x f 的反函数)(1
x f
-.
19．(本大题满分12分)
2007年12月29日第十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了《关于修改〈中华人民某某国个人所得税法〉的决定》，将个人所得税工资、薪金所得减除费用标准由每月1600元提高到每月2000元，同时明确自2008年3月1日起施行。

即公民全月工资，薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分应纳税，此项税款按下表分段累进计算：
注明：上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额．例
如某人月工资、薪金收入为3000元，减去2000元，应纳税所得额为1000元，由税率表知其中500元税率为5%，另外500元的税率为10%，所以此人应纳个人所得税为500×5%＋500×10%＝75元。

（1）请写出月工资，薪金的个人所得税y 关于工资，薪金收入x(0<x ≤5000)的函数表达式；
（2）某高中数学教师在2008年10月份缴纳的个人所得税是40元，试求他这个月的工资，薪金收入是多少？
20．(本大题满分13分)
设函数()y f x =， 对于任意实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时()0f x <，3
1)1(-=f .
（1）求()0f 的值并证明()f x 为R 上的奇函数. （2）求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. （3）解关于x 的不等式) )()(2
1
)()(2122为正数（b b f x b f x f bx f ->-
21．(本大题满分14分)
已知函数x
a
x x f +=22)(，且3)1(=f ,
（1）试求a 的值；
（2）用定义证明函数)(x f 在[
2
2
, +∞)上单调递增；
（3）设关于x 的方程b x x f +=)(的两根为21x x 、，试问是否存在实数t ，使得不等
式212
42x x m t m -≥+⋅-对任意的∈b [2, 13]及⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,2
1m 恒成立？若存在，求出t
的取值X 围；若不存在说明理由.
高一数学试题答案
命题人：吴海涛 审题人：肖华
第I 卷 (选择题 50分)
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，每题有且仅有一个答案正确）
第Ⅱ卷 (非选择题 100分)
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分)
11.)1,2
5( 12. 1)(2
-=x x f 13. 2
1 14. []1,3- 15. 36
三、解答题（本大题共6小题，共计75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本大题满分12分)
解：{}
31<<-=x x A …………………………4分
{}32B <<-=x x …………………………8分 {}31B A <<-=⋂x x …………………………12分
17．(本大题满分12分)
已知命题:p m 的值能够满足x
m x f )32()(-=在R 上单调递增；命题:q 方程
244(2)10x m x +-+=无实根.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假.某某数m 的取值X 围.
解：命题:p {}
2>=m m A …………………………2分
命题:q {}
31B <<=m m …………………………4分
“p 或q ”为真，“p 且q ”为假,∴p 真q 假或者p 假q 真 ……………6分
若p 真q 假，则3≥m ； …………………………8分 若p 假q 真，则21≤<m ……………………10分
综上：实数m 的取值X 围为{}
321≥≤<m m m 或…………………12分
18．(本大题满分12分)
已知点)0,1(在函数)10()(2≤≤-+=x x bx c x f 的图象上,点)0,3( 在其反函数的图象上.
（1）求c b ,的值； （2）求)(x f 的反函数)(1
x f
-.
解：（1） )0,1(在)(x f 上，)3,0(也在)(x f 上，3)0(01)1(===-+=
∴c f b c f 且
∴9 8=-=c b ，…………………………6分
（2） 89)(2x x x f --=)10(≤≤x ∴[]3,0)(∈x f ………………9分
故4 25)(21－x x f -=-，[]3,0∈x ……………………12分
19．(本大题满分12分)
2007年12月29日第十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了《关于修改〈中华人民某某国个人所得税法〉的决定》，将个人所得税工资、薪金所得减除费用标准由每月1600元提高到每月2000元，同时明确自2008年3月1日起施行。

即公民全月工资，薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分应纳税，此项税款按下表分段累进计算：
注明：上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入为3000元，减去2000元，应纳税所得额为1000元，由税率表知其中500元税率为5%，另外500元的税率为10%，所以此人应纳个人所得税为500×5%＋500×10%＝75元。

（1）请写出月工资，薪金的个人所得税y 关于工资，薪金收入x(0<x ≤5000)的函数表达式；
（2）某高中数学教师在2008年10月份缴纳的个人所得税是40元，试求他这个月的工资，薪金收入是多少？
解；（1）由题设条件，得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<⨯-+≤<⨯+≤<⨯≤<=5000)
x (4000 15%00)04(x 17500)04x (2500
10%2500)-(x 252500)x (2000 5%2000)-(x 2000)x (0 0
y ，
化简得：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=5000)x (4000
425-0.15x 00)04x (2500
225-0.1x 2500)x (2000 100-.05x 02000)x (0 0
y ……………………8分
（2）由（1）知，当0<x ≤2000时，y=0；当2000<x ≤2500时，0<y ≤25；当2500<x ≤
4000时，25<y ≤175，所以由题设，0.1x-225=40，解得x=2650，故此人这个月的工资，薪金收入是2650元． ……………………12分
20．(本大题满分13分)
设函数()y f x =， 对于任意实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时()0f x <，3
1
)1(-=f .
（1）求()0f 的值并证明()f x 为R 上的奇函数. （2）求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. （3）解关于x 的不等式
) )()(2
1
)()(2122为正数（b b f x b f x f bx f ->- 解：（1）令0==y x ，则)0()0()0(f f f +=，∴0)0(=f
再令x y -=，则0)()()0(=-+=x f x f f ，
即)()(x f x f -=-，∴()f x 为奇函数. ……………………4分
（2）任取21x x >，那么021>-x x ，则0)()()(2121<-=-x x f x f x f ，所以()f x 在 R 上单调递减.∴当∈x []3,3-时，有)3()()3(-≤≤f x f f . 而1)1(3)1()2()12()3(-==+=+=f f f f f ,
∴()f x 在[]3,3-上的最大值为1和最小值为－1. ……………………8分
（3）不等式
)()(2
1
)()(2122b f x b f x f bx f ->-可化为 )(2)()(2)(22b f x b f x f bx f ->-即 )2()()2()(22b f x b f x f bx f ->-
也即 )2()2(2
2
b x b f x bx f ->-而()f x 在R 上单调递减.
∴ 2222b x b x bx -<-∴ 02)2(22<++-b x b bx （为正数b ）
∴
0)2
()(2)2(2<-⋅-=++-b
x b x x b b x
①当 20<
<b 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<b x b x 2
②当 2=b 时，不等式的解集为Φ
③当 2>
b 时，不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<b x x b 2 ……………………13分
21．(本大题满分14分)
已知函数x
a
x x f +=22)(，且3)1(=f ,
（1）试求a 的值；
（2）用定义证明函数)(x f 在[
2
2
, +∞)上单调递增；
（3）设关于x 的方程b x x f +=)(的两根为21x x 、，试问是否存在实数t ，使得不等
式212
42x x m t m -≥+⋅-对任意的∈b [2, 13]及⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,2
1m 恒成立？若存在，求出t
的取值X 围；若不存在说明理由.
21．解：（1）∵f(1)=3, ∴a=1, ∴x
x x f 1
2)(2+=……………………3分
（2）∵a=1, ∴x
x x f 12)(2+= ， 设22
≤x 1<x 2,
∴f(x 2)-f(x 1)=2x 2+
2x 1-(2x 1+1x 1)=2(x 2-x 1)+2121x x x x -=(x 2-x 1)(2-2
1x x 1
), ∵x 2>x 1≥
22, ∴x 1x 2≥x 2
1≥2
1, ∴0<21x x 1<2，∴2-21x x 1>0又x 2-x 1>0，
∴f(x 2)-f(x 1)>0, ∴f(x 2)>f(x 1), ∴f(x)在2
2
[
, +∞)上单调递增． …………8分
（3）∵f(x)=x+b, ∴x 2
-bx+1=0, ∴|x 1-x 2|=4b x 4x )x (x 221221-=-+
又2≤b ≤13，∴0≤|x 1-x 2|≤3，故只须当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,2
1m ，使得3422
≥+⋅-m t m 恒成立
即0122
≥+⋅-m t m 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21m 恒成立，也即
t 122≥+m m 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,21m 恒成立， ∴令m m m f 12)(2+=，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,21m 由第（2）问可知m m m f 12)(2+=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,22上单
调递增，同理可得m m m f 1
2)(2+=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈22,21m 上单调递减。

∴
[]22)2
2
(
)(min ==
f m f ∴22≤t 故t 的取值集合是{}
22 ≤t t ………………14分。