2022年陕西省榆林市高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年陕西省榆林市高考数学三模试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，
，则
( )
A. B.
C.
D.
2.若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知抛物线上的点
到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为
( )A. 6 B. 4
C. 3
D. 2
4.已知函数，“
”是“
是
的极小值点”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件5.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，，是两个不同的平面．若
，
，
，
，则( )
A.
B. C.
D.
6.2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科夫斯基公式：
，其中
，
分别为在燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量，
是燃料喷出的速度，
是
火箭的初速度，
是燃料完全燃尽时火箭的速度．现准备发射一个二级火箭初速度，每级火箭的
箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带燃料的质量均为250吨，燃料喷出的速度为
，先点燃
第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃
料燃尽时，火箭的速度约为参考数据：，
( )
A. B.
C.
D.
7.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若的面积为
，
，
，
则( )
A. 10
B. 3
C.
D.
8.某公司计划招聘一批新员工，现有100名应届毕业生应聘，通过考试成绩择优录取．这100人考试成绩的频率分布直方图如图所示，若该公司计划招聘60名新员工，则估计新员工的最低录取成绩为( )
A. 75分
B. 78分
C. 80分
D. 85分
9.四边形ABCD为菱形，，，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的
最小值为( )
A. B. C. D.
10.在矩形ABCD中，以A，B为焦点，经过C，D两点的椭圆和双曲线的离心率分别为，，则( )
A. B.
C. D.
与2的大小关系不确定
11.已知是定义在R上的函数，是的导函数，且，，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则
的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.
14.已知，则______.
15.在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一
条最短路径，从A地出发去往B地，且不经过C地，则不同的路径共有______
条．
16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是_________.
三、解答题：本题共7小题，共82分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题12分
某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分满分100分绘制了如图所示的茎叶图．
根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可并说明理由．
将这40名顾客的评分的中位数记为m，并将评分超过m和不超过m的顾客数填入下面的列联表：
超过m不超过m
男顾客
女顾客
根据中的列联表，能否有的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关？
附：，其中
18.本小题12分
已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和
19.本小题12分
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，，，底面证明：平面CEF；
求异面直线BD与CE所成角的余弦值．
20.本小题12分
已知椭圆E：的离心率为，是E的左焦点，直线l：与E相交于A，B两点，直线AF与E的另一交点为M，直线BF与E的另一交点为当时，的面积为
求E的方程；
证明：直线MN经过定点
21.本小题12分
已知函数，
讨论的单调性；
若，求a的取值范围．
22.本小题10分
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
求C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
若P为C上任意一点，A为l上任意一点，求的最小值．
23.本小题12分
已知函数
当时，求不等式的解集；
若，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
，
，
故选：
化简集合A、B，再求并集即可．
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得，
故实数a的取值范围为
故选：
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：抛物线上的点到其焦点的距离为2，
则，
解得，
则该抛物线的焦点到其准线的距离为，
故选：
根据抛物线的定义求得答案．
本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线的定义，关键是掌握抛物线的定义．
4.【答案】C
【解析】解：①若时，
当时，，当时，，
是的极小值点，
②若是的极小值点，
则，
经检验知，符合题意，
综上，是是的极小值点的充要条件，
故选：
利用极值点的求法，充要条件的定义判定即可．
本题考查了极值点的求法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：由，，得，
由，，
又，或l与n相交或l与n异面．
正确的选项是
故选：
由已知可得，进一步得到，再由，可得l与n的关系，则答案可求．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：第一级火箭燃料燃尽时，火箭的速度，
第二级火箭燃料燃尽时，火箭的速度，
故选：
第一级火箭燃料燃尽时，，，，代入求得火箭的速度，第二级火箭燃料燃尽
时，，，，代入计算得答案．
本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为，
所以，
所以的面积，
所以，
因为，
所以，，
由余弦定理得，
故
故选：
由已知先求出，然后三角形面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了三角形面积公式及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为，，故录取成绩在内，
设最低录取成绩为x分，
则，
解得
故选：A
利用频率直方图求分位数即可．
本题考查了百分位数的求法，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，
，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
设，
则，，
则，
即当时，的最小值为，
故选：
先建系，再标出点的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：因为椭圆和双曲线的焦点相同，所以可设它们的半焦距为c，设椭圆的长半轴为，
双曲线的实半轴长为，则，，
则，，
则，又，，
故选：
设它们的半焦距为c，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则，
，可得，从而可得结论．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题．
11.【答案】D
【解析】解：令，则，
因为，
所以，
所以，
所以是增函数，
故，即，
所以
故选：
构造函数，利用导数研究其单调性，即可得，进而得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题得关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：由，得，
则，
解得，，
又，
，
故，即，
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为
故选：
由题可得，进而可得，即得．
本题考查了正弦函数的单调性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，
如阴影部分所示：
目标函数可化为，
平移目标函数知，当直线经过点D时，直线的截距最小，
此时z最小．
由，解得，
代入目标函数得
即的最小值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则
故答案为：
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15.【答案】66
【解析】解：由A到B，不同的路径有条，
又从A地出发去往B地，且经过C地，则先由A到C，不同的路径有条，再由C到B，不同的路径有条，
则从A地出发去往B地，且经过C地，不同的路径有条，
即从A地出发去往B地，且不经过C地，则不同的路径共有条．
故答案为：
先求出从A地出发去往B地，且经过C地的不同的路径条数，再求出A到B的不同的路径条数，然后求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：由三视图得该几何体是三条侧棱互相垂直的三棱锥，长方体的一个角，三条棱长分别为3，4，5，
几何体扩展为长方体，三棱锥的外接球与扩展的长方体的外接球相同，对角线的长度就是外接球的直径，设几何体外接球的半径为R，
，
即，
故外接球的体积是
故答案为：
由三视图判断出几何体是三棱锥，三条侧棱互相垂直，几何体扩展为长方体，三棱锥的外接球与扩展的长方体的外接球相同，对角线的长度就是外接球的直径，代入球的体积公式进行求解．
本题考查了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，还需要求出外接球的半径，进而求出它的体积，考查了空间想象能力．
17.【答案】解：男顾客对商场的服务质量更认可，理由如下：
由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，
故男顾客对商场的服务质量更认可．
由茎叶图可知，，
列联表如下：
超过m不超过m
男顾客 11 9
女顾客 713
，
没有的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关．
【解析】根据男顾客的评分更多集中在，女顾客的评分更多集中在，即可判断．求出中位数后，再结合茎叶图，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于中档题．
18.
【答案】解：当时，，所以；
当时，因为，所以，
两式作差得，即，
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
故，；
，
当n为偶数时，前n项和…
；
当n为奇数时，前n项和
则
【解析】运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等比数列的定义和通项公式可得所求；
求得，讨论n为偶数或奇数，结合数列的分组求和和等差数列的求和公式，奇数可得所求和．
本题考查数列的递推式的运用，以及数列的分组求和，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，化简运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】
解：取FC的中点H，BD中点O，
连接EH、AC、HO，
则，且，
由，，
则，且，
则四边形DEHO为平行四边形，
则，
又面CEF，BD不在面CEF内，
由线面平行的判定定理可得：平面CEF；
由可知异面直线BD与CE所成角的平面角为，
不妨设，
则，，
又，
即，
即，
即异面直线BD与CE所成角的余弦值为
【解析】先取FC的中点H，BD中点O，连接EH、AC、HO，证明四边形DEHO为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可；
由可知异面直线BD与CE所成角的平面角为，再求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角，属基础题．
20.【答案】解：当时，轴，且，
则
联立解得
故E的方程为
证明：设，，
联立方程组整理得，
则，
直线AF的方程为，
联立方程组整理得，
则，则，
同理可得，，，
则，
故直线MN经过定点
【解析】由时，的面积为3以及离心率为解方程即可求得E的方程；
设，，联立直线l和椭圆方程求得，，表示出直线AF的方程，联立椭圆方程求得M坐标，同理求得N坐标，利用，即可证明直线MN经过定点
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：因为，
所以，
若，则在上恒成立，
故在上单调递增，
若，则当时，，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由等价于，
令，函数，
则，由，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，
的取值范围为
【解析】由题可得，分，讨论，即得；
由题可得，构造函数，利用导数求函数的最值即得．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．
22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，转换为普通方程为；
直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为
；
设点，利用点到直线的距离公式；
当时，；
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：时，，
若，
时，，解得：，故解集为空集；
时，，解得：，故；
时，，解得：，故
综上，不等式的解集是
由，可得，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
当时，不等式恒成立，
当时，则，解得，
故a的取值范围为
【解析】代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
化简已知不等式可得，再利用绝对值不等式可得，解绝对值不等式即
可得解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查运算求解能力，属于中档题．。