高中数学 1.2.2 空间中的平行关系(3) 直线与平面平行的性质学案 新人教B版必修2

1.2.2 空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质
自主学习
学习目标
1．理解直线与平面平行的性质定理的含义．
2．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理． 3．会证明直线与平面平行的性质定理．
4．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题． 自学导引
直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和________________________________________________________________________．
(1)符号语言描述：________________. (2)性质定理的作用：
可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．
对点讲练
知识点一 利用性质定理证明线线平行
例1 如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
点评 线∥面――→转化
线面平行的性质线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定与性质是解决此类问题的关键．
变式训练1 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH. 求证：CD∥平面EFGH.
知识点二线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
点评本例应用了线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件：①线面平行，即a∥α；②面面相交，即α∩β＝b；③线在面内，即aβ.这三个条件缺一不可．
变式训练2 如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
知识点三综合应用问题
例3如图，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在呈空间四边形形状的支架上．矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b.
问：E、F、G、H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
点评利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题．
变式训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：
线线平行――---→在平面内作或找一直线线面平行―----------―→经过直线作或找平
面与平面相交的交线线线平行
课时作业 一、选择题
1．已知直线l∥平面α，直线m α，则直线l 和m 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行
C ．异面
D ．平行或异面
2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交
C ．异面
D ．以上均可能
3．如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．平行和异面
4．三棱锥S －ABC ，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF∥平面ABC ，则( ) A ．EF 与BC 相交 B ．EF∥BC
C ．EF 与BC 异面
D ．以上均有可能
5．已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下面四个命题，其中正确的命题是( )
A ．a∥γ，b∥γa∥b
B ．c∥α，α∥βc∥β
C ．a∥b，b∥αa∥α
D ．a ，b 异面，a∥α，a∥β，b∥α，b∥βα∥β 题 号 1 2 3 4 5 答 案
二、填空题
6．如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，过BC 的平面与平面PAD 交于EF ，则四边形EFBC 的形状一定是________．
7．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)
8.
如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，
则PQ ＝________.
三、解答题 9.
如图所示，已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E ，AD∩α＝F ，BD∩α＝H ，BC∩α＝G.
求证：四边形EFHG 是平行四边形．
10．如图所示，在长方体ABCD －A′B′C′D′中，点P∈BB′
(不与B 、B′重合)．PA∩BA′＝M ，PC∩BC′＝N. 求证：MN∥平面AC.
【答案解析】 自学导引
两平面的交线平行 (1)
⎭
⎪⎬⎪
⎫a∥α
a ββ∩α＝
b a∥b 对点讲练
例1
证明 如图所示，过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a∥α，∴a∥b.
同样过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c. 又b β，c β，∴b∥β.
又b α，α∩β＝l ，∴b∥l.∴a∥l.
变式训练1 证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF∥GH.
又GH 平面BCD ，EF 平面BCD ， ∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD ＝CD ，EF 平面ACD ， ∴EF∥CD.
而EF 平面EFGH ，CD 平面EFGH ， ∴CD∥平面EFGH.
例2证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP平面BMD，
OM平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴AP∥GH.
变式训练2
(1)证明因为BC∥AD，BC平面PAD，
AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)解平行．
证明如下：
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE.
又因为MN平面PAD，AE平面PAD，
又MN平面PAD，AE平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
例3解吸光板的吸光量最大，即要使得矩形EFGH的面积最大．设EH＝x，EF＝y，则在矩形EFGH中，有EH∥FG.
又EH平面BCD，FG平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
而EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD，同理EF∥AC.
∴x b ＝AE AB ，y a ＝BE AB . 两式相加，得x b ＋y
a ＝1.①
矩形EFGH 的面积为S ＝xy.②
将①代入②，得S ＝－a b x 2
＋ax(0<x<b)．
当x ＝－a 2－
a b ＝b
2时，S 有最大值．
此时，y ＝a －a b (b 2)＝a
2
.
答 E 、F 、G 、H 依次为AB 、BC 、CD 、DA 的中点时，吸光板的吸光量最大 变式训练3 (1)证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD ，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC ，平面ABD∩平面ABC ＝AB ， ∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH. 同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF ＝x(0<x<4)，由(1)可知EF∥AB， ∴CF CB ＝x 4
. 则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4. 从而FG ＝6－32
x.
∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－3
2
x)＝12－x.
又0<x<4，则有8<l<12，
即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)． 课时作业 1．D 2.D
3．A [∵E、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF∥AB. 又AB 平面EFGH ，EF 平面EFGH ， ∴AB∥平面EFGH.
又AB 平面ABCD ，平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB∥GH.]
4．B [∵EF 面SBC ，面SBC∩面ABC ＝BC ， EF∥面ABC ，∴EF∥BC.]
5．D [选项A 中，a 、b 相交、平行、异面都有可能，故A 错误；B 中，c 还有可能在β中；C 项，a 也有可能在α中，故B 、C 错误．]
6．梯形
解析 ∵AD∥BC，BC 平面BCEF ， AD 平面BCEF.∴AD∥平面BCEF ，
又平面PAD∩平面BCEF ＝EF.
∴AD∥EF，从而EF∥BC 且EF≠BC. ∴四边形BCEF 为梯形． 7．①②③(或①③②)
解析 设过m 的平面β与α交于l. ∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l， ∵n α，l α，∴n∥α. 8.22
3
a 解析 ∵MN∥平面AC ，平面PMN∩平面AC ＝PQ ， ∴MN∥PQ，易知DP ＝DQ ＝2a
3，
故PQ ＝PD 2＋DQ 2
＝2DP ＝22a 3
.
9．证明 ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG ， ∴EG∥AB.同理FH∥AB，
∴EG∥FH，又CD∥α，平面BCD∩α＝GH. ∴GH∥CD.同理EF∥CD. ∴GH∥EF.
∴四边形EFHG 是平行四边形．
10．证明 如图所示，连接AC 、A′C′.
∵ABCD－A′B′C′D′是长方体 ，∴AC∥A′C′.
又AC 平面BA′C′， A′C′平面BA ′C′， ∴AC∥平面BA′C′.
又∵平面PAC 过AC 与平面BA′C′交于MN ， ∴MN∥AC.
∵MN 平面AC ， AC 平面AC ， ∴MN∥平面AC.。