《试卷3份集锦》广州市花都区初中名校2018-2019年九年级上学期数学期末检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 边上的点，且DE ∥AC ，若4BDE s =，16CDE s =，则△ACD
的面积为（ ）
A ．64
B ．72
C ．80
D ．96
【答案】C 【分析】根据题意得出BE ：CE ＝1：4，由DE ∥AC 得出△DBE 和△ABC 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC 的面积，然后求出△ACD 的面积．
【详解】∵S △BDE =4，S △CDE =16，
∴S △BDE ：S △CDE =1：4，
∵△BDE 和△CDE 的点D 到BC 的距离相等， ∴
14
BE CE =， ∴15BE BC =， ∵DE ∥AC ，
∴△DBE ∽△ABC ，
∴S △DBE ：S △ABC =1：25，
∴S △ABC =100
∴S △ACD = S △ABC - S △BDE - S △CDE =100-4-16=1．
故选C ．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE 的面积表示出△ABC 的面积是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A ．菱形都是相似图形
B ．矩形都是相似图形
C ．等边三角形都是相似图形
D ．各边对应成比例的多边形是相似多边形
【答案】C
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A 、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：C．
【点睛】
考查了相似图形的定义，解题的关键是牢记相似多边形的定义，难度较小．
3．在Rt△ABC中，cosA= 1
2
，那么sinA的值是（）
A．2
B．
3
C．
3
D．
1
2
【答案】B
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【详解】：∵Rt△ABC中，cosA=1
2
，
∴sinA=2
1cos A
=
3
2
，
故选B．
【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．4．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【答案】C
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【详解】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：1．
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是记住相似三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
5．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）
A ．（2，4）
B ．（2，6）
C ．（3，6）
D ．（3，4）
【答案】C 【解析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】由题意得，点A 与点C 是对应点，
△AOB 与△COD 的相似比是3，
∴点A 的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 是解题的关键．
6．一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
【答案】B 【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【详解】解：综合主视图与左视图分析可知，
第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多有2个；
第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；
第三行第1列最多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个；
所以最多有：2+1+2+1+1+1+2+1+2=13（个），
故选B ．
【点睛】
本题考查了几何体三视图，重点是考查学生的空间想象能力．掌握以下知识点：主视图反映长和高，左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽.
7．已知3cos 4
α=，则锐角α的取值范围是（ ） A ．030α︒<<︒
B ．3045α︒<<︒
C ．4560α︒<<︒
D ．6090α︒<<︒ 【答案】B
【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；
【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∵cos30°=32，cos45°=22
， ∴若锐角α的余弦值为
34，且23324<< 则30°＜α ＜45°；
故选B ．
【点睛】 本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.
8．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【详解】解：根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A 、不是中心对称图形，故本选项正确；
B 、是中心对称图形，故本选项错误；
C 、是中心对称图形，故本选项错误；
D 、是中心对称图形，故本选项错误．
故选A ．
9．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB=（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．45°
D ．60°
【答案】A 【解析】试题分析：连接OA ，根据直线PA 为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP －∠OAB=90°－60°=30°．
考点：切线的性质
10．如图，,,,A B C D 是⊙O 上的点，则图中与A ∠相等的角是（ ）
A ．B
B ．
C ∠ C ．DEB ∠
D ．D ∠
【答案】D 【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】解：∵A ∠与D ∠都是BC 所对的圆周角，
∴D A ∠=∠．
故选D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A ．3m
B ．33m
C ．23m
D ．4m
【答案】B 【解析】因为三角形ABC 和三角形AB ′C ′均为直角三角形，且BC 、B ′C ′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB ，进而得出∠C ′AB ′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin ∠CAB ＝
32262BC AC == ∴∠CAB ＝45°．
∵∠C ′AC ＝15°， ∴∠C ′AB ′＝60°．
∴sin60°＝''362
B C = 解得：B ′C ′＝3．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
12．如图，周长为定值的平行四边形ABCD 中，60B ∠=，
设AB 的长为x ，周长为16，平行四边形ABCD 的面积为y ，y 与x 的函数关系的图象大致如图所示，当63y =时，x 的值为（ ）
A ．1或7
B ．2或6
C ．3或5
D ．4
【答案】B 【分析】过点A 作AE ⊥BC 于点E ，构建直角△ABE ，通过解该直角三角形求得AE 的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，即可求解.
【详解】如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，
∵∠B ＝60°，边AB 的长为x ， ∴AE ＝AB •sin60°＝32
x ∵平行四边形ABCD 的周长为16，
∴BC ＝12
（16−2x ）＝8−x ， ∴y ＝BC •AE ＝（8−x 3（0≤x ≤8）． 当63y =（8−x 3x =63解得x 1=2,x 2=6
故选B.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于O，则O的内接正三角形ACE的边长为
______________.
【答案】43
【分析】解：如图，连接OA、OB，易得△AOB是等边三角形，从而可得OA=AB=4，再过点O作OM⊥AE 于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，然后解直角△AOM求得AM的长，进而可得答案.
【详解】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，
过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，
在直角△AOM中，
3
cos30423 AM OA
=⋅︒=⨯=，
∴AE=2AM=43.
故答案为：43.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键. 14．抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是_____．
【答案】（4，3）
【解析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，
∴顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a （x-h ）2+k 中，顶点坐标是（h ，k ）是解决问题的关键． 15．已知点15,4A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
、()21,B y 在二次函数23y x =+的图像上，则1y ___2y .（填“>”、“=”、“<”）
【答案】>
【分析】把两点的坐标分别代入二次函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可得解. 【详解】54x =-时，2
1525733341616y ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭， 1x =时，2213134y =+=+=，
∵73941616
-=＞0， ∴12y y >；
故答案为：>．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，用求差法比较大小是常用的方法. 16．关于x 的方程2x 2－ax ＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．
【答案】12
． 【详解】试题分析：设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系得到1•m=
12，解得m=12． 考点：根与系数的关系．
17．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
【答案】13
【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.
【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，
所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是3193=
=， 故答案为13
． 【点睛】
本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比=几何概率．
18．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为_____．
【答案】110°
【解析】试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC ，∴∠BDC=∠BOC ﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．
考点：圆周角定理．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．平行四边形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE 交对角线AC 于点F ，点G 为DE 上一点，
AH DE ⊥于H ，2BC AG =且ACE GAC ∠=∠，点M 为AD 的中点，连接MF ；若75DFC ∠=︒．
（1）求MFD ∠的度数；
（2）求证：3GF GH +=
【答案】（1）30° （2）证明见解析
【分析】（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明()AFG AFM SAS ≅，可得,75FG FM AFG AFM DFC ︒=∠=∠=∠=，再根据180()MFD AFG AFM ︒∠=-∠+∠求解即可； （2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，通过证明()AGN DMF SAS ≅，可得
30ANH DFM ︒∠=∠=，再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证3GN GH GF GH +=+=．
【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形
AD BC ∴=
2BC AG =
2AD AG ∴=
∵M 为AD 的中点
22AD AM DM ∴==
AG AM DM ∴==
//AD BC
ACE CAM ∴∠=∠
即ACE FAM ∠=∠
ACE GAC ∠=∠
CAG FAM ∴∠=∠即FAG FAM ∠=∠
AF AF =
()AFG AFM SAS ∴≅
,75FG FM AFG AFM DFC ︒∴=∠=∠=∠=
180()30MFD AFG AFM ︒︒∴∠=-∠+∠=；
（2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，由（1）知，,FG FM AGF AMF =∠=∠ ,GN FM AGN CMF ∴=∠=∠
AG DM =
()AGN DMF SAS ∴≅
30ANH DFM ︒∴∠=∠=
AH DE ⊥ 3HN AH ∴=
3GN GH GF GH AH ∴+=+=．
【点睛】
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．
20．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（1）2a =．
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-10-a ）（-10x+500）=-10x 1+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a≤6，则30＜35+12a≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=1，a 1=58，于是得到a=1．
【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．
()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--
对称轴为x ＝35+
12a ，且0＜a≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+
时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴122,
58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
21．已知函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，4y =；当2x =时，5y =．求y 与x 的函数表达式． 【答案】22y x x
=+. 【分析】分别设出各函数关系式，然后把x 、y 的值代入求出k 的值，再整理即可得解．
【详解】解：∵1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例
∴可设1y =mx ，2y =
n x
∴12y y y =+=mx +n x 把1x =时，4y =；2x =时，5y =代入，得
4{252
m n n m +=+= 解得2{2m n =
= ∴y 与x 的函数关系式是22y x x
=+． 22．如图，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，弦AB 与半径OC 相交于点D ，AB=11，CD=1．求⊙O 半径的长．
【答案】2
【解析】试题分析：连接OA ，根据垂径定理求出AD=6，∠ADO=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
试题解析：连接AO ，
∵点C 是弧AB 的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，
∴OC⊥AB，
∵AB=11，
∴AD=BD=6，
设⊙O 的半径为r ，
∵CD=1，
∴在Rt△AOD 中，由勾股定理得：AD 1=OD 1+AD 1，
即：r 1=（r ﹣1）1+61，
∴r=2，
答：⊙O 的半径长为2．
23．如图，△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，在AB 上取一点O ，使OB ＝OC ，以点O 为圆心，OB 为半径作圆，过点C 作CD ∥AB 交⊙O 于点D ，连接BD
(1)猜想AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想；
(2)试判断四边形BOCD 的形状，并证明你的判断；
(3)已知AC ＝6，求扇形OBC 所围成的圆锥的底面圆的半径r.
【答案】(1)猜想：AC与⊙O相切；(2)四边形BOCD为菱形；(3)
3 3
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以
∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；
（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到
OC=23BC的弧长=
1202343
1803
ππ
⨯
==然后根据圆锥的计算求圆锥的底
面圆半径．
【详解】（1）AC与⊙O相切
AC BC
=，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠A＝30°．OB OC
=，∠CBO＝∠BCO＝30°，
∴∠OCA＝120°－30°＝90°，∴AC⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）四边形BOCD是菱形
连接OD．
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠AOC＝2×30°＝60°
OC OD
=，
∴△COD是等边三角形，
CD OD OB
∴==，
∴四边形BOCD是平行四边形，
OC OB
=
∴四边形BOCD是菱形．
,
（3）在Rt △AOC 中，∠A ＝30°，AC ＝6，
OC ∴=ACtan ∠A ＝6tan30°＝23， ∴弧BC 的弧长1202343ππ⨯== ∴底面圆半径23=
【点睛】 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．
24．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m ，宽为40m ．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）5m ，（2）20%
【分析】（1）设通道的宽度为x 米．由题意（50﹣2x ）（40﹣2x ）＝1200，解方程即可；
（2）可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于51.2即可列出方程．
【详解】（1）设通道宽度为xm ，
依题意得（50﹣2x ）（40﹣2x ）＝1200，即x 2﹣50x+225＝0
解得x 1＝5，x 2＝40（舍去）
答：通道的宽度为5m ．
（2）设每次降价的百分率为x ，
依题意得80（1﹣x ）2＝51.2
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝1.8（舍去）
答：每次降价的百分率为20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，正确列出关系式是解题的关键.
25．如图，抛物线x 与轴交于()()A 1,0B 3,0-、两点，与y 轴交于点()0,3C
-，设抛物线的顶点为点D ．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标．
（2）试判断BCD ∆的形状，并说明理由．
（3）坐标轴上是否存在点P ，使得以P A C 、、为顶点的三角形与BCD ∆相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
23y x x =--，()1,4D -；（2）BCD ∆是直角三角形，理由见解析；（3）存在，()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D 的坐标．
（2）根据B 、C 、D 的坐标，可求得△BCD 三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可． （3）假设存在符合条件的P 点；首先连接AC ，根据A 、C 的坐标及（2）题所得△BDC 三边的比例关系，即可判断出点O 符合P 点的要求，因此以P 、A 、C 为顶点的三角形也必与△COA 相似，那么分别过A 、C 作线段AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P 点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP 的长，也就得到了点P 的坐标．
【详解】（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．
由抛物线与y 轴交于点()0,3C -，可知3c =-
即抛物线的解析式为23y ax bx =+-
把()()A 1,0B 3,0-、代入
309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩
解得1,2a b ==-
∴抛物线的解析式为223y x x =--
∴顶点D 的坐标为()1,4-
（2）BCD ∆是直角三角形．
过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F
在Rt BOC △中，3,3OB OC ==
∴22218BC OB OC =+=
在Rt CDF 中，1,431DF CF OF OC ==-=-=
∴2222CD DF CF =+=
在Rt BDE 中，4,312DE BE OB OE ==-=-=
∴22220BD DE BE =+=
∴222BC CD BD +=
∴BCD ∆是直角三角形．
（3）连接AC ，根据两点的距离公式可得：2,32,25CD BC BD ===，则有222CD CB BD +=，可得Rt COA Rt BCD △∽△，得符合条件的点为()0,0O ．
过A 作1AP AC ⊥交y 轴正半轴于1P ，可知1Rt CAP
Rt COA Rt BCD △∽△∽△，求得符合条件的点为110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
过C 作2CP AC ⊥交x 轴正半轴于2P ，可知2Rt P CA Rt COA Rt BCD △∽△∽△，求得符合条件的点为()29,0P
∴符合条件的点有三个：()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质以及解法是解题的关键．
26．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高3丈的标杆BC 和DE ，两竿之间的距1000BD =步，D B H 、、成一线，从B 处退行123步到F ，人的眼睛贴着地面观察A 点，A C F 、、三点成一线；从D 处退行127步到G ，从G 观察A 点，A E G 、、三点也成一-线．试计算山峰的高度AH 及HB 的长． (这里1步6=尺，1丈10=尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段AH 及HB 的长呢？请你试一试!
【答案】BH=18450丈，AH=753丈．
【分析】根据“平行线法”证得△BCF ∽△HAF 、△DEG ∽△HAG ，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】∵AH ∥BC ，
∴△BCF ∽△HAF ， ∴BF BC HF AH
=， 又∵DE ∥AH ，
∴△DEG ∽△HAG ， ∴DG DE HG AH
=， 又∵BC=DE ， ∴
BF DG HF HG
=， 即1231271231271000HB HB =+++， ∴BH=30750(步)，30750步=18450丈，
BH=18450丈， 又∵BF BC HF AH
=，35BC ==丈步， ∴AH=()()3075012353087351255123123
BH BF BC HF BC BF BF ++⨯⨯====(步)，1255步=753丈， AH=753丈．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
27．如图，已知一次函数
3
3
2
y x
=-与反比例函数
k
y
x
=的图象相交于点(4,)
A n，与x轴相交于点B.
（1）填空：n的值为，k的值为；
（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；【答案】（1）3，12；（2）D的坐标为(413,3)
+
【分析】（1）把点A（4，n）代入一次函数y=3
2
x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数
k
y
x
=，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=13，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标.
【详解】（1）把点A(4,n)代入一次函数
3
3
2
y x
=-,可得
3
433
2
n=⨯-=；
把点A(4,3)代入反比例函数
k
y
x
=,可得3
4
k
=，
解得k=12.
（2）∵一次函数
3
3
2
y x
=-与x轴相交于点B，
由3
30
2
x-=，解得2
x=，
∴点B的坐标为（2，0）
如图，过点A作AE x
⊥轴，垂足为E，
过点D作DF x
⊥轴，垂足为F，
∵A（4，3），B(2，0)
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴ BE=OE －OB=4－2=2
在Rt ABE ∆中，AB ===.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴//AB CD BC AB CD ===，
∴ABE DCF ∠=∠.
∵AE x ⊥轴，DF x ⊥轴，
∴90AEB DFC ︒∠=∠=.
在ABE ∆与DCF ∆中， AEB DFC =∠∠，ABE DCF ∠=∠，AB=CD ， ∴ABE DCF ∆≅∆，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴224OF OB BC CF =++=++=+
∴点D 的坐标为(4+
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
+÷的值是（）
1．如图，数轴上的点可近似表示(3630)6
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】先把代数式进行化简，然后进行无理数的估算，即可得到答案．
+÷=+，
【详解】解：(3630)635
<<，
∵253
<+<，
∴5356
∴点C符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
2．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是()
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=61，
化简整理得，x2﹣9x+8=1．
故选C．
3．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，1，8，1．这5个数据的中位数是（）
A．6 B．7 C．8 D．1
【答案】C
【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此求解即可.
【详解】将这组数据重新排序为6，7，8，1，1，
∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8. 故选C.
4．如图，PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，如果
1
sin
2
P=，OB=1，那么BP的长是（）
A．4 B．2 C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据题意连接OA由切线定义可知OA垂直AP且OA为半径，以此进行分析求解即可.
【详解】解：连接OA，
已知PA是⊙O的切线，OP交⊙O于点B，可知OA垂直AP且OA为半径，所以三角形OAP为直角三角形，
∵
1
sin
2
P=，OB=1，
∴
1
sin
2
OA
P
OP
==，OA=OB=1，
∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1.
故选C.
【点睛】
本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.
5．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3， 则符合题意的是D ；
故选D ．
考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．
6．把二次函数2114
y x x =
+-化为2()y a x m n =++的形式是 A ．21(1)24y x =++ B ．21(2)24
y x =+- C ．21(2)24y x =-+ D ．21(2)24y x =-- 【答案】B
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】原式＝
14（x 2＋4x−4） ＝14
（x 2＋4x ＋4−8） ＝14
（x ＋2）2−2 故选：B ．
【点睛】
此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解． 7．方程()55x x x -=-的根是（ ）
A ．5x =
B ．0x =
C ．15=x ，20x =
D ．15=x ，21x =
【答案】D
【分析】先移项然后通过因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】()5(5)0x x x ---= ()(1)50x x --=
10x -=或50x -=
121,5x x ∴==
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
8．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示，则方程ax 2+bx+c ＝m 有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥0C．m≥5D．m≥6
【答案】A
【解析】利用函数图象，当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程
ax2+bx+c＝m有实数根的条件．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣1，
∴当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【答案】D
【解析】∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞1，且k≠1．
解得：k＞﹣1且k≠1．故选D．
考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．
10．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE//BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长．
【详解】解：∵DE//BC
∴AE：AC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝6，
∴2621
AE =+， ∴AE ＝4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
11．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若3MN =，6AB =，则ACB ∠的度数为（ ）
A ．30
B ．35︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】A 【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵M ，N 分别为BC ，OC 的中点，
∴MN 是∆OBC 的中位线，
∴OB=2MN=2×
3=6， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB ，
∵∠ABC=90°，
∴ACB ∠=30°．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )
A ．k<4
B ．k≤4
C ．k<4且k≠3
D ．k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x 轴交点的特点.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠=______．
【答案】79
； 【分析】过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由于1cos 3B ∠=
，所以13BD BC =，13
BE AC =，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出AD 的长度． 【详解】解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点B 作BD AC ⊥于点D ，
1cos 3B ∠=， 13BE AB ∴=，13
BD BC =， AB=AC=3，
∴BE=EC=1，BC=2，
又∵
13BD BC =， ∴BD=23
, 27333AD AC CD ∴=-=-
=， ∵cos A ∠=AD AC
， ∴7
73==39
AD AC ， 故答案为：79
. 【点睛】
本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．
14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.
【答案】2
253y x x =++
【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．
【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2
251y x x b =+-+，
把A （0，3）代入，得
3＝−1＋b ，
解得b ＝4，
则该函数解析式为2253y x x =++．
故答案为：2253y x x =++．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
15．如图，四边形ABCD 是菱形，O 经过点A 、C 、D 与BC 相交于点E ，
连接AC 、AE ，若78D ∠=︒，则EAC ∠的度数为__________．
【答案】27︒
【分析】根据菱形的性质得到∠ACB ＝12∠DCB ＝12
（180°−∠D ）＝51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB ＝∠D ＝78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D ＝78°，
∴∠ACB ＝12∠DCB ＝12
（180°−∠D ）＝51°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，
∴∠AEB ＝∠D ＝78°，
∴∠EAC ＝∠AEB−∠ACE ＝27°，
故答案为：27°．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16．如图，半圆O 的直径AB=18，C 为半圆O 上一动点，∠CAB=а，点G 为△ABC 的重心．则GO 的长为__________．
【答案】3
【分析】根据三角形重心的概念直接求解即可.
【详解】如图，连接OC ，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90︒，
∵点O 是直径AB 的中点，重心G 在半径OC ， ∴11111833326
GO OC AB ==⨯=⨯=. 故答案为：3.
【点睛】
本题考查了三角形重心的概念及性质、直径所对圆周角为直角、斜边上的中线等于斜边的一半，熟记并灵活运用三角形重心的性质是解题的关键.
17．若a 是方程210x x +-=的一个根，则
11a a a a
-++的值是________. 【答案】1
【分析】将a 代入方程210x x +-=，得到210a a +-=，进而得到21a a -=，21a a =-，然后代入求值即可.
【详解】解：由题意，将a 代入方程210x x +-=
∴210a a +-=，21a a -=，21a a =- ∴2211(1)(1)11111a a a a a a a a a a a a a a
--+-+=+=+=+-=+++ 故答案为：1
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，及分式的化简，掌握方程的解的概念和平方差公式是本题的解题关键. 18．方程()()30x m x --=和方程2230x x --=同解，m =________．
【答案】1-
【解析】分别求解两个方程的根即可.
【详解】解：()()30x m x --=，解得x=3或m ；()()2
23310x x x x --=-+=，解得x=3或-1，则m=-1，
故答案为：-1.。