惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学 试题正式版

惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学 2020.1
全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知全集U R =，{}
|21x A x =<，则U A =ð( )．
2．设i 为虚数单位，复数2
12z ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则z 在复平面内对应的点在第( )象限．
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四 3．已知2020
1log πa =，2020
1πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1
π
2020c =，则( )．
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
4．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边落在直线3y x =上，则3sin(2)2
π
θ-= ( )． A ．
45 B ．45- C ．35- D ．12
5．在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，4AM MC =u u u u r u u u u r
，P 为AD 的中点，
则MP u u u r
= ( )．
A ．43510a b +r r
B ．4354a b +r r
C ．43510a b --r r
D ．1344
a b --r r
6．设a R ∈，则“2a =”是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平
行”
的 ( ) 条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 7．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即
21n n n a a a ++=+．记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是( )．
A ．201920202S a =+
B ．201920212S a =+
C ．201920201S a =-
D ．201920211S a =-
8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。

右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”
表示一根阳线，“
”表示一根阴线）。

从八卦中任
取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( )． A ．
114 B ．17 C ．5
28
D ．514 9．函数()21sin 1x
f x x e ⎛
⎫
=- ⎪+⎝⎭
的图象的大致形状是( )． x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A B C
D 10．如图，平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//
平面CB 1D 1，α∩平面ABCD =m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为( )．
A ．12-
B ．12
C ．3
D ．3
11．已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )． A ．2
B ．3
C ．
172
D ．√10
12．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)满足f(x 0)=f(x 0+1)=−
12
， 且f(x)在(x 0,x 0+1)上有最小值，无最大值。

给出下述四个结论： ①f(x 0+
12)=−1； ②若x 0=0，则f(x)=sin(2πx −6
π)； ③f(x)的最小正周期为3； ④f(x)在(0,2019)上的零点个数最少为1346个． 其中所有正确结论的编号是( )． A ．①②④
B ．①③④
C ．①③
D ．②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。

13．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是________．
14．若(1+x)(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，
则a 1+a 2+a 3+⋯+a 8的值是________．
0n =开始
2n n =+n
输出220?
n >是
否
m
n
15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，
n ∈N ∗，则a 1=______，S 5=______．
16．已知双曲线1:C 22
221(00)x y a b a b
=>>－，的离心率2e >，左、右焦点分别为
12F F 、，其中2F 也是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，1C 与2C 在第一象
限的公共点为P ．若直线1PF 斜率为3
4
，则双曲线离心率e 的值是________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）
在平面四边形ABCD 中，π3ABC ∠=
，π
2
ADC ∠=，2BC =． （1）若ABC △
AC ；
（2
）若AD =π
3
ACB ACD ∠=∠+，
求tan ACD ∠．
18．（本小题满分12分）
如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =AB =BC =1，CD =2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE)．
（1）证明：AE ⊥PB ；
B
D
C
A
（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4
π
，求二面角A −PE −C 的余弦值．
19.（本小题满分12分）
为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。

惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查。

（1）已知在被抽取的学生中高一(1)班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；
（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。

若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，
求随机变量ξ的分布列及数学期望。

班级 一(1) 一(2) 一(3) 一(4) 一(5) 一(6) 一(7) 一(8) 一(9) 一(10) …
市级
比赛获奖人数 2
2
3
3
4
4
3
3
4
2
…
市级以上
比赛获奖人数 2
2
1
2
3
3
2
1
2
…
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知过点D(4,0)的直线l 与椭圆2
2:14
x C y +=交
于不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1y 2≠0.
（1）若x 1=0，求△OAB 的面积；
（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为
等腰三角形。

21．（本题满分12分）
已知实数0a ≠，设函数()e ax
f x ax =-．
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a >
时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()2
12
a f x x ≥+， 求a 的取值范围。

注：e 2.71828=L L 为自然对数的底数。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，
2,6B πρϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭都在曲线M 上．
（1
123ρρ=+；
（2）若过B ，C
两点的直线参数方程为2212
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），
求四边形OBAC 的面积．
23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知函数()24=++-f x x x ． （1）求不等式()3≤f x x 的解集； （2）若
()1f x k x ≥-对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围．。